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1、 选择选择-消费者均衡分析消费者均衡分析一一.良好性状偏好消费者选择的几何分析良好性状偏好消费者选择的几何分析.NABEC3121.56x1x2.1 11.消费者的选择为消费者的选择为E点点.2.E点为均衡点点为均衡点.如何理解经济学的均衡概念如何理解经济学的均衡概念.3.E点的存在性与唯一性对偏好提出了要求点的存在性与唯一性对偏好提出了要求.4.E点在边界上达到点在边界上达到.5.在在E点点,预算性与无差异曲线相切预算性与无差异曲线相切.MRS12=MU1/MU2=p1/p21)相切条件相切条件.2)边际意愿替代率与市场替代率相等边际意愿替代率与市场替代率相等.3)对正单调转换的不变性对正单
2、调转换的不变性.2 26. MU1/p1=MU2/p2=*1)等边际效用法则等边际效用法则.2)货币的影子价格货币的影子价格.3)对正单调转换的可变性对正单调转换的可变性.4)解释需求曲线向下倾斜解释需求曲线向下倾斜.7.效用函数为效用函数为u(x1,x2)=x1x2 预算线为预算线为 8x1+2x2=24 MU1/MU2=x2/x1=p1/p2=8/2=4解得解得:x1*=1.5 x2*=6 u*=u(x1*,x2*)=9 * =0.75/2/3 3二二.特殊偏好的均衡分析特殊偏好的均衡分析1.完全替代完全替代m/p1m/p2u(x1,x2)=x1+x2p1m/p2在在E点点,相交而非相切相
3、交而非相切x1*=m/p1 x2*=0 u*=x1*=m/p1EABx2x1.4 4Ep1p2x1*=0 x2*=m/p2 u*=x2*=m/p2经济解释经济解释p1=p2预算线与一条预算线与一条无差异曲线重无差异曲线重合合,其上所有点其上所有点 都是均衡点都是均衡点p1x1*+p2x2*=mu*=m/(p1)x2x2x1x15 52.完全互补完全互补ABECx2=x1m/p1m/p2u(x1,x2)=minx1,x2无差异曲线在无差异曲线在E点不可点不可导导,在在E点不是相切点不是相切,是是相交相交,交点是唯一的交点是唯一的. x1*=x2*=m/(p1+p2). u*=u(x1*,x2*)
4、= m/(p1+p2).x2x16 63.厌恶品厌恶品E角点解角点解,相交非相切相交非相切.x1*=m/p1 x2*=0.全部购买嗜好品全部购买嗜好品.x2x17 74.中性商品中性商品Ex2x18 85.离散商品离散商品.E.Ex2x2x1x1.9 9三三.均衡的存在性与唯一性均衡的存在性与唯一性1.威恩斯特拉斯威恩斯特拉斯(weierstrass)定理定理设设f:SR是一个连续实值映射是一个连续实值映射,其中其中S是是Rn的一个非空的紧子集的一个非空的紧子集,那么存在一个向量那么存在一个向量xMaxS与一个向量与一个向量xMinS,使得使得f(xMin)f(x)f(xMax) 对于对于xS
5、.闭区间上连续函数取最大值和最小值的一闭区间上连续函数取最大值和最小值的一般化般化.2.Max u(x) s.t pxm 预算集预算集B是是Rn的紧的紧子集子集.偏好关系是完备的偏好关系是完备的.可传递的可传递的.连续的连续的.严严1010格单调的格单调的 u(x)存在存在.是实值连续函数是实值连续函数.根据威恩斯特拉斯根据威恩斯特拉斯(weierstrass)定理定理均衡存在均衡存在.根据严格单调性根据严格单调性 x*在在B的边界达到的边界达到,px*=m.根据偏好关系严格凸性根据偏好关系严格凸性 u(x)严格拟凹严格拟凹 x*是唯一的是唯一的.证明证明:如果如果x*不是唯一的不是唯一的,存
6、在存在x1和和x2是最优点是最优点.u(x)严格拟凹严格拟凹,存在存在xt, u(xt)u(x1),矛盾矛盾.1111四四.均衡的代数分析均衡的代数分析多元函数偏导数就是将其余变量看作常数多元函数偏导数就是将其余变量看作常数对该变量的导数对该变量的导数.1.等式约束极值的拉格朗尔乘子法等式约束极值的拉格朗尔乘子法 Max(Min)y=f(x1,x2,xn) s.t g(x1,x2 ,xn)=0拉格朗尔函数拉格朗尔函数L(x1,x2 ,xn,)= f(x1,x2,xn)-g(x1,x2 ,xn)必要条件必要条件: Li=0 (i=1,2 ,n) L=0 fi=gi g(x1,x2 ,xn)=01
