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1、曲线曲面基本理论曲线曲面基本理论曲线曲面基本理论曲线曲面基本理论图形的计算机表示图形的计算机表示 图图图图形形形形的的的的计计计计算算算算机机机机表表表表示示示示是是是是形形形形状状状状信信信信息息息息计计计计算算算算机机机机表表表表示示示示、分分分分析析析析和和和和综综综综合合合合的核心。的核心。的核心。的核心。 即即即即：要要要要解解解解决决决决既既既既适适适适合合合合计计计计算算算算机机机机处处处处理理理理，且且且且有有有有效效效效地地地地满满满满足足足足形形形形状状状状表表表表示示示示与与与与几几几几何何何何设设设设计计计计的的的的要要要要求求求求，又又又又便便便便于于于于形形形形状状
2、状状信信信信息息息息传传传传递递递递和和和和数数数数据交换的形状描述的数学方法据交换的形状描述的数学方法据交换的形状描述的数学方法据交换的形状描述的数学方法。 形状数学描述应形状数学描述应形状数学描述应形状数学描述应保留对象形状的尽可能多的性质保留对象形状的尽可能多的性质保留对象形状的尽可能多的性质保留对象形状的尽可能多的性质。图形表示问题 形状描述要求参数化表示离散点表示形状数学描述的要求形状数学描述的要求 从从从从计计计计算算算算机机机机对对对对形形形形状状状状的的的的处处处处理理理理、便便便便于于于于形形形形状状状状信信信信息息息息传传传传递递递递与与与与数数数数据据据据交交交交换换换换
3、的角度来看应满足如下要求：的角度来看应满足如下要求：的角度来看应满足如下要求：的角度来看应满足如下要求： 唯一性：唯一性：唯一性：唯一性：由已给定的有限信息决定形状应是唯一的。由已给定的有限信息决定形状应是唯一的。由已给定的有限信息决定形状应是唯一的。由已给定的有限信息决定形状应是唯一的。 几几几几何何何何不不不不变变变变性性性性：形形形形状状状状相相相相对对对对位位位位置置置置确确确确定定定定后后后后，形形形形状状状状应应应应不不不不随随随随所所所所取的坐标系改变而改变。取的坐标系改变而改变。取的坐标系改变而改变。取的坐标系改变而改变。 易于定界：易于定界：易于定界：易于定界：容易界定参变量
4、取值范围。容易界定参变量取值范围。容易界定参变量取值范围。容易界定参变量取值范围。 统统统统一一一一性性性性：能能能能统统统统一一一一表表表表示示示示各各各各种种种种形形形形状状状状及及及及处处处处理理理理各各各各种种种种情情情情况况况况，包包包包括括括括各各各各种种种种特特特特殊殊殊殊情情情情况况况况。即即即即：既既既既能能能能表表表表示示示示自自自自由由由由型型型型曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面，又能表示初等解析曲线曲面。又能表示初等解析曲线曲面。又能表示初等解析曲线曲面。又能表示初等解析曲线曲面。 计算处理简便易行。计算处理简便易行。计算处理简便易行。计算处理简便易行。 具有丰富的表达
5、能力与灵活地响应的能力。具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。 易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。 易易易易于于于于实实实实现现现现对对对对形形形形状状状状的的的的控控控控制制制制，既既既既具具具具有有有有整整整整体体体体控控控控制制制制的的的的能能能能力力力力，又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。又具有局部控制的能力。具有较大的控
6、制的灵活性。又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。 几何直观，几何意义明显。几何直观，几何意义明显。几何直观，几何意义明显。几何直观，几何意义明显。图形表示问题 形状描述要求参数化表示离散点表示曲线曲面参数化表示问题曲线曲面参数化表示问题 曲曲曲曲线线线线和和和和曲曲曲曲面面面面可可可可由由由由给给给给定定定定数数数数学学学学函函函函数数数数生生生生成成成成，曲曲曲曲线线线线和和和和曲曲曲曲面面面面的的的的函函函函数数数数方程能表示为参数形式或非参数形式。方程能表示为参数形式或非参数形式。方程能表示为参数形式或非参数形式。方程能表示为参数形式或非参数形式。 对计算机图形应用而言，参数表
7、示一般更方便些。对计算机图形应用而言，参数表示一般更方便些。对计算机图形应用而言，参数表示一般更方便些。对计算机图形应用而言，参数表示一般更方便些。 曲线曲面的参数化曲线曲面的参数化曲线曲面的参数化曲线曲面的参数化 给给给给定定定定一一一一个个个个具具具具体体体体的的的的单单单单参参参参数数数数的的的的矢矢矢矢函函函函数数数数，并并并并据据据据此此此此给给给给出出出出一一一一个个个个具体的参数曲线具体的参数曲线具体的参数曲线具体的参数曲线曲面曲面曲面曲面方程。方程。方程。方程。 既决定了所表示既决定了所表示既决定了所表示既决定了所表示曲线曲线曲线曲线曲面曲面曲面曲面的形状的形状的形状的形状；
8、也也也也决决决决定定定定了了了了该该该该曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面上上上上的的的的点点点点与与与与其其其其参参参参数数数数域域域域内内内内的的的的点点点点( ( ( (即参数值即参数值即参数值即参数值) ) ) )之间的一种之间的一种之间的一种之间的一种对应关系对应关系对应关系对应关系。 在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面：在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面：在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面：在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面： 曲线曲线曲线曲线曲面曲面曲面曲面的整体，的整体，的整体，的整体，而不是组成这个整体的各个分量；而不是组成这个整体的各个分量；而不是组成
9、这个整体的各个分量；而不是组成这个整体的各个分量； 曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面上上上上点点点点之之之之间间间间的的的的相相相相对对对对位位位位置置置置关关关关系系系系，而而而而不不不不是是是是它它它它们们们们与与与与所取坐标系之间的相对位置关系。所取坐标系之间的相对位置关系。所取坐标系之间的相对位置关系。所取坐标系之间的相对位置关系。图形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表示曲线参数化概念曲线参数化概念 空间曲线上一点空间曲线上一点空间曲线上一点空间曲线上一点P P的每个坐标被表示为某个参
10、数的每个坐标被表示为某个参数的每个坐标被表示为某个参数的每个坐标被表示为某个参数u u的函数：的函数：的函数：的函数： x x= =x x( (u u), ), y y= =y y( (u u), ), z z= =z z( (u u) )， 位位位位置置置置矢矢矢矢量量量量：三三三三个个个个坐坐坐坐标标标标分分分分量量量量就就就就组组组组成成成成曲曲曲曲线线线线上上上上该该该该点点点点的的的的位位位位置置置置矢矢矢矢量量量量，曲线就可表示为参数曲线就可表示为参数曲线就可表示为参数曲线就可表示为参数u u的的的的矢函数矢函数矢函数矢函数： P P( (u u)=()=(x x( (u u),
11、),y y( (u u), ),z z( (u u) )。 参参参参数数数数区区区区间间间间：描描描描述述述述形形形形状状状状的的的的参参参参数数数数曲曲曲曲线线线线总总总总是是是是有有有有界界界界的的的的，可可可可以以以以方方方方便便便便地用地用地用地用参数区间参数区间参数区间参数区间表示：表示：表示：表示： u u u u1 1, ,u u2 2 ，或，或，或，或u u1 1 u u u u2 2。 参数曲线里的参数曲线里的参数曲线里的参数曲线里的参数参数参数参数可能具有某种几何意义，可能具有某种几何意义，可能具有某种几何意义，可能具有某种几何意义， 如如如如：圆圆圆圆参参参参数数数数方方
12、方方程程程程P P( ( )=()=(rcosrcos, ,rsinrsin)(0)(0 /2)/2)中中中中的的的的参参参参数数数数 ； 参数曲线里的参数曲线里的参数曲线里的参数曲线里的参数参数参数参数也可能无任何几何意义，也可能无任何几何意义，也可能无任何几何意义，也可能无任何几何意义， 如如如如：三三三三次次次次多多多多项项项项式式式式方方方方程程程程x x( (u u)=)=a ax xu u3 3+ +b bx xu u2 2+ +c cx xu u+ +d dx x(0(0u u1)1)中的参数中的参数中的参数中的参数u u。图形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系
13、 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表示曲线参数化方法曲线参数化方法 对于标量显函数方程如对于标量显函数方程如对于标量显函数方程如对于标量显函数方程如y y= =y y( (x x) )，只需：，只需：，只需：，只需： 将其中变量换成参数将其中变量换成参数将其中变量换成参数将其中变量换成参数u u； 将函数值将函数值将函数值将函数值y y换成位置矢量换成位置矢量换成位置矢量换成位置矢量P P( (u u) )； 将标量系数相应换成为系数矢量；将标量系数相应换成为系数矢量；将标量系数相应换成为系数矢量；将标量系数相应换成为系数矢量； 各阶导数各阶导数
14、各阶导数各阶导数d d( (k k) )y y/ /dxdxk k换成导数矢量换成导数矢量换成导数矢量换成导数矢量d d(k)(k)P P( (u u)/ )/duduk k。 由由由由于于于于在在在在许许许许多多多多参参参参数数数数形形形形式式式式之之之之前前前前就就就就存存存存在在在在相相相相应应应应的的的的非非非非参参参参数数数数形形形形式式式式( (如如如如：三三三三次次次次样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线有有有有三三三三次次次次样样样样条条条条函函函函数数数数，BzierBzier曲曲曲曲线线线线有有有有BernsteinBernstein基基基基函函函函数数数数等等等等) )，所所
15、所所以以以以，这这这这种种种种对对对对应应应应关关关关系系系系与与与与替替替替换换换换绝绝绝绝非是等价的非是等价的非是等价的非是等价的。 而而而而对对对对于于于于非非非非参参参参数数数数形形形形式式式式下下下下的的的的隐隐隐隐方方方方程程程程，则则则则可可可可转转转转换换换换成成成成等等等等价价价价的的的的参参参参数数数数形形形形式式式式，只只只只需需需需把把把把所所所所含含含含各各各各坐坐坐坐标标标标都都都都分分分分别别别别表表表表示示示示成成成成某某某某一一一一参参参参数数数数的的的的函函函函数数数数，使它们适合于该隐式方程。使它们适合于该隐式方程。使它们适合于该隐式方程。使它们适合于该隐
16、式方程。图形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表示曲线参数化：对应关系曲线参数化：对应关系 曲曲曲曲线线线线形形形形状状状状确确确确定定定定后后后后，曲曲曲曲线线线线上上上上的的的的点点点点与与与与参参参参数数数数域域域域内内内内的的的的点点点点的的的的对对对对应应应应关关关关系系系系是是是是指指指指：曲曲曲曲线线线线上上上上点点点点沿沿沿沿曲曲曲曲线线线线弧弧弧弧长长长长的的的的分分分分布布布布情情情情况况况况与与与与点点点点的的的的参参参参数数数数值值值值在在在在参参参参数数数数域域域域的的