7、2122.Max u(x1,x2)=x1x2 s.t 8x1+2x2=24 4x1+x2=12L(x1,x2, )=x1x2- (8x1+2x2-24)L1=x2-8=0L2=x1-2=0 8x1+2x2-24=0解得解得x1*=1.5 x2*=6 u*=u(x1*,x2*)=93.u(x1,x2)=x1cx2dMax lnu(x1,x2)=clnx1+dlnx2s.t p1x1+p2x2=mL(x1,x2, )= clnx1+dlnx2- (p1x1+p2x2-m)1313L1=c/x1-p1=0 c=p1x1L2=d/x2-p2=0 d=p2x2L=-p1x1-p2x2+m=0c+d= (
8、p1x1+p2x2)=(c+d)/mx1*=c/(p1)=c/(c+d)(m/p1)x2*=d/(p2)=d/(c+d)(m/p2)x1*=x1*(p1,p2,m),x2*=x2*(p1,p2,m)马歇尔需求函数马歇尔需求函数.u*=u(x1*,x2*)=u*(p1,p2,m)间接效用函数间接效用函数.14144. Max u(x1,x2,xn)s.t p1x1+p2x2+pnxn=mL(x1,x2 ,xn,)= u(x1,x2,xn) - (p1x1+p2x2+pnxn-m)Li=ui-pi=0 L=-p1x1-p2x2-pnxn+m=01)xi*=xi*(p1,p2,pn,m)马歇尔需求函
9、数马歇尔需求函数. u*=u*(p1,p2,pn,m)间接效用函数间接效用函数.2)ui/uj=pi/pj1515 需求需求比较静态分析比较静态分析一一.收入变动的比较静态分析收入变动的比较静态分析1.其他条件不变其他条件不变偏好不变偏好不变.无差异曲线不变无差异曲线不变.价格不变价格不变.预算线斜率不变预算线斜率不变.收入变动收入变动.预算线平行移动预算线平行移动.2.收入提供曲线与恩格尔曲线收入提供曲线与恩格尔曲线收入提供曲线是收入变动均衡点变动曲线收入提供曲线是收入变动均衡点变动曲线.恩格尔曲线是某种商品需求与收入变动的恩格尔曲线是某种商品需求与收入变动的关系曲线关系曲线.1616.x1
10、*x2*x3*E1E2E3x1*x2*x3*m1m2m3x1mx1x2收入提供曲线收入提供曲线恩格尔曲线恩格尔曲线17173.完全替代完全替代E1E2E3x1*=m/p1p10 tx ty 相似偏好相似偏好.需求束与收入按相同比例增减需求束与收入按相同比例增减,恩格尔曲线是恩格尔曲线是过原点的直线过原点的直线.x*是收入是收入m时的需求束时的需求束,px*=m,x* y.pym.ptx*=tm,相似偏好相似偏好tx* ty.ptytm.tx*是收入是收入tm时的需求束时的需求束.完全替代完全替代.完全互补完全互补.柯布道格拉斯偏好是相柯布道格拉斯偏好是相似偏好似偏好.20207.拟线性偏好拟线
11、性偏好x1*=m/p1412345收入提供曲线收入提供曲线u=(x1)0.5+x2p1=1 p2=4x1*=(p2/(2p1)2=444x1=mx2x1x1m21218.基于需求与收入变化关系的商品分类基于需求与收入变化关系的商品分类收入增加收入增加,需求增加需求增加,中高档商品中高档商品;收入增加收入增加,需求下降需求下降,低档商品低档商品. x1是低档商品是低档商品,x2是中是中高档商品高档商品.低档商品不是厌恶品低档商品不是厌恶品.mx1x1x2E1E22222二二.价格变动的比较静态分析价格变动的比较静态分析1.其他条件不变其他条件不变偏好不变偏好不变.无差异曲线不变无差异曲线不变.收
12、入和另一种商品价格不变收入和另一种商品价格不变.预算线在另一种预算线在另一种商品轴截距不变商品轴截距不变.某种商品价格变动某种商品价格变动.预算线饶不动点转动预算线饶不动点转动.2.价格提供曲线与需求曲线价格提供曲线与需求曲线价格提供曲线是价格变动均衡点变动曲线价格提供曲线是价格变动均衡点变动曲线.需求曲线是某种商品需求与其价格的关系曲需求曲线是某种商品需求与其价格的关系曲线线.又称作普通需求曲线又称作普通需求曲线.2323.p1x1m/p1m/p1p1p1x1*x1*价格提供曲线价格提供曲线需求曲线需求曲线基数效用理论基数效用理论边际效用递减规律边际效用递减规律需求曲线向下倾斜规律需求曲线向
13、下倾斜规律x2x124243.完全替代完全替代p1p2p1=p2p1p2,x1=0;p1=p2,x1=0m/p2;p1p2,x1=m/p1.x2x125254.完全互补完全互补m/p2p1x1价格提供曲价格提供曲线与收入提线与收入提供曲线重合供曲线重合x1=m/(p1+p2)x2x126265. 基于需求与价格变动关系的商品分类基于需求与价格变动关系的商品分类某商品需求量随自身价格下降而增加某商品需求量随自身价格下降而增加,正常商品正常商品.某商品需求量随自身价格下降而下降某商品需求量随自身价格下降而下降,吉芬商品吉芬商品.某商品需求量随另一种商品价格上升而某商品需求量随另一种商品价格上升而增
14、加增加,互为替代品互为替代品.某商品需求量随另一种商品价格上升而某商品需求量随另一种商品价格上升而下降下降,互补品互补品.某商品需求量随另一种商品价格上升保某商品需求量随另一种商品价格上升保持不变持不变,无关商品无关商品.2727三三.税收效应分析税收效应分析1.所得税等价于收入减少变动所得税等价于收入减少变动,从量税和从价从量税和从价税等价于价格上升变动税等价于价格上升变动.2.从量税与等量所得税效应比较从量税与等量所得税效应比较E2E1E3m/p1m/(p1+t)x2x128281)从量税预算线从量税预算线(p1+t)x1+p2x2=m在在E2点点, (p1+t)x1*+p2x2*=m,税
15、收收入为税收收入为tx1*.2)等量所得税预算线等量所得税预算线p1x1+p2x2=m- tx1*.(x1*,x2*)满足该式满足该式,该线过该线过E2点点.3)-(p1+t)/p20,p*0,y00u在在R+n上二阶连续可微上二阶连续可微,u(x*)/xi0.u的加边海塞矩阵的加边海塞矩阵H在在x*处有一个非零的行列式处有一个非零的行列式马歇尔需求函数马歇尔需求函数x=x(p,y)在在(p0,y0)处可微处可微.3131 0 u1 u2 un u1 u11 u12 u1nH = u2 u21 u22 u2n un un1 un2 unn32323) u在在R+n上是连续的且严格递增的上是连续
16、的且严格递增的,间接效用函数间接效用函数v(p,y):(1)在在R+n R+上连续上连续.(2)关于关于(p,y)是零次齐次的是零次齐次的.(3)关于关于y是严格递增的是严格递增的.(4)关于关于p递减递减.(5)关于关于(p,y)是拟凸的是拟凸的.(6)罗伊等式罗伊等式:如果如果v(p,y)在在(p0,y0)处可微处可微.v (p0,y0)/y0,xi (p0,y0)= -v (p0,y0)/pi / v (p0,y0)/y33332.希克斯需求函数和支出函数希克斯需求函数和支出函数.1)min px s.t u(x) ux=x(p, u)希克斯需求函数希克斯需求函数e(p, u)=px(p
17、,u)支出函数支出函数2) u在在R+n上是连续的且严格递上是连续的且严格递增的增的,支出函数支出函数e(p, u):(1)当当u取取U中的最低效用水平时中的最低效用水平时,它为零它为零.(2)在在R+n R+上连续上连续.3434(3)对对p0,关于关于u是严格递增是严格递增且无上界且无上界.(4)关于关于p递增递增.(5)关于关于p是一次齐次的是一次齐次的.(6)关于关于p是凹的是凹的.(7)如果如果u是严格拟凹的是严格拟凹的,谢泼德引理谢泼德引理: (p0, u0)处处, p00,如果如果e(p, u)可微可微.e(p0, u0)/pi=xih(p0, u0 ) 35353.关系对偶性关
18、系对偶性1)v(p,y)与与e(p, u) u在在R+n上是连续的且严格递增上是连续的且严格递增,p0, y 0.(1) e(p, v(p,y)=y.(2) v(p, e(p, u) )= u.2) x(p,y)与与x(p, u)完备的完备的,可传递的可传递的,连续的连续的,严格单严格单调的调的,严格凸的严格凸的, p0, y 0. u U3636(1) xi(p, y)=xih(p,v(p,y).(2) xih(p,u)= xi(p, e(p,u)/3/3737 显示偏好显示偏好消费者偏好消费者偏好(不可观察不可观察)需求理论需求理论市场需求的可观察性质市场需求的可观察性质消费者行为消费者行