17、的的分分分分布布布布情况情况情况情况之间对应。之间对应。之间对应。之间对应。 这这这这种种种种对对对对应应应应关关关关系系系系与与与与参参参参数数数数选选选选取取取取有有有有关关关关：仅仅仅仅在在在在曲曲曲曲线线线线取取取取自自自自身身身身弧弧弧弧长长长长或或或或弧弧弧弧长长长长的的的的线线线线性性性性函函函函数数数数为为为为参参参参数数数数时时时时，参参参参数数数数域域域域内内内内线线线线段段段段长长长长度度度度之之之之比比比比才才才才等等等等于于于于曲曲曲曲线上对应曲线段弧长之比。线上对应曲线段弧长之比。线上对应曲线段弧长之比。线上对应曲线段弧长之比。P(uP(u2 2) )P(uP(u1
18、 1) )P(u)P(u)u uu uu u1 1u u2 2u u 在在在在正正正正常常常常情情情情况况况况下下下下，曲曲曲曲线线线线上上上上参参参参数数数数为为为为u u 的的的的点点点点P(u)P(u)与与与与参参参参数数数数u u轴轴轴轴上上上上定定定定义义义义域域域域内内内内的点一一对应。的点一一对应。的点一一对应。的点一一对应。 凡在曲线上这种映射关系不成立的点称为凡在曲线上这种映射关系不成立的点称为凡在曲线上这种映射关系不成立的点称为凡在曲线上这种映射关系不成立的点称为奇点奇点奇点奇点。 曲线的自交点，即重点对应两个参数值就是奇点。曲线的自交点，即重点对应两个参数值就是奇点。曲线
19、的自交点，即重点对应两个参数值就是奇点。曲线的自交点，即重点对应两个参数值就是奇点。 同一条曲线的参数化不是唯一的：同一条曲线的参数化不是唯一的：同一条曲线的参数化不是唯一的：同一条曲线的参数化不是唯一的： 差别差别差别差别：曲线上点与参数域内的点之间的对应关系不同曲线上点与参数域内的点之间的对应关系不同曲线上点与参数域内的点之间的对应关系不同曲线上点与参数域内的点之间的对应关系不同。图形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表示曲线的参数化：性质曲线的参数化：性质 曲线上的点是参数曲线上的点是参数
20、曲线上的点是参数曲线上的点是参数u u的矢函数。的矢函数。的矢函数。的矢函数。 曲曲曲曲线线线线对对对对参参参参数数数数u u求求求求导导导导数数数数等等等等于于于于其其其其各各各各分分分分量量量量对对对对参参参参数数数数u u求求求求导导导导，其其其其结果为一矢量，称为结果为一矢量，称为结果为一矢量，称为结果为一矢量，称为导矢导矢导矢导矢；一阶导矢称为；一阶导矢称为；一阶导矢称为；一阶导矢称为切矢切矢切矢切矢。 切切切切矢矢矢矢以以以以及及及及各各各各阶阶阶阶导导导导矢矢矢矢都都都都是是是是相相相相对对对对矢矢矢矢量量量量，可可可可在在在在空空空空间间间间内内内内任任任任意平移。意平移。意平
21、移。意平移。 曲曲曲曲线线线线上上上上切切切切矢矢矢矢为为为为非非非非零零零零矢矢矢矢量量量量的的的的点点点点称称称称为为为为正正正正则则则则点点点点。若若若若曲曲曲曲线线线线在在在在其其其其参参参参数数数数域域域域内内内内处处处处处处处处切切切切矢矢矢矢为为为为非非非非零零零零矢矢矢矢量量量量，则则则则称称称称该该该该参参参参数数数数化为正则的，所定义的曲线称为化为正则的，所定义的曲线称为化为正则的，所定义的曲线称为化为正则的，所定义的曲线称为正则曲线正则曲线正则曲线正则曲线。 曲线采用参数表示后，就有了方向。曲线采用参数表示后，就有了方向。曲线采用参数表示后，就有了方向。曲线采用参数表示后
22、，就有了方向。 曲线的方向对应于曲线上参数增加的方向。曲线的方向对应于曲线上参数增加的方向。曲线的方向对应于曲线上参数增加的方向。曲线的方向对应于曲线上参数增加的方向。 曲线在一点的方向就是曲线在该点的切矢方向。曲线在一点的方向就是曲线在该点的切矢方向。曲线在一点的方向就是曲线在该点的切矢方向。曲线在一点的方向就是曲线在该点的切矢方向。 若若若若曲曲曲曲线线线线某某某某点点点点的的的的切切切切矢矢矢矢为为为为零零零零向向向向量量量量，则则则则该该该该点点点点的的的的方方方方向向向向可可可可由由由由在该点处的最低阶的非零导矢的方向决定。在该点处的最低阶的非零导矢的方向决定。在该点处的最低阶的非零
23、导矢的方向决定。在该点处的最低阶的非零导矢的方向决定。图形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表示 给给给给定定定定一一一一个个个个具具具具体体体体的的的的曲曲曲曲面面面面的的的的方方方方程程程程，称称称称之之之之为为为为给给给给定定定定了了了了一一一一个个个个曲曲曲曲面的参数化。面的参数化。面的参数化。面的参数化。 它它它它既既既既决决决决定定定定了了了了所所所所表表表表示示示示曲曲曲曲面面面面的的的的形形形形状状状状，也也也也决决决决定定定定了了了了该该该该曲曲曲曲面面面面上上上上的的的的点点
24、点点与与与与其其其其参参参参数数数数域域域域内内内内的的的的点点点点之之之之间间间间的的的的一一一一种对应关系。种对应关系。种对应关系。种对应关系。曲面的参数化：概念曲面的参数化：概念 曲面可表示为参数曲面可表示为参数曲面可表示为参数曲面可表示为参数u u、v v的矢函数的矢函数的矢函数的矢函数P P= =P P( (u u, ,v v) )描述。描述。描述。描述。 曲面的范围曲面的范围曲面的范围曲面的范围 常常常常用用用用两两两两个个个个参参参参数数数数的的的的变变变变化化化化区区区区间间间间所所所所表表表表示示示示的的的的uvuv参参参参数数数数平平平平面面面面上上上上的的的的一一一一个个
25、个个矩矩矩矩形区域：形区域：形区域：形区域：u u1 1 u u u u2 2、v v1 1 v v v v2 2给出。给出。给出。给出。 这样就相应得到具有四条边界的曲面即矩形曲面。这样就相应得到具有四条边界的曲面即矩形曲面。这样就相应得到具有四条边界的曲面即矩形曲面。这样就相应得到具有四条边界的曲面即矩形曲面。 也可定义在也可定义在也可定义在也可定义在uvuv参数平面的某一区域参数平面的某一区域参数平面的某一区域参数平面的某一区域 上，用上，用上，用上，用u u, ,v v 给出。给出。给出。给出。 正正正正常常常常情情情情况况况况下下下下，参参参参数数数数域域域域内内内内的的的的点点点点
26、与与与与曲曲曲曲面面面面上上上上的的的的点点点点构构构构成成成成一一一一一一一一对对对对应应应应的的的的映映映映射射射射关系。曲面上这种映射关系不成立的点为曲面的奇点。关系。曲面上这种映射关系不成立的点为曲面的奇点。关系。曲面上这种映射关系不成立的点为曲面的奇点。关系。曲面上这种映射关系不成立的点为曲面的奇点。u u1 1u uu u2 2v v2 2v v1 1v v(u,v)(u,v)P(u,v)P(u,v)u uv v图形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表示曲面的参数化：性质曲面的参数化
27、：性质 曲面的参数化不是唯一的。曲面的参数化不是唯一的。曲面的参数化不是唯一的。曲面的参数化不是唯一的。 参数曲面上存在两簇参数曲面上存在两簇参数曲面上存在两簇参数曲面上存在两簇等参数线：等参数线：等参数线：等参数线：一簇一簇一簇一簇u u线和一簇线和一簇线和一簇线和一簇v v线：线：线：线： 固固固固定定定定uvuv两两两两参参参参数数数数中中中中的的的的一一一一个个个个( (u u= =u u0 0或或或或v v= =v v0 0) )而而而而使使使使曲曲曲曲面面面面方方方方程程程程成成成成为为为为单单单单参参参参数数数数P P= =P P( (u u0 0, ,v v) )或或或或P P
28、= =P P( (u u, ,v v0 0) )的的的的矢矢矢矢函函函函数数数数，表表表表示示示示曲曲曲曲面面面面上上上上一一一一条条条条以以以以v v或或或或u u为为为为参参参参数数数数的的的的曲曲曲曲线线线线( (u u线线线线或或或或v v线线线线) )。 曲曲曲曲面面面面上上上上任任任任一一一一点点点点处处处处总总总总有有有有一一一一个个个个u u向向向向切切切切矢矢矢矢p pu u( (u u线线线线关关关关于于于于u u的的的的偏偏偏偏导导导导矢矢矢矢) )和一个和一个和一个和一个v v向切矢向切矢向切矢向切矢p pv v( (v v线关于线关于线关于线关于v v的偏导矢的偏导矢
29、的偏导矢的偏导矢) )。 若若若若该该该该点点点点处处处处两两两两个个个个切切切切矢矢矢矢不不不不平平平平行行行行，即即即即p pu u p pv v00的的的的点点点点称称称称为为为为曲曲曲曲面面面面的的的的正则点正则点正则点正则点。 曲面上曲面上曲面上曲面上p pu u p pv v=0=0的点是曲面上的一种的点是曲面上的一种的点是曲面上的一种的点是曲面上的一种奇点奇点奇点奇点。 这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同：这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同：这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同：这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同： 前前前前者者者者有有有有可可可可能
30、能能能因因因因两两两两非非非非零零零零导导导导矢矢矢矢平平平平行行行行或或或或退退退退化化化化边边边边引引引引起起起起，就可由重新参数化就可由重新参数化就可由重新参数化就可由重新参数化( (参数变换参数变换参数变换参数变换) )消除；消除；消除；消除； 后者由曲线的重新参数化可能消除不了。后者由曲线的重新参数化可能消除不了。后者由曲线的重新参数化可能消除不了。后者由曲线的重新参数化可能消除不了。图形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表示参数表示的优点参数表示的优点 与非参数相比，参数方法具有优点
31、：与非参数相比，参数方法具有优点：与非参数相比，参数方法具有优点：与非参数相比，参数方法具有优点： 几几几几何何何何不不不不变变变变性性性性：总总总总是是是是能能能能选选选选取取取取那那那那些些些些具具具具有有有有几几几几何何何何不不不不变变变变性性性性的的的的参参参参数数数数曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面表表表表示示示示形形形形式式式式，且且且且能能能能通通通通过过过过某某某某种种种种变变变变换换换换处处处处理理理理使使使使某某某某些些些些不不不不具有几何不变性的形式具有几何不变性具有几何不变性的形式具有几何不变性具有几何不变性的形式具有几何不变性具有几何不变性的形式具有几何不变性。 易于
32、规定曲线、曲面的范围。易于规定曲线、曲面的范围。易于规定曲线、曲面的范围。易于规定曲线、曲面的范围。 易于表示空间曲线。易于表示空间曲线。易于表示空间曲线。易于表示空间曲线。 易执行仿射变换和投影变换。易执行仿射变换和投影变换。易执行仿射变换和投影变换。易执行仿射变换和投影变换。 易于计算曲线、曲面上的点及其它信息。易于计算曲线、曲面上的点及其它信息。易于计算曲线、曲面上的点及其它信息。易于计算曲线、曲面上的点及其它信息。 易于处理多值问题。易于处理多值问题。易于处理多值问题。易于处理多值问题。 易于处理无穷大斜率。易于处理无穷大斜率。易于处理无穷大斜率。易于处理无穷大斜率。 便于曲线的分段、
33、分片描述。便于曲线的分段、分片描述。便于曲线的分段、分片描述。便于曲线的分段、分片描述。 提供对曲线、曲面形状控制的较多自由度。提供对曲线、曲面形状控制的较多自由度。提供对曲线、曲面形状控制的较多自由度。提供对曲线、曲面形状控制的较多自由度。 为向高维问题推广提供了可能性。为向高维问题推广提供了可能性。为向高维问题推广提供了可能性。为向高维问题推广提供了可能性。 隐隐隐隐式式式式方方方方程程程程在在在在曲曲曲曲线线线线和和和和曲曲曲曲面面面面上上上上点点点点相相相相对对对对位位位位置置置置的的的的判判判判断断断断和和和和求求求求交交交交方方方方面面面面具有优势。具有优势。具有优势。具有优势。图