19、为消费者可观察的行为消费者可观察的行为消费者可观察选择消费者可观察选择的假设中的假设中不可观察偏好不可观察偏好消费者理论消费者理论保罗保罗-萨缪尔森萨缪尔森,经济分析基础经济分析基础,1947.一一.显示偏好显示偏好假设基本偏好是严格凸的假设基本偏好是严格凸的.1.直接显示偏好直接显示偏好38381)定义定义:x0.x1X,x0x1,p0x0p0x1或在或在x1可选的情况下可选的情况下,消费者在消费者在p0时时选择选择x0,称称x0被直接显示偏好于被直接显示偏好于x1.2)p0=(p1,p2)=(1,2),x0=(1,2);x1=(2,1).p0x0=5,p0x1=4,p0x0p0x1;x2=
20、(4,1).p0x2=6,p0x0p0x1,p1x1p1x0. 违反违反WARP.x2x1. .4242x1=(3/4,3)x0=(3,3/4)p0x1=p1x0=14.25,不违反不违反WARP.x2x1. . .43434) x1 x2 x3p1=(1,2),x1=(1,2) p1 5 4 6p2=(2,1),x2=(2,1) p2 4 5 6p3=(1,1),x3=(2,2) p3 3 3 4p1x1p1x2, x1被直接显示偏好于被直接显示偏好于x2;p2x2p2x1, x2被直接显示偏好于被直接显示偏好于x1;违反显示偏好弱公理违反显示偏好弱公理.6.显示偏好强公理显示偏好强公理(S
21、ARP)44441)x0.x1X,x0x1,消费者追求效用最大消费者追求效用最大化化,如果如果x0被直接或间接显示偏好于被直接或间接显示偏好于x1,那那么么x1不被直接或间接显示偏好于不被直接或间接显示偏好于x0.2)证明利用显示偏好原理采用反证法证明利用显示偏好原理采用反证法.3) x1 x2 x3 p1 20 10 22 p2 21 20 15 p3 12 15 14p1x1p1x2, x1被直接显示偏好于被直接显示偏好于x2;4545p2x2p2x3, x2被直接显示偏好于被直接显示偏好于x3; x1被间接显示偏好于被间接显示偏好于x3.p3x3p3x1, x3被直接显示偏好于被直接显示
22、偏好于x1.违反显示偏好强公理违反显示偏好强公理.二二.指数指数1.数量指数数量指数Iq=(w1x1t+w2x2t)/ (w1x1b+w2x2b)4646拉氏指数拉氏指数Lq=(p1bx1t+p2bx2t)/ (p1bx1b+p2bx2b)Lq1, xt直接显示偏好于直接显示偏好于xb.2.价格指数价格指数Ip=(w1p1t+w2p2t)/ (w1p1b+w2p2b)Lp=(x1bp1t+x2bp2t)/ (x1bp1b+x2bp2b)Pp=(x1tp1t+x2tp2t)/ (x1tp1b+x2tp2b)4747支出变动指数支出变动指数M=(p1tx1t+p2tx2t)/ (p1bx1b+p2
23、bx2b)LpM, xb直接显示偏好于直接显示偏好于xt.3.社会保险金的指数化社会保险金的指数化1)通货膨胀是价格上涨通货膨胀是价格上涨,截距都变小截距都变小,基基期预算线内移期预算线内移.2)通货膨胀一般来说是不平衡的通货膨胀一般来说是不平衡的,通货膨通货膨胀指数化前的预算线与基期预算线不平胀指数化前的预算线与基期预算线不平行行.3)通货膨胀完全指数化意味着通货膨胀通货膨胀完全指数化意味着通货膨胀4848EE基期预算线基期预算线发生通货发生通货膨胀不指膨胀不指数化的预数化的预算线算线指数化后的预算线指数化后的预算线4949指数化后的预算线过基期最优选择指数化后的预算线过基期最优选择E点点.4)通货膨胀指数化后的预算线与指数化前的通货膨胀指数化后的预算线与指数化前的预算线平行预算线平行,与基期预算线在与基期预算线在E点相交点相交.5)根据显示偏好原理根据显示偏好原理,指数化后的预算线落入指数化后的预算线落入基期预算线以内的一段不可能是最优选择基期预算线以内的一段不可能是最优选择.6)最优选择在指数化后的预算线落入基期预最优选择在指数化后的预算线落入基期预算线以外的一段上算线以外的一段上,如图如图E点点.7)E点位于点位于E点所在无差异曲线更高的无差异点所在无差异曲线更高的无差异曲线上曲线上.8)社会保险金的指数化提高了消费者的福利社会保险金的指数化提高了消费者的福利.5050