34、形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表示曲线曲面的基表示曲线曲面的基表示 曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面可可可可由由由由某某某某一一一一组组组组基基基基函函函函数数数数及及及及其其其其相相相相联联联联系系系系的的的的系系系系数数数数矢矢矢矢量量量量来来来来给给给给出出出出： a ai i为系数矢量；为系数矢量；为系数矢量；为系数矢量； p p( ( ) )与与与与 i i( ( ) )根据曲线和曲面而有所不同：根据曲线和曲面而有所不同：根据曲线和曲面而有所不同：根据曲线和曲面而有所不同： 对对
35、对对于于于于曲曲曲曲线线线线，p p( ( ) )与与与与 i i( ( ) )分分分分别别别别为为为为单单单单参参参参数数数数的的的的矢矢矢矢函函函函数数数数及以该参数为变量的及以该参数为变量的及以该参数为变量的及以该参数为变量的基函数基函数基函数基函数； 对对对对于于于于曲曲曲曲面面面面，p p( ( ) )与与与与 i i( ( ) )分分分分别别别别为为为为双双双双参参参参数数数数的的的的矢矢矢矢函函函函数数数数及其以双参数为变量的及其以双参数为变量的及其以双参数为变量的及其以双参数为变量的基函数基函数基函数基函数； 上式称为曲线曲面的基表示。上式称为曲线曲面的基表示。上式称为曲线曲面
36、的基表示。上式称为曲线曲面的基表示。 表表表表示示示示曲曲曲曲线线线线、曲曲曲曲面面面面的的的的数数数数学学学学方方方方法法法法不不不不同同同同就就就就表表表表现现现现在在在在所所所所采采采采用用用用的的的的基函数不同基函数不同基函数不同基函数不同。 基基基基函函函函数数数数一一一一旦旦旦旦决决决决定定定定，系系系系数数数数矢矢矢矢量量量量也也也也就就就就完完完完全全全全定定定定义义义义了了了了曲曲曲曲线线线线、曲面。曲面。曲面。曲面。图形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表示基表示的几何不变性
37、基表示的几何不变性 按照所采用基函数的规范程度，基表示可分为三种类型：按照所采用基函数的规范程度，基表示可分为三种类型：按照所采用基函数的规范程度，基表示可分为三种类型：按照所采用基函数的规范程度，基表示可分为三种类型： 规范基表示：规范基表示：曲线或曲面上的整体满足柯西条件：曲线或曲面上的整体满足柯西条件：曲线或曲面上的整体满足柯西条件：曲线或曲面上的整体满足柯西条件： 例如：线性插值：例如：线性插值：例如：线性插值：例如：线性插值：P P( (u u)=(1-)=(1-u u) )P P0 0+ +uPuP1 1。 部分规范基表示：部分规范基表示：曲线或曲面上的部分段曲线或曲面上的部分段曲
38、线或曲面上的部分段曲线或曲面上的部分段( (片片片片) )满足：满足：满足：满足：例如：例如：例如：例如：P P( (u u)=)=a a0 0+ +a a1 1u u。 非规范基表示：非规范基表示：除了上述两种以外的情况。除了上述两种以外的情况。除了上述两种以外的情况。除了上述两种以外的情况。 例如：例如：例如：例如：P P( (u u)=(1-)=(1-u u) )2 2P P0 0+ +u u2 2P P1 1。 曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面表表表表示示示示的的的的几几几几何何何何不不不不变变变变性性性性是是是是指指指指它它它它们们们们不不不不依依依依赖赖赖赖于于于于坐坐坐坐标标标标
39、系系系系选选选选择择择择，或者说，或者说，或者说，或者说在旋转与平移变换下不变在旋转与平移变换下不变在旋转与平移变换下不变在旋转与平移变换下不变的性质。的性质。的性质。的性质。 规范基和部分规范基表示具有几何不变性；规范基和部分规范基表示具有几何不变性；规范基和部分规范基表示具有几何不变性；规范基和部分规范基表示具有几何不变性； 而非规范基表示不具有几何不变性。而非规范基表示不具有几何不变性。而非规范基表示不具有几何不变性。而非规范基表示不具有几何不变性。图形表示问题参数化表示 曲线参数化 参数化方法 对应关系 参数化性质 曲面参数化 参数化性质 参数化的优点 参数化基表示 几何不变性离散点表
40、示曲线曲面的离散点表示曲线曲面的离散点表示 曲曲曲曲线线线线和和和和曲曲曲曲面面面面可可可可由由由由给给给给定定定定数数数数学学学学函函函函数数数数生生生生成成成成，或或或或由由由由用用用用户户户户给给给给定定定定一一一一组组组组数据点数据点数据点数据点生成。生成。生成。生成。 数学函数：规则曲线数学函数：规则曲线数学函数：规则曲线数学函数：规则曲线和和和和规则曲面：规则曲面：规则曲面：规则曲面： 圆圆圆圆、抛抛抛抛物物物物线线线线、螺螺螺螺旋旋旋旋线线线线等等等等曲曲曲曲线线线线和和和和球球球球、圆圆圆圆柱柱柱柱、圆圆圆圆锥锥锥锥等等等等曲曲曲曲面面面面都都都都不不不不难难难难用用用用数数数
41、数学学学学方方方方程程程程式式式式表表表表示示示示出出出出来来来来，这这这这类类类类曲曲曲曲线和曲面分别称为线和曲面分别称为线和曲面分别称为线和曲面分别称为规则曲线规则曲线规则曲线规则曲线和和和和规则曲面规则曲面规则曲面规则曲面。 数据点：自由曲线数据点：自由曲线数据点：自由曲线数据点：自由曲线和和和和自由曲面：自由曲面：自由曲面：自由曲面： 曲曲曲曲线线线线和和和和曲曲曲曲面面面面的的的的形形形形状状状状相相相相当当当当自自自自由由由由又又又又不不不不规规规规则则则则，如如如如飞飞飞飞机机机机机机机机翼翼翼翼、汽汽汽汽车车车车车车车车身身身身、人人人人体体体体外外外外形形形形、卡卡卡卡通通通
42、通形形形形象象象象等等等等，很很很很难难难难用用用用数数数数学学学学式式式式表表表表示示示示，这这这这样样样样的的的的曲曲曲曲线线线线和和和和曲曲曲曲面面面面分分分分别别别别称称称称为为为为自由曲线自由曲线自由曲线自由曲线和和和和自由曲面自由曲面自由曲面自由曲面。 当当当当用用用用离离离离散散散散坐坐坐坐标标标标点点点点来来来来指指指指定定定定物物物物体体体体形形形形状状状状时时时时，则则则则要要要要根根根根据据据据应用要求得到最贴近这些点的函数式描述。应用要求得到最贴近这些点的函数式描述。应用要求得到最贴近这些点的函数式描述。应用要求得到最贴近这些点的函数式描述。 样条是这类曲线和曲面的范例
43、。样条是这类曲线和曲面的范例。样条是这类曲线和曲面的范例。样条是这类曲线和曲面的范例。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型离散点拟合曲线和曲面的方式离散点拟合曲线和曲面的方式 自自自自由由由由曲曲曲曲线线线线和和和和自自自自由由由由曲曲曲曲面面面面一一一一般般般般通通通通过过过过少少少少数数数数分分分分散散散散的的的的点点点点生生生生成成成成，这些点叫做这些点叫做这些点叫做这些点叫做“型值点型值点型值点型值点”、“样本点样本点样本点样本点”或或或或“控制点控制点控制点控制点”。要要要要根根根根据据据据应应应应用用用用
44、要要要要求求求求得得得得到到到到最最最最贴贴贴贴近近近近这这这这些些些些点点点点的的的的函函函函数数数数式式式式描描描描述。这种情况称为述。这种情况称为述。这种情况称为述。这种情况称为“曲线曲面的拟合曲线曲面的拟合曲线曲面的拟合曲线曲面的拟合” 在进行曲线曲面拟合时，一般遇到以下三种情况：在进行曲线曲面拟合时，一般遇到以下三种情况：在进行曲线曲面拟合时，一般遇到以下三种情况：在进行曲线曲面拟合时，一般遇到以下三种情况：插插插插值值值值：利利利利用用用用一一一一些些些些数数数数学学学学方方方方法法法法是是是是曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面按按按按要要要要求求求求通通通通过已知的点，而且具有一定
45、的光滑流畅程度。过已知的点，而且具有一定的光滑流畅程度。过已知的点，而且具有一定的光滑流畅程度。过已知的点，而且具有一定的光滑流畅程度。逼逼逼逼近近近近：曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面不不不不一一一一定定定定通通通通过过过过给给给给定定定定的的的的点点点点，但但但但是是是是靠靠靠靠近近近近各各各各点点点点，每每每每个个个个点点点点对对对对曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面都都都都有有有有某某某某种种种种看看看看不不不不见见见见的的的的吸引力。吸引力。吸引力。吸引力。设设设设计计计计：已已已已知知知知的的的的点点点点太太太太少少少少，需需需需要要要要根根根根据据据据实实实实际际际际情情情情况况况
46、况增增增增加加加加一一一一些些些些控控控控制制制制点点点点，然然然然后后后后用用用用上上上上述述述述两两两两种种种种方方方方法法法法之之之之一一一一生生生生成成成成曲曲曲曲线曲面。线曲面。线曲面。线曲面。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型参数样条曲线参数样条曲线 参参参参数数数数样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线可可可可从从从从“ “参参参参数数数数” ”和和和和“ “样样样样条条条条” ”这这这这两两两两个个个个意意意意思思思思上上上上去去去去理解。理解。理解。理解。 参参参参数数数数是是是是指指指指曲曲曲曲线线线
47、线方方方方程程程程中中中中使使使使用用用用的的的的自自自自变变变变量量量量，当当当当它它它它在在在在某某某某个个个个范范范范围围围围内改变时，对应坐标点在曲线上移动。内改变时，对应坐标点在曲线上移动。内改变时，对应坐标点在曲线上移动。内改变时，对应坐标点在曲线上移动。 “ “参数曲线参数曲线参数曲线参数曲线” ”是指用参数作为自变量的函数曲线，是指用参数作为自变量的函数曲线，是指用参数作为自变量的函数曲线，是指用参数作为自变量的函数曲线， 有时使用参数曲线可简化矢量表示形式。有时使用参数曲线可简化矢量表示形式。有时使用参数曲线可简化矢量表示形式。有时使用参数曲线可简化矢量表示形式。 例如，直线
48、段的矢量形式为：例如，直线段的矢量形式为：例如，直线段的矢量形式为：例如，直线段的矢量形式为： P P( (t t)=(1-)=(1-t t) )P P0 0+ +tPtP1 1； 其参数形式可抽象为：其参数形式可抽象为：其参数形式可抽象为：其参数形式可抽象为： P P( (t t)=)= 0 0( (t t) )P P0 0+ + 1 1( (t t) )P P1 1， 式式式式中中中中： 1 1( (t t) )为为为为(1-(1-t t) )， 1 1( (t t) )为为为为t t。 1 1( (t t) )和和和和 1 1( (t t) )叫叫叫叫做做做做“ “混合函数混合函数混合函
49、数混合函数” ”、“ “权函数权函数权函数权函数” ”或或或或“ “基函数基函数基函数基函数” ”， 它它它它们们们们表表表表示示示示随随随随着着着着t t从从从从0 0到到到到1 1变变变变化化化化，P P0 0和和和和P P1 1对对对对整整整整个个个个线线线线段段段段所所所所作的贡献。作的贡献。作的贡献。作的贡献。t t 0 0=1-t=1-t 1 1=t=tt t图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型样条曲线的概念样条曲线的概念
50、在在在在绘绘绘绘图图图图术术术术语语语语中中中中，样样样样条条条条是是是是通通通通过过过过一一一一组组组组指指指指定定定定点点点点集集集集来来来来生生生生成成成成平平平平滑滑滑滑曲曲曲曲线线线线的的的的柔柔柔柔性带性带性带性带。 样样样样条条条条原原原原指指指指一一一一种种种种绘绘绘绘图图图图工工工工具具具具，它它它它用用用用柔柔柔柔软软软软细细细细长长长长的的的的弹弹弹弹性性性性木木木木条条条条或或或或金金金金属属属属条条条条构构构构成成成成。绘绘绘绘图图图图员员员员可可可可使使使使之之之之弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形，以以以以便便便便通通通通过过过过若若若若干干干干已已已已知知知知的的
51、的的数数数数据点据点据点据点，然后用铅笔顺着它将曲线绘出。，然后用铅笔顺着它将曲线绘出。，然后用铅笔顺着它将曲线绘出。，然后用铅笔顺着它将曲线绘出。 实实实实际际际际上上上上，曲曲曲曲线线线线绘绘绘绘制制制制时时时时，几几几几个个个个小小小小的的的的“ “权权权权重重重重” ”沿沿沿沿“ “柔柔柔柔性性性性钢钢钢钢条条条条” ” 长度分配，并固定在绘图位置上绘制的曲线。长度分配，并固定在绘图位置上绘制的曲线。长度分配，并固定在绘图位置上绘制的曲线。长度分配，并固定在绘图位置上绘制的曲线。 数数数数学学学学中中中中的的的的样样样样条条条条含含含含意意意意是是是是指指指指模模模模仿仿仿仿上上上上述
52、述述述过过过过程程程程的的的的一一一一种种种种的的的的数数数数学学学学方方方方法法法法，用用用用这这这这种方法生成的曲线叫做种方法生成的曲线叫做种方法生成的曲线叫做种方法生成的曲线叫做“ “样条曲线样条曲线样条曲线样条曲线” ”： 样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线通通通通常常常常有有有有多多多多段段段段低低低低次次次次曲曲曲曲线线线线段段段段构构构构成成成成，用用用用分分分分段段段段多多多多项项项项式式式式函函函函数数数数来描述，其连接处有连续的一次和二次导数来描述，其连接处有连续的一次和二次导数来描述，其连接处有连续的一次和二次导数来描述，其连接处有连续的一次和二次导数 。 其其其其中中中中
53、三三三三次次次次样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线段段段段最最最最为为为为常常常常见见见见：所所所所谓谓谓谓三三三三次次次次是是是是指指指指曲曲曲曲线线线线用用用用多项式表示时，多项式中幂的最高次数是多项式表示时，多项式中幂的最高次数是多项式表示时，多项式中幂的最高次数是多项式表示时，多项式中幂的最高次数是3 3。 参数样条曲面通过用两个参数对样条曲线的推广获得。参数样条曲面通过用两个参数对样条曲线的推广获得。参数样条曲面通过用两个参数对样条曲线的推广获得。参数样条曲面通过用两个参数对样条曲线的推广获得。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条
54、曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型样条曲线的应用样条曲线的应用 在计算机图形学中，在计算机图形学中，在计算机图形学中，在计算机图形学中， 样条曲线指样条曲线指样条曲线指样条曲线指由多项式曲线段连接由多项式曲线段连接由多项式曲线段连接由多项式曲线段连接而成的曲线。而成的曲线。而成的曲线。而成的曲线。 在每段的在每段的在每段的在每段的边界处边界处边界处边界处满足满足满足满足特定连续条件特定连续条件特定连续条件特定连续条件。 样条曲面可用样条曲面可用样条曲面可用样条曲面可用两组正交样条曲线两组正交样条曲线两组正交样条曲线两组正交样
55、条曲线来描述来描述来描述来描述。 在图形学应用中使用在图形学应用中使用在图形学应用中使用在图形学应用中使用几个不同的样条描述几个不同的样条描述几个不同的样条描述几个不同的样条描述 每种描述是一个每种描述是一个每种描述是一个每种描述是一个带有某特定边界条件带有某特定边界条件带有某特定边界条件带有某特定边界条件多项式多项式多项式多项式的特殊类型的特殊类型的特殊类型的特殊类型。 用来设计曲线和曲面形状；用来设计曲线和曲面形状；用来设计曲线和曲面形状；用来设计曲线和曲面形状； 用来对图形数字化以便存入计算机；用来对图形数字化以便存入计算机；用来对图形数字化以便存入计算机；用来对图形数字化以便存入计算机
56、； 用来标识场景中物体或摄影的动画途径用来标识场景中物体或摄影的动画途径用来标识场景中物体或摄影的动画途径用来标识场景中物体或摄影的动画途径。 样条曲线由样条曲线由样条曲线由样条曲线由控制点控制点控制点控制点定义、建模和管理。定义、建模和管理。定义、建模和管理。定义、建模和管理。 控制点控制点控制点控制点给出曲线的大致形状。给出曲线的大致形状。给出曲线的大致形状。给出曲线的大致形状。 通通通通过过过过交交交交互互互互选选选选择择择择控控控控制制制制点点点点空空空空间间间间位位位位置置置置，经经经经多多多多项项项项式式式式拟拟拟拟合合合合后后后后可可可可显显显显示初始曲线。示初始曲线。示初始曲线
57、。示初始曲线。 设计者可设计者可设计者可设计者可重定位部分或全部控制点重定位部分或全部控制点重定位部分或全部控制点重定位部分或全部控制点以重建曲线的形状，以重建曲线的形状，以重建曲线的形状，以重建曲线的形状， 通过通过通过通过对控制点进行变换对控制点进行变换对控制点进行变换对控制点进行变换，可平移、旋转或缩放曲线。，可平移、旋转或缩放曲线。，可平移、旋转或缩放曲线。，可平移、旋转或缩放曲线。 CADCAD软件包可软件包可软件包可软件包可插入另外的控制点插入另外的控制点插入另外的控制点插入另外的控制点来调整曲线形状。来调整曲线形状。来调整曲线形状。来调整曲线形状。图形表示问题参数化表示曲线曲面性
58、质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型参数样条分类：插值和逼近参数样条分类：插值和逼近 根据根据根据根据控制点控制点控制点控制点选取分段连续多项式函数：选取分段连续多项式函数：选取分段连续多项式函数：选取分段连续多项式函数： 若若若若选选选选取取取取的的的的多多多多项项项项式式式式使使使使所所所所得得得得曲曲曲曲线线线线通通通通过过过过每每每每个个个个控控控控制制制制点点点点，则则则则所所所所得得得得曲线称为这组控制点的曲线称为这组控制点的曲线称为这组控制点的曲线称为这
59、组控制点的插值样条曲线插值样条曲线插值样条曲线插值样条曲线； 插值曲线常用于绘图或动画设计，插值曲线常用于绘图或动画设计，插值曲线常用于绘图或动画设计，插值曲线常用于绘图或动画设计， 若若若若多多多多项项项项式式式式选选选选取取取取使使使使得得得得曲曲曲曲线线线线不不不不一一一一定定定定通通通通过过过过每每每每个个个个控控控控制制制制点点点点，所所所所得得得得曲线称为这组控制点的曲线称为这组控制点的曲线称为这组控制点的曲线称为这组控制点的逼近样条曲线逼近样条曲线逼近样条曲线逼近样条曲线。 逼近曲线一般用来构造物体表面。逼近曲线一般用来构造物体表面。逼近曲线一般用来构造物体表面。逼近曲线一般用来
60、构造物体表面。插值与逼近样条插值与逼近样条插值与逼近样条插值与逼近样条图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型参数样条性质参数样条性质 包围一组控制点的包围一组控制点的包围一组控制点的包围一组控制点的凸多边形边界凸多边形边界凸多边形边界凸多边形边界称为称为称为称为凸包凸包凸包凸包。 凸包提供凸包提供凸包提供凸包提供曲线或曲面曲线或曲面曲线或曲面曲线或曲面与与与与围绕控制点区域围绕控制点区域围绕控制点区域围绕控制点区域间间间间偏差的测量偏差的
61、测量偏差的测量偏差的测量。 凸包内部的多边形区域也可用于裁剪等算法。凸包内部的多边形区域也可用于裁剪等算法。凸包内部的多边形区域也可用于裁剪等算法。凸包内部的多边形区域也可用于裁剪等算法。 对对对对于于于于逼逼逼逼近近近近样样样样条条条条，连连连连接接接接有有有有一一一一定定定定次次次次序序序序控控控控制制制制点点点点的的的的直直直直线线线线序序序序列列列列通通通通常常常常称称称称作作作作曲曲曲曲线的控制图线的控制图线的控制图线的控制图或或或或控制多边形控制多边形控制多边形控制多边形和和和和特征多边形特征多边形特征多边形特征多边形。 设计时，控制多边形通常显示以提醒设计者控制点的次序。设计时，
62、控制多边形通常显示以提醒设计者控制点的次序。设计时，控制多边形通常显示以提醒设计者控制点的次序。设计时，控制多边形通常显示以提醒设计者控制点的次序。样条曲线凸包样条曲线凸包样条曲线凸包样条曲线凸包控制多边形控制多边形控制多边形控制多边形图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型参数样条的统一表示方法参数样条的统一表示方法 假设沿样条段路径有下列关于假设沿样条段路径有下列关于假设沿样条段路径有下列关于假设沿样条段路径有下列关于x x坐标的三次参
63、数多项式表示：坐标的三次参数多项式表示：坐标的三次参数多项式表示：坐标的三次参数多项式表示：x x( (u u)=)=a ax xu u3 3+ +b bx xu u2 2+ +c cx xu u+ +d dx x，(0(0u u1)1)(1)(1) 曲线的曲线的曲线的曲线的边界条件边界条件边界条件边界条件可设为：可设为：可设为：可设为：端点坐标端点坐标端点坐标端点坐标和和和和端点处的一阶导数端点处的一阶导数端点处的一阶导数端点处的一阶导数。这四个边界条件是决定系数这四个边界条件是决定系数这四个边界条件是决定系数这四个边界条件是决定系数a ax x、b bx x、c cx x和和和和d dx
64、x值的充分条件。值的充分条件。值的充分条件。值的充分条件。 根据边界条件，将方程根据边界条件，将方程根据边界条件，将方程根据边界条件，将方程(1)(1)写为矩形乘积形式：写为矩形乘积形式：写为矩形乘积形式：写为矩形乘积形式： x x( (u u)=)=u u3 3 u u2 2 u u 1 1a ax x b bx x c cx x d dx x T T= =U U C C(2)(2) U U是参数是参数是参数是参数u u幂次幂次幂次幂次行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵，C C是是是是系数列矩阵系数列矩阵系数列矩阵系数列矩阵。 运用方程运用方程运用方程运用方程(2)(2)可写出矩阵形式的边界条件，并求
65、得系数矩阵：可写出矩阵形式的边界条件，并求得系数矩阵：可写出矩阵形式的边界条件，并求得系数矩阵：可写出矩阵形式的边界条件，并求得系数矩阵： C C= =MMsplinespline MMgeomgeom (3)(3) MMgeomgeom是是是是包包包包含含含含样样样样条条条条几几几几何何何何约约约约束束束束值值值值( (边边边边界界界界条条条条件件件件) )的的的的4 4元元元元素素素素列列列列矩矩矩矩阵阵阵阵 包含包含包含包含控制点的坐标值控制点的坐标值控制点的坐标值控制点的坐标值和其它和其它和其它和其它已被指定的几何约束已被指定的几何约束已被指定的几何约束已被指定的几何约束。 MMspl
66、inespline是是是是4444矩矩矩矩阵阵阵阵，它它它它将将将将几几几几何何何何约约约约束束束束值值值值转转转转化化化化成成成成多多多多项项项项式式式式系系系系数数数数且且且且提提提提供供供供样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线特特特特征征征征，有有有有时时时时称称称称基基基基本本本本矩矩矩矩阵阵阵阵，对对对对样样样样条条条条表表表表示示示示间的转换特别有用。间的转换特别有用。间的转换特别有用。间的转换特别有用。 这样，方程这样，方程这样，方程这样，方程(2)(2)可表示为：可表示为：可表示为：可表示为： x x( (u u)=)=U U MMsplinespline MMgeomgeom (
67、4)(4)图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型参数样条基函数表示方法参数样条基函数表示方法 扩扩扩扩展展展展方方方方程程程程(4)(4)可可可可得得得得到到到到关关关关于于于于坐坐坐坐标标标标x x的的的的几几几几何何何何约约约约束束束束参参参参数数数数多多多多项式表示：项式表示：项式表示：项式表示： a ai i是约束参数，是约束参数，是约束参数，是约束参数， 如控制点坐标和控制点处的曲线斜率；如控制点坐标和控制点处的曲线斜率；如控制
68、点坐标和控制点处的曲线斜率；如控制点坐标和控制点处的曲线斜率； i i( (u u) )是多项式是多项式是多项式是多项式混合函数混合函数混合函数混合函数或或或或基函数基函数基函数基函数。 有有有有三三三三个个个个等等等等价价价价方方方方法法法法来来来来计计计计算算算算特特特特定定定定样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线路路路路径径径径位位位位置置置置的的的的混合函数混合函数混合函数混合函数或或或或基函数基函数基函数基函数： 列出一组加在样条上的列出一组加在样条上的列出一组加在样条上的列出一组加在样条上的边界条件边界条件边界条件边界条件； 列出列出列出列出刻划样条特征的行列式刻划样条特征的行列式刻划
69、样条特征的行列式刻划样条特征的行列式； 列出列出列出列出确定如何组合指定的曲线几何约束确定如何组合指定的曲线几何约束确定如何组合指定的曲线几何约束确定如何组合指定的曲线几何约束。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条曲线概念 样条曲线应用 样条曲线分类 参数样条性质 样条统一表示 样条基函数 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型参数样条的连接性质参数样条的连接性质 通常，曲线曲面都是由多个曲线段或曲面片构成。通常，曲线曲面都是由多个曲线段或曲面片构成。通常，曲线曲面都是由多个曲线段或曲面片构成。通常，曲线曲面都是由多个曲线段或曲面片构成。 为为为为保
70、保保保证证证证分分分分段段段段参参参参数数数数曲曲曲曲线线线线从从从从一一一一段段段段到到到到另另另另一一一一段段段段平平平平滑滑滑滑过过过过渡渡渡渡，可可可可在连接点处要求各种连续性条件。在连接点处要求各种连续性条件。在连接点处要求各种连续性条件。在连接点处要求各种连续性条件。 曲线曲面连接的连续性类型曲线曲面连接的连续性类型曲线曲面连接的连续性类型曲线曲面连接的连续性类型 参数连续性；参数连续性；参数连续性；参数连续性； 几何连续性。几何连续性。几何连续性。几何连续性。(a)(b)P P3,03,0P P0,30,3P P0,10,1P P0,00,0P P0,20,2P P1,31,3P
71、 P1,11,1P P1,01,0P P1,21,2P P2,32,3P P2,12,1P P2,02,0P P2,22,2P P3,33,3P P3,13,1P P3,23,2图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 参数连续性 参数连续应用 几何连续性 连续性比较 光顺性准则 光顺性应用 三次插值样条 插值样条类型参数连续性条件参数连续性条件 参参数数连连续续性性是是是是通通通通过过过过在在在在曲曲曲曲线线线线段段段段公公公公共共共共部部部部分分分分匹匹匹匹配配配配参数导数参数导数参数导数参数导数来建立的来建立的来建立的来建立的。 0 0阶阶参
72、参数数连连续续性性：记记记记作作作作C C连连连连续续续续，是是是是指指指指曲曲曲曲线相连，线相连，线相连，线相连， 即即即即第第第第一一一一个个个个曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在u u2 2处处处处的的的的x x、y y、z z值值值值与与与与第第第第二二二二个个个个曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在u u1 1处处处处的的的的x x、y y、z z值值值值相等；相等；相等；相等； 一一阶阶参参数数连连续续：即即即即C C1 1连连连连续续续续性性性性，指指指指代代代代表表表表两两两两个个个个相相相相邻邻邻邻曲曲曲曲线线线线段段段段的的的的方方方方程程程程在在在在相相相相交交交交点点点点处处
73、处处有有有有相相相相同同同同的一阶导数的一阶导数的一阶导数的一阶导数( (切线切线切线切线) )。 二二阶阶参参数数连连续续性性：即即即即C C2 2连连连连续续续续性性性性，是是是是指指指指两两两两个个个个曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在交交交交点点点点处处处处有有有有相相相相同同同同的的的的一一一一阶阶阶阶和和和和二二二二阶阶阶阶导数；导数；导数；导数； 高阶参数连续性高阶参数连续性可类似定义。可类似定义。可类似定义。可类似定义。(a)(b)(c)图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 参数连续性 参数连续应用 几何连续性 连续性比较 光顺性
74、准则 光顺性应用 三次插值样条 插值样条类型参数连续性应用参数连续性应用 连续性性质与应用连续性性质与应用连续性性质与应用连续性性质与应用 对对对对二二阶阶连连续续性性，交交交交点点点点处处处处的的的的切切切切向向向向量量量量变变变变化化化化率率率率相相相相等等等等，这这这这样样样样，切线从一个曲线段平滑地变化到另一个曲线段。切线从一个曲线段平滑地变化到另一个曲线段。切线从一个曲线段平滑地变化到另一个曲线段。切线从一个曲线段平滑地变化到另一个曲线段。 二二二二阶阶阶阶连连连连续续续续性性性性对对对对电电电电影影影影中中中中的的的的动动动动画画画画途途途途径径径径和和和和很很很很多多多多精精精精
75、密密密密CADCAD需求有用。需求有用。需求有用。需求有用。 但但但但对对对对一一阶阶连连续续性性，两两两两段段段段的的的的切切切切向向向向量量量量变变变变化化化化率率率率可可可可能能能能会会会会不不不不同同同同，因此两个相连曲线段总的形状会有突变。因此两个相连曲线段总的形状会有突变。因此两个相连曲线段总的形状会有突变。因此两个相连曲线段总的形状会有突变。 一一一一阶阶阶阶连连连连续续续续性性性性对对对对数数数数字字字字化化化化绘绘绘绘画画画画及及及及一一一一些些些些设设设设计计计计应应应应用用用用已已已已经经经经足足足足够。够。够。够。(a)(b)(c)图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散
76、点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 参数连续性 参数连续应用 几何连续性 连续性比较 光顺性准则 光顺性应用 三次插值样条 插值样条类型几何连续性条件几何连续性条件 几几几几何何何何连连连连续续续续性性性性条条条条件件件件只只只只需需需需两两两两曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在相相相相交交交交处处处处的的的的参参参参数数数数导导导导数成比例数成比例数成比例数成比例而不是相等。而不是相等。而不是相等。而不是相等。 0 0阶阶几几何何连连续续性性，记记记记为为为为G G0 0，与与与与0 0阶阶阶阶参参参参数数数数连连连连续续续续性性性性相相相相同，即两个曲线段必在公共点处有相同的坐
77、标；同，即两个曲线段必在公共点处有相同的坐标；同，即两个曲线段必在公共点处有相同的坐标；同，即两个曲线段必在公共点处有相同的坐标； 一一阶阶几几何何连连续续性性，记记记记为为为为G G1 1连连连连续续续续性性性性，指指指指一一一一阶阶阶阶导导导导数数数数在两个相邻段的交点处成比例。在两个相邻段的交点处成比例。在两个相邻段的交点处成比例。在两个相邻段的交点处成比例。 G G1 1连连连连续续续续下下下下，相相相相邻邻邻邻曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在交交交交点点点点处处处处切切切切向向向向量量量量的的的的大小不一定相等。大小不一定相等。大小不一定相等。大小不一定相等。 二二阶阶几几何何连连续
78、续性性，记记记记为为为为G G2 2，指指指指两两两两个个个个曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在相相相相交交交交处处处处其其其其一一一一次次次次和和和和二二二二次次次次导导导导数数数数均均均均成成成成比比比比例例例例。简简简简称称称称曲曲曲曲率率率率连连连连续。续。续。续。 G G2 2连连连连续续续续性性性性下下下下，两两两两个个个个曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在交交交交点点点点处处处处的的的的曲曲曲曲率率率率相等。相等。相等。相等。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 参数连续性 参数连续应用 几何连续性 连续性比较 光顺性准则 光顺性应用
79、 三次插值样条 插值样条类型几何连续性和参数连续性比较几何连续性和参数连续性比较 生生生生成成成成带带带带有有有有几几几几何何何何连连连连续续续续条条条条件件件件的的的的曲曲曲曲线线线线与与与与生生生生成成成成带带带带有有有有参参参参数数数数连连连连续续续续条条条条件件件件的曲线有一些类似，但二者曲线形状有点差别。的曲线有一些类似，但二者曲线形状有点差别。的曲线有一些类似，但二者曲线形状有点差别。的曲线有一些类似，但二者曲线形状有点差别。 对几何连续性，曲线弯向较大的切向量。对几何连续性，曲线弯向较大的切向量。对几何连续性，曲线弯向较大的切向量。对几何连续性，曲线弯向较大的切向量。 在在在在函
80、函函函数数数数曲曲曲曲线线线线中中中中，参参参参数数数数连连连连续续续续性性性性( (可可可可微微微微性性性性) )与与与与几几几几何何何何连连连连续性续性续性续性( (光滑度光滑度光滑度光滑度G G2 2) )是一致的；是一致的；是一致的；是一致的； 在在在在参参参参数数数数曲曲曲曲线线线线里里里里，仅仅仅仅当当当当曲曲曲曲线线线线为为为为正正正正则则则则时时时时，这这这这种种种种一一一一致致致致性保持成立。性保持成立。性保持成立。性保持成立。三个控制点拟合成两曲线段并带有三个控制点拟合成两曲线段并带有三个控制点拟合成两曲线段并带有三个控制点拟合成两曲线段并带有(a)(a)参数连续性；参数连
81、续性；参数连续性；参数连续性；(b)(b)几何连续几何连续几何连续几何连续性。性。性。性。其中曲线其中曲线其中曲线其中曲线C C3 3上上上上P P1 1点处的切向量值比曲线点处的切向量值比曲线点处的切向量值比曲线点处的切向量值比曲线C C1 1上上上上P P1 1点处的切向量值大。点处的切向量值大。点处的切向量值大。点处的切向量值大。P P1 1P P0 0P P2 2C C1 1C C2 2(a)(a)P P 1c11c1= = P P 1c21c2P P1 1P P0 0P P2 2C C1 1C C3 3(b)(b)P P 1c11c1 P P 1c31c3图形表示问题参数化表示曲线曲
82、面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 参数连续性 参数连续应用 几何连续性 连续性比较 光顺性准则 光顺性应用 三次插值样条 插值样条类型曲线曲面的光顺性准则曲线曲面的光顺性准则 光光光光顺顺顺顺性性性性(smoothness(smoothness或或或或fairness)fairness)是是是是曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面中中中中很很很很普普普普遍遍遍遍又又又又很很很很重重重重要要要要的的的的概概概概念念念念。目目目目前前前前关关关关于于于于光光光光顺顺顺顺性性性性的的的的准准准准则则则则存存存存在在在在不不不不同同同同的的的的提提提提法法法法，缺缺缺缺乏乏乏乏统
83、统统统一一一一的判据。的判据。的判据。的判据。 过过过过同同同同一一一一数数数数据据据据点点点点且且且且具具具具有有有有相相相相同同同同边边边边界界界界几几几几何何何何约约约约束束束束的的的的两两两两条条条条平平平平面面面面插插插插值值值值曲线相对光顺性的四项判据或准则：曲线相对光顺性的四项判据或准则：曲线相对光顺性的四项判据或准则：曲线相对光顺性的四项判据或准则： 二阶几何连续二阶几何连续( (G G2 2连续连续) )； 不存在奇点与多余的拐点；不存在奇点与多余的拐点； 曲率变化较小；曲率变化较小； 应变能较小。应变能较小。 边界几何约束边界几何约束边界几何约束边界几何约束是指边界条件中与
84、参数无关的几何信息，是指边界条件中与参数无关的几何信息，是指边界条件中与参数无关的几何信息，是指边界条件中与参数无关的几何信息， 如：切线方向与曲率，如：切线方向与曲率，如：切线方向与曲率，如：切线方向与曲率， 不包括与参数有关的那些信息，如切矢模长。不包括与参数有关的那些信息，如切矢模长。不包括与参数有关的那些信息，如切矢模长。不包括与参数有关的那些信息，如切矢模长。 之所以要求几何连续而不是参数连续之所以要求几何连续而不是参数连续之所以要求几何连续而不是参数连续之所以要求几何连续而不是参数连续 参参参参数数数数连连连连续续续续不不不不一一一一定定定定能能能能保保保保证证证证切切切切线线线线
85、方方方方向向向向与与与与曲曲曲曲率率率率连连连连续续续续。这这这这是是是是参参参参数曲线与函数曲线的明显不同之处。数曲线与函数曲线的明显不同之处。数曲线与函数曲线的明显不同之处。数曲线与函数曲线的明显不同之处。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 参数连续性 参数连续应用 几何连续性 连续性比较 光顺性准则 光顺性应用 三次插值样条 插值样条类型曲线曲面的光顺性应用曲线曲面的光顺性应用 目目目目前前前前曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面的的的的光光光光顺顺顺顺性性性性大大大大多多多多是是是是由由由由相相相相对对对对曲曲曲曲率率率率随随随随弧弧弧弧
86、长长长长变变变变化化化化的的的的图形图形图形图形即即即即曲率图曲率图曲率图曲率图来衡量的：来衡量的：来衡量的：来衡量的： 一一条条曲曲线线是是光光顺顺的的，如如果果它它的的曲曲率率图图是是连连续续的的且且仅仅由一些单调段组成由一些单调段组成。 对对对对于于于于插插插插值值值值曲曲曲曲线线线线，光光光光顺顺顺顺法法法法通通通通常常常常是是是是指指指指通通通通过过过过修修修修改改改改数数数数据据据据点点点点以以以以使生成的插值曲线或曲面光顺性得到改善的方法：使生成的插值曲线或曲面光顺性得到改善的方法：使生成的插值曲线或曲面光顺性得到改善的方法：使生成的插值曲线或曲面光顺性得到改善的方法： 这这这这
87、种种种种方方方方法法法法是是是是以以以以参参参参数数数数连连连连续续续续性性性性为为为为基基基基础础础础的的的的，以以以以牺牺牺牺牲牲牲牲所所所所谓谓谓谓“ “坏坏坏坏点点点点” ”的的的的位位位位置置置置精精精精度度度度，来来来来换换换换取取取取曲曲曲曲线线线线曲曲曲曲面面面面的的的的光光光光顺性的改善。顺性的改善。顺性的改善。顺性的改善。 几几几几何何何何连连连连续续续续性性性性将将将将曲曲曲曲线线线线的的的的光光光光顺顺顺顺变变变变成成成成利利利利用用用用所所所所提提提提供供供供的的的的形形形形状状状状参参参参数对曲线进行形状控制数对曲线进行形状控制数对曲线进行形状控制数对曲线进行形状控
88、制。 除除除除非非非非特特特特别别别别需需需需要要要要，它它它它无无无无需需需需调调调调整整整整数数数数据据据据点点点点，这这这这为为为为光光光光顺顺顺顺性问题的解决提供了豁然洞开的境地。性问题的解决提供了豁然洞开的境地。性问题的解决提供了豁然洞开的境地。性问题的解决提供了豁然洞开的境地。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 参数连续性 参数连续应用 几何连续性 连续性比较 光顺性准则 光顺性应用 三次插值样条 插值样条类型三次插值样条曲线三次插值样条曲线 插插插插值值值值样样样样条条条条大大大大多多多多用用用用来来来来建建建建立立立立物物物物
89、体体体体运运运运动动动动路路路路径径径径或或或或提提提提供供供供实实实实体体体体表表表表示示示示和绘画，有时也用来设计物体形状。和绘画，有时也用来设计物体形状。和绘画，有时也用来设计物体形状。和绘画，有时也用来设计物体形状。 三三三三次次次次多多多多项项项项式式式式在在在在灵灵灵灵活活活活性性性性和和和和计计计计算算算算速速速速度度度度之之之之间间间间提提提提供供供供了了了了一一一一个个个个合合合合理理理理的折衷方案：的折衷方案：的折衷方案：的折衷方案： 与与与与更更更更高高高高次次次次多多多多项项项项式式式式相相相相比比比比，三三三三次次次次样样样样条条条条只只只只需需需需较较较较少少少少的
90、的的的计计计计算算算算和和和和存储且较稳定；存储且较稳定；存储且较稳定；存储且较稳定； 与与与与低低低低次次次次多多多多项项项项式式式式相相相相比比比比，三三三三次次次次样样样样条条条条在在在在模模模模拟拟拟拟任任任任意意意意曲曲曲曲线线线线形形形形状状状状时显得更灵活。时显得更灵活。时显得更灵活。时显得更灵活。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函
91、数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型三次插值样条生成方法三次插值样条生成方法 基基本本思思想想：给给给给出出出出一一一一组组组组控控控控制制制制点点点点，可可可可得得得得到到到到通通通通过过过过每每每每个个个个控控控控制制制制点点点点的的的的分分分分段段段段三三三三次多项式曲线的三次插值样条。次多项式曲线的三次插值样条。次多项式曲线的三次插值样条。次多项式曲线的三次插值样条。 假设有假设有假设有假设有n n+1+1个控制点，坐标分别为：个控制点，坐标分别为：个控制点，坐标分别为：个控制点，坐标分别为： P Pk k=(=(x xk k, ,y yk k, ,z zk k) )，k k=
92、0,1,2,=0,1,2,n n。 用下列方程组来描述拟合每对控制点的参数三次多项式：用下列方程组来描述拟合每对控制点的参数三次多项式：用下列方程组来描述拟合每对控制点的参数三次多项式：用下列方程组来描述拟合每对控制点的参数三次多项式： x x( (u u)=)=a ax xu u3 3+ +b bx xu u2 2+ +c cx xu u+ +d dx x； y y( (u u)=)=a ay yu u3 3+ +b by yu u2 2+ +c cy yu u+ +d dy y； z z( (u u)=)=a az zu u3 3+ +b bz zu u2 2+ +c cz zu u+ +
93、d dz z。 这这这这三三三三个个个个方方方方程程程程中中中中的的的的每每每每一一一一个个个个都都都都必必必必须须须须定定定定出出出出多多多多项项项项式式式式中中中中的的的的四四四四个个个个系系系系数数数数a a, ,b b, ,c c, ,d d值，值，值，值， n n+1+1个个个个控控控控制制制制点点点点产产产产生生生生n n个个个个曲曲曲曲线线线线段段段段，每每每每一一一一段段段段都都都都有有有有上上上上述述述述问问问问题题题题，需需需需确确确确定定定定4n4n个多项式系数。个多项式系数。个多项式系数。个多项式系数。 通通通通过过过过在在在在二二二二个个个个曲曲曲曲线线线线段段段段交
94、交交交点点点点处处处处设设设设置置置置足足足足够够够够的的的的边边边边界界界界条条条条件件件件( (不不不不同同同同生生生生成方法成方法成方法成方法) )，可得到所有系数值。，可得到所有系数值。，可得到所有系数值。，可得到所有系数值。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型自然三次插值样条自然三次插值样条 自
95、自自自然然然然三三三三次次次次样样样样条条条条具具具具有有有有C C2 2连连连连续续续续性性性性，用用用用公公公公式式式式表表表表示示示示时时时时需需需需要要要要两两两两个个个个相相相相邻曲线段在公共边界处有相同的一阶和二阶导数邻曲线段在公共边界处有相同的一阶和二阶导数邻曲线段在公共边界处有相同的一阶和二阶导数邻曲线段在公共边界处有相同的一阶和二阶导数。 每一个每一个每一个每一个内控制点内控制点内控制点内控制点( (P P0 0和和和和P Pn n之外的之外的之外的之外的n n-1-1个个个个) )有四个边界条件：有四个边界条件：有四个边界条件：有四个边界条件： 在在在在该该该该控控控控制制
96、制制点点点点两两两两侧侧侧侧的的的的两两两两个个个个曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在该该该该点点点点处处处处有有有有相相相相同的一阶和二阶导数同的一阶和二阶导数同的一阶和二阶导数同的一阶和二阶导数；( (2 2n n-2-2个方程个方程个方程个方程) ) 两个曲线段都要通过该点两个曲线段都要通过该点两个曲线段都要通过该点两个曲线段都要通过该点。( (2 2n n-2-2个方程个方程个方程个方程) ) 这给出了由这给出了由这给出了由这给出了由4 4n n个多项式系数组成的个多项式系数组成的个多项式系数组成的个多项式系数组成的4 4n n-4-4个方程；个方程；个方程；个方程； 再再再再给给给给出
97、出出出从从从从控控控控制制制制点点点点P P0 0( (曲曲曲曲线线线线起起起起点点点点) ) 和和和和从从从从控控控控制制制制点点点点P Pn n( (曲曲曲曲线线线线终点终点终点终点) )所得的两个方程；所得的两个方程；所得的两个方程；所得的两个方程； 最后增加二个条件：最后增加二个条件：最后增加二个条件：最后增加二个条件：设设设设P P0 0和和和和P Pn n处的二阶导数为处的二阶导数为处的二阶导数为处的二阶导数为0 0。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界
98、条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型自然三次插值样条自然三次插值样条 另一方法是：另一方法是：另一方法是：另一方法是： 在控制点序列的两端增加二个在控制点序列的两端增加二个在控制点序列的两端增加二个在控制点序列的两端增加二个“ “隐含隐含隐含隐含” ”控制点控制点控制点控制点， 即即即即：增增增增加加加加P P-1-1和和和和P Pn+1n+1控控控控制制制制点点点点，使使使使原原原原来来来来所所所所有有有有控控控控制制制制点点点点都都都都成了内点，有所需的成了内点，
99、有所需的成了内点，有所需的成了内点，有所需的4 4n n个边界条件。个边界条件。个边界条件。个边界条件。 尽尽尽尽管管管管自自自自然然然然三三三三次次次次样样样样条条条条是是是是绘绘绘绘图图图图样样样样条条条条的的的的一一一一个个个个数数数数学学学学模模模模型型型型，但但但但它它它它有有有有一个主要缺点：一个主要缺点：一个主要缺点：一个主要缺点： 如果控制点中的任一个改动，会影响整个曲线。如果控制点中的任一个改动，会影响整个曲线。如果控制点中的任一个改动，会影响整个曲线。如果控制点中的任一个改动，会影响整个曲线。 也就是说：也就是说：也就是说：也就是说： 自自自自然然然然三三三三次次次次样样样
100、样条条条条不不不不允允允允许许许许“ “局局局局部部部部控控控控制制制制” ”，不不不不给给给给出出出出完完完完整整整整的新控制点集，不可能部分构造曲线。的新控制点集，不可能部分构造曲线。的新控制点集，不可能部分构造曲线。的新控制点集，不可能部分构造曲线。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型Hermite
101、Hermite插值曲线：边界条件插值曲线：边界条件 HermiteHermite样条的样条的样条的样条的每个曲线段仅依赖于每个曲线段仅依赖于每个曲线段仅依赖于每个曲线段仅依赖于端点约束端点约束端点约束端点约束，可，可，可，可局部调整局部调整局部调整局部调整。 HermiteHermite样样样样条条条条是是是是一一一一个个个个分分分分段段段段三三三三次次次次多多多多项项项项式式式式，并并并并在在在在每每每每个个个个控控控控制制制制点点点点有有有有给定切线给定切线给定切线给定切线。 在在在在控控控控制制制制点点点点P Pk k和和和和P Pk+1k+1间间间间的的的的曲曲曲曲线线线线段段段段是是
102、是是参参参参数数数数三三三三次次次次函函函函数数数数为为为为p(u)p(u)，HermiteHermite曲线段的边界条件是：曲线段的边界条件是：曲线段的边界条件是：曲线段的边界条件是：P P(0)=(0)=P Pk k； P P (0)=(0)=DPDPk k；P P(1)=(1)=P Pk+1k+1； P P (1)=(1)=DPDPk+1k+1。 其其其其中中中中：DPDPk k和和和和DPDPk+1k+1是是是是在在在在控控控控制制制制点点点点P Pk k和和和和P Pk+1k+1处处处处相相相相应应应应的的的的导导导导数数数数值值值值( (曲曲曲曲线的斜率线的斜率线的斜率线的斜率)
103、)。 HermiteHermite曲线段的向量方程为：曲线段的向量方程为：曲线段的向量方程为：曲线段的向量方程为：P P( (u u)=)=auau3 3+ +bubu2 2+ +cucu+ +d d，00u u11， 其中其中其中其中P P的分量的分量的分量的分量x x是：是：是：是： x x( (u u)=)=a ax xu u3 3+ +b bx xu u2 2+ +c cx xu u+ +d dx x， 对分量对分量对分量对分量y y和和和和z z具有同样形式。具有同样形式。具有同样形式。具有同样形式。P Pk kP Pk+1k+1P(u)=(x(u),y(u),z(u)P(u)=(x
104、(u),y(u),z(u)图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型HermiteHermite插值曲线：方程求解插值曲线：方程求解 以以以以0 0和和和和1 1代代代代入入入入HermiteHermite曲曲曲曲线线线线段段段段矩矩矩矩阵阵阵阵方方方方程程程程中中中中的的的的u u，可可可可把把把把Hermi
105、teHermite边边边边界界界界条条条条件件件件表表表表示示示示为为为为矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式：矩阵形式： 其中：其中：其中：其中：MMHH是是是是HermiteHermite矩阵矩阵矩阵矩阵，是边界约束矩阵的逆矩阵。，是边界约束矩阵的逆矩阵。，是边界约束矩阵的逆矩阵。，是边界约束矩阵的逆矩阵。 该方程对多项式系数求解，有：该方程对多项式系数求解，有：该方程对多项式系数求解，有：该方程对多项式系数求解，有： 使用边界条件，矩阵方程可以写成：使用边界条件，矩阵方程可以写成：使用边界条件，矩阵方程可以写成：使用边界条件，矩阵方程可以写成：图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生
106、成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型HermiteHermite插值曲线的基函数表示插值曲线的基函数表示 算算算算出出出出上上上上述述述述方方方方程程程程中中中中的的的的矩矩矩矩阵阵阵阵乘乘乘乘积积积积且且且且合合合合并并并并满满满满足足足足边边边边界界界界约约约约束束束束的的的的函函函函数数数数，得得得得到到到到多项式形式。多项式形式。多项式形式。多项式
107、形式。 最后，可得到混合函数的表达式：最后，可得到混合函数的表达式：最后，可得到混合函数的表达式：最后，可得到混合函数的表达式：P P( (u u)=)=P Pk k(2(2u u3 3-3-3u u2 2+1)+1)+ +P Pk+1k+1(-2(-2u u3 3+3+3u u2 2) )+ +DpDpk k( (u u3 3- -u u2 2+ +u u) )+ +DpDpk+1k+1( (u u3 3- -u u2 2) ) P P( (u u)=)=P Pk kHH0 0( (u u) )+ +P Pk+1k+1HH1 1( (u u) )+ +DpDpk kHH2 2( (u u)
108、)+ +DpDpk+1k+1HH3 3( (u u) ) 多项式多项式多项式多项式HHk k( (u u) )( (k k=0,1,2,3)=0,1,2,3)称为称为称为称为混合函数混合函数混合函数混合函数 它它它它们们们们混混混混合合合合了了了了边边边边界界界界约约约约束束束束值值值值( (终终终终点点点点坐坐坐坐标标标标和和和和斜斜斜斜率率率率) )来来来来得得得得到到到到曲曲曲曲线线线线上每个坐标点位置。上每个坐标点位置。上每个坐标点位置。上每个坐标点位置。 HermiteHermite多项式是通过估算出曲线斜率来插值的。多项式是通过估算出曲线斜率来插值的。多项式是通过估算出曲线斜率来插
109、值的。多项式是通过估算出曲线斜率来插值的。 但但但但对对对对计计计计算算算算机机机机图图图图形形形形学学学学的的的的大大大大部部部部分分分分问问问问题题题题而而而而言言言言，除除除除了了了了控控控控制制制制点点点点坐坐坐坐标标标标外外外外，更更更更好好好好的的的的做做做做法法法法是是是是不不不不输输输输入入入入曲曲曲曲线线线线斜斜斜斜率率率率值值值值或或或或其其其其它它它它几几几几何何何何信信信信息息息息就就就就生生生生成成成成样样样样条曲线。条曲线。条曲线。条曲线。 CardinalCardinal样样样样条条条条和和和和Kochanek-BartelsKochanek-Bartels样样样
110、样条条条条这这这这二二二二种种种种HermiteHermite样样样样条条条条上上上上的变化形式就仅由控制点的坐标位置计算出导数。的变化形式就仅由控制点的坐标位置计算出导数。的变化形式就仅由控制点的坐标位置计算出导数。的变化形式就仅由控制点的坐标位置计算出导数。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型Card
111、inalCardinal样条样条 CardinalCardinal样样样样条条条条也也也也是是是是插插插插值值值值分分分分段段段段三三三三次次次次曲曲曲曲线线线线，且且且且每每每每曲曲曲曲线线线线段段段段终终终终点点点点处均指定切线处均指定切线处均指定切线处均指定切线。 与与与与HermiteHermite样条的区别是：样条的区别是：样条的区别是：样条的区别是： 不不不不一一一一定定定定要要要要给给给给出出出出终终终终点点点点的的的的切切切切线线线线值。值。值。值。 一一一一个个个个控控控控制制制制点点点点处处处处斜斜斜斜率率率率值值值值可可可可由由由由两两两两个个个个相相相相邻邻邻邻控控控控
112、制制制制点点点点坐坐坐坐标标标标来来来来计计计计算算算算。 CardinalCardinal样样样样条条条条由由由由四四四四个个个个连连连连续续续续控控控控制点给出制点给出制点给出制点给出( (如右图如右图如右图如右图) )： 中中中中间间间间两两两两个个个个控控控控制制制制点点点点是是是是曲曲曲曲线线线线段段段段端点，端点，端点，端点， 另另另另二二二二个个个个点点点点用用用用来来来来计计计计算算算算终终终终点点点点斜斜斜斜率。率。率。率。在在控控制制点点P Pk k和和P Pk+1k+1间间CardinalCardinal样样条条段段的的参参数数向向量量函函数数P P( (u u) )，其
113、其端端点点处处的的切切向向量量正正比比于于由相邻控制点所形成的弦。由相邻控制点所形成的弦。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型CardinalCardinal样条的边界条件样条的边界条件 设设设设P P( (u u) )是是是是两两两两控控控控制制制制点点点点P Pk k和和和和P Pk+1k+1间间间间
114、的的的的参参参参数数数数三三三三次次次次函函函函数数数数式式式式，则则则则从从从从P Pk-1k-1到到到到P Pk+2k+2间的四个控制点用于建立间的四个控制点用于建立间的四个控制点用于建立间的四个控制点用于建立CardinalCardinal样条段的边界条件：样条段的边界条件：样条段的边界条件：样条段的边界条件： P P(0)=(0)=P Pk k； P P (0)=(1-(0)=(1-t t)( )(P Pk+1k+1 P Pk-1k-1)/2)/2；P P(1)=(1)=P Pk+1k+1； P P (1)=(1-(1)=(1-t t)( )(P Pk+2k+2 P Pk k)/2 )
115、/2 。 控制点控制点控制点控制点P Pk k和和和和P Pk+1k+1处的斜率分别与弦处的斜率分别与弦处的斜率分别与弦处的斜率分别与弦P Pk-1k-1P Pk+1k+1和和和和P Pk kP Pk+2k+2成正比。成正比。成正比。成正比。 参参参参数数数数t t控控控控制制制制CardinalCardinal样样样样条条条条与与与与输输输输入入入入控控控控制制制制点点点点间间间间的的的的松松松松紧紧紧紧程程程程度度度度，称称称称为为为为张量张量张量张量( (tensiontension) )参数参数参数参数。张张张张力力力力参参参参数数数数在在在在CardinalCardinal样样样样条
116、条条条段段段段形形形形状中所起的作用状中所起的作用状中所起的作用状中所起的作用t0t0t0( (较紧曲线较紧曲线较紧曲线较紧曲线) )P(uP(u) )P Pk+1k+1P Pk kP Pk-1k-1P Pk+2k+2图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型CardinalCardinal样条基表示样条基表示
117、 用用用用类类类类似似似似HermiteHermite样样样样条条条条中中中中的的的的方方方方法法法法，可可可可将将将将边边边边界界界界条条条条件件件件转换成矩阵形式：转换成矩阵形式：转换成矩阵形式：转换成矩阵形式： 将矩阵方程展开成多项式形式，可得到混合函数表达式：将矩阵方程展开成多项式形式，可得到混合函数表达式：将矩阵方程展开成多项式形式，可得到混合函数表达式：将矩阵方程展开成多项式形式，可得到混合函数表达式：P P( (u u)=)=P Pk-1k-1(- (-tutu3 3+2+2tutu2 2- -tutu) )+ +P Pk k(2-(2-t t) )u u3 3+(+(t t-3
118、)-3)u u2 2+1+1 + +P Pk+1k+1( (t t-2)-2)u u3 3-( -(t t-2)-2)u u2 2+ +tutu + +P Pk+2k+2( (tutu3 3- -tutu2 2) )P P( (u u)=)=P Pk-1k-1CARCAR0 0( (u u) )+ +P Pk kCARCAR1 1( (u u) )+ +P Pk+1k+1CARCAR2 2( (u u) ) + +P Pk+1k+1CARCAR3 3( (u u) ) 这这这这里里里里多多多多项项项项式式式式CARCARk k( (u u)(k=0,1,2,3)(k=0,1,2,3)称称称称为
119、为为为CardinalCardinal混混混混合合合合函函函函数数数数，它它它它们们们们混混混混合合合合了了了了边边边边界界界界约约约约束束束束值值值值( (终终终终点点点点坐坐坐坐标标标标和和和和斜斜斜斜率率率率) )来来来来得得得得到到到到曲曲曲曲线线线线上上上上每个坐标点位置。每个坐标点位置。每个坐标点位置。每个坐标点位置。 MM是是是是CardinalCardinal矩阵矩阵矩阵矩阵，表示为：，表示为：，表示为：，表示为：图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界
120、条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型Kochanek-BartelsKochanek-Bartels样条样条 这这这这类类类类插插插插值值值值三三三三次次次次多多多多项项项项式式式式是是是是CardinalCardinal样样样样条条条条的的的的扩扩扩扩展展展展。将将将将二二二二个个个个附附附附加加加加参参参参数数数数引引引引入入入入到到到到约约约约束束束束方方方方程程程程中中中中而而而而得得得得到到到到的的的的Kochanel-BartelsKochanel-Bar
121、tels样样样样条条条条对调整曲线段形状更加方便。对调整曲线段形状更加方便。对调整曲线段形状更加方便。对调整曲线段形状更加方便。 给给给给出出出出四四四四个个个个连连连连续续续续控控控控制制制制点点点点P Pk-1k-1、P Pk k、P Pk+1k+1和和和和P Pk+2k+2，P Pk k和和和和P Pk+1k+1间间间间的的的的Kochanek-BartelsKochanek-Bartels曲线段中的边界条件定义为曲线段中的边界条件定义为曲线段中的边界条件定义为曲线段中的边界条件定义为: : P P(0)(0)=P=Pk k； P P(1)(1)=P=Pk+1k+1； P P (0)(0
122、)inin=(=(1/2)(11/2)(1-t -t)(1)(1+b+b)(1)(1-c-c)( )(p pk k-p-pk-1k-1) )+ +(1(1-b-b)(1)(1+c+c)( )(p pk-1k-1- -p pk k) )； P P (1)(1)outout= =(1/2(1(1/2(1-t -t)(1)(1+b+b)(1)(1+c+c)( )(p pk+1k+1-p-pk k) )+ +(1(1-b-b)(1)(1-c-c)( )(p pk+2k+2- -p pk+1k+1) ) 其中：其中：其中：其中： t t是张量参数是张量参数是张量参数是张量参数， b b是偏离是偏离是偏离
123、是偏离(bias)(bias)参数参数参数参数， c c是连续参数是连续参数是连续参数是连续参数。 Kochanek-BartelsKochanek-Bartels公公公公式式式式中中中中导导导导数数数数在在在在曲曲曲曲线线线线段段段段边边边边界界界界处处处处不不不不一一一一定定定定连续。连续。连续。连续。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件 Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K
124、-B样条 K-B样条性质 插值样条类型Kochanek-BartelsKochanek-Bartels样条样条 张张张张量量量量参参参参数数数数t t象象象象在在在在CardinalCardinal样样样样条条条条中中中中一一一一样样样样有有有有同同同同样样样样的的的的作作作作用用用用，即即即即，它它它它控控控控制制制制曲曲曲曲线段的松紧。线段的松紧。线段的松紧。线段的松紧。 偏偏偏偏离离离离参参参参量量量量b b用用用用来来来来调调调调整整整整曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在端端端端点点点点处处处处弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的数数数数值值值值，曲曲曲曲线线线线段段段段可可可可以以以以偏偏偏偏向一
125、个端点或另一个端点；向一个端点或另一个端点；向一个端点或另一个端点；向一个端点或另一个端点； 参参参参数数数数c c控控控控制制制制切切切切向向向向量量量量在在在在曲曲曲曲线线线线段段段段边边边边界界界界处处处处的的的的连连连连续续续续性性性性：若若若若c c取取取取非非非非零零零零值值值值，则则则则曲曲曲曲线线线线在在在在曲曲曲曲线线线线段段段段边边边边界界界界处处处处的的的的斜斜斜斜率率率率不不不不连连连连续。续。续。续。 Kochanek-BartelsKochanek-Bartels样样样样条条条条的的的的设设设设计计计计是是是是为了模拟动画途径的。为了模拟动画途径的。为了模拟动画途径
126、的。为了模拟动画途径的。 特特特特别别别别当当当当物物物物体体体体运运运运动动动动有有有有突突突突变变变变时时时时，可由参数可由参数可由参数可由参数c c取非零值去模拟。取非零值去模拟。取非零值去模拟。取非零值去模拟。偏偏偏偏离离离离参参参参数数数数b b在在在在样样样样条条条条段段段段形状中所起的作用形状中所起的作用形状中所起的作用形状中所起的作用b0b0 b0 P P3 3P P2 2P P1 1P P0 0P P4 4图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条生成 自然插值样条1 自然插值样条2 Hermite边界条件
127、Hermite方程求解 Hermite基函数 Cardinal样条 Cardinal边界条件 Cardinal基函数 K-B样条 K-B样条性质 插值样条类型三次插值样条类型三次插值样条类型按所取按所取基底基底或或基表示基表示形式划分：形式划分： 整体上，曲线是定义在整体上，曲线是定义在整体上，曲线是定义在整体上，曲线是定义在同一参数分割上同一参数分割上同一参数分割上同一参数分割上的三次样条函数：的三次样条函数：的三次样条函数：的三次样条函数： 当参数分割当参数分割当参数分割当参数分割u u确定后确定后确定后确定后 参数三次样条就由参数三次样条就由参数三次样条就由参数三次样条就由n n+1+1
128、个数据点个数据点个数据点个数据点及及及及两个边界两个边界两个边界两个边界完全定义。完全定义。完全定义。完全定义。 即即即即：分分分分割割割割上上上上三三三三次次次次样样样样条条条条函函函函数数数数的的的的全全全全体体体体构构构构成成成成n+3n+3维维维维线线线线性性性性空空空空间间间间，其其其其中中中中任一组任一组任一组任一组n n+3+3个线性无关的三次样条函数都可作为一组基个线性无关的三次样条函数都可作为一组基个线性无关的三次样条函数都可作为一组基个线性无关的三次样条函数都可作为一组基。 从分段考虑，从分段考虑，从分段考虑，从分段考虑，每个样条段是参数三次曲线每个样条段是参数三次曲线每个
129、样条段是参数三次曲线每个样条段是参数三次曲线 在在在在基基基基选选选选定定定定后后后后，由由由由四四四四个个个个系系系系数数数数矢矢矢矢量量量量定定定定义义义义，共共共共有有有有4 4n n个个个个自自自自由由由由度度度度，而而而而相相相相邻邻邻邻样样样样条条条条段段段段在在在在n n-1-1个个个个节节节节点点点点处处处处必必必必须须须须满满满满足足足足位位位位置置置置、切切切切矢矢矢矢和和和和二二二二阶阶阶阶导导导导矢连续矢连续矢连续矢连续( (即即即即C C2 2) )，共，共，共，共3(3(n n-1)-1)个约束个约束个约束个约束，总自由度依然为，总自由度依然为，总自由度依然为，总自
130、由度依然为n n+3+3。 参数三次样条曲线的基也有分段和整体的表示形式。有：参数三次样条曲线的基也有分段和整体的表示形式。有：参数三次样条曲线的基也有分段和整体的表示形式。有：参数三次样条曲线的基也有分段和整体的表示形式。有： HermiteHermite分段形式；分段形式；分段形式；分段形式； 幂基分段形式；幂基分段形式；幂基分段形式；幂基分段形式； 基样条基样条基样条基样条( (cardinal Splinecardinal Spline) )整体形式；整体形式；整体形式；整体形式； B B样条形式。样条形式。样条形式。样条形式。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式
131、 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型 插值样条类型 插值样条性质 插值样条性质三次插值样条类型三次插值样条类型按所取按所取数据点的参数化方法数据点的参数化方法划分：划分： 均均均均匀匀匀匀参参参参数数数数三三三三次次次次样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线：取取取取均均均均匀匀匀匀参参参参数数数数分分分分割割割割，即即即即节节节节点点点点在在在在参参参参数数数数轴轴轴轴上呈等距分布，上呈等距分布，上呈等距分布，上呈等距分布，u u= =u ui+1i+1- -u ui i= =常数。常数。常数。常数。 仅适于数据点多边形各边仅适于数据点多边形各边仅适于数据点多边形各边仅适于数据
132、点多边形各边( (或称弦或称弦或称弦或称弦) )接近相等的场合。接近相等的场合。接近相等的场合。接近相等的场合。 否否否否则则则则，曲曲曲曲线线线线在在在在弦弦弦弦长长长长较较较较长长长长区区区区间间间间会会会会显显显显得得得得扁扁扁扁平平平平，弦弦弦弦长长长长较较较较短短短短区区区区间间间间则则则则臌的厉害臌的厉害臌的厉害臌的厉害。 积累弦长参数三次样条曲线：积累弦长参数三次样条曲线：积累弦长参数三次样条曲线：积累弦长参数三次样条曲线：取分割取分割取分割取分割u u0 0=0,=0,u ui i= =u ui-1i-1+|+|p pi-1i-1| |， 其中：其中：其中：其中：p pi-1i
133、-1= = p pk+1k+1- -p pk k为向前差分矢量，即弦线矢量为向前差分矢量，即弦线矢量为向前差分矢量，即弦线矢量为向前差分矢量，即弦线矢量。 如实地反映数据点按弦长的分布情况。如实地反映数据点按弦长的分布情况。如实地反映数据点按弦长的分布情况。如实地反映数据点按弦长的分布情况。 在在在在数数数数据据据据点点点点足足足足够够够够密密密密且且且且插插插插值值值值法法法法具具具具有有有有收收收收敛敛敛敛性性性性质质质质时时时时，将将将将生生生生成成成成近近近近似似似似弧长参数曲线。弧长参数曲线。弧长参数曲线。弧长参数曲线。 向向向向心心心心参参参参数数数数三三三三次次次次样样样样条条条
134、条曲曲曲曲线线线线：取取取取分分分分割割割割u u0 0=0,=0,u ui i= =u ui-1i-1+|+|p pi-1i-1| |1/21/2，假假假假设设设设曲线弧上的向心力与曲线切矢转角成正比。曲线弧上的向心力与曲线切矢转角成正比。曲线弧上的向心力与曲线切矢转角成正比。曲线弧上的向心力与曲线切矢转角成正比。 修正弦长参数三次样条曲线：修正弦长参数三次样条曲线：修正弦长参数三次样条曲线：修正弦长参数三次样条曲线： 取分割取分割取分割取分割u u0 0=0,=0,u ui i= =u ui-1i-1+ +k ki i| |p pi-1i-1|, |, k ki i11； 修正实际弦长偏短
135、于弧长并减缓修正实际弦长偏短于弧长并减缓修正实际弦长偏短于弧长并减缓修正实际弦长偏短于弧长并减缓“ “切向速度切向速度切向速度切向速度” ”。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型 插值样条类型 插值样条性质 插值样条性质参数三次插值样条的性质参数三次插值样条的性质(1)(1) 参参参参数数数数三三三三次次次次样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线具具具具有有有有决决决决定定定定自自自自身身身身的的的的分分分分段段段段为为为为参参参参数数数数三三三三次次次次样样样样条条条条多多多多项项项项式式式式与与与与整整整整体体体体具具
136、具具有有有有二二二二阶阶阶阶连连连连续续续续性性性性的的的的基基基基本本本本性性性性质质质质外外外外，用用用用作作作作插插插插值值值值曲线时，还具有如下性质：曲线时，还具有如下性质：曲线时，还具有如下性质：曲线时，还具有如下性质： 存存存存在在在在唯唯唯唯一一一一性性性性：这这这这由由由由求求求求解解解解未未未未知知知知切切切切矢矢矢矢的的的的线线线线性性性性方方方方程程程程组组组组的的的的系系系系数矩阵为非奇异所决定。数矩阵为非奇异所决定。数矩阵为非奇异所决定。数矩阵为非奇异所决定。 这这这这表表表表明明明明：当当当当数数数数据据据据点点点点、边边边边界界界界条条条条件件件件与与与与参参参参
137、数数数数分分分分割割割割确确确确定定定定后，所定义的参数三次样条曲线就是唯一的。后，所定义的参数三次样条曲线就是唯一的。后，所定义的参数三次样条曲线就是唯一的。后，所定义的参数三次样条曲线就是唯一的。 收收收收敛敛敛敛性性性性：如如如如果果果果数数数数据据据据点点点点取取取取自自自自某某某某已已已已知知知知的的的的或或或或未未未未知知知知的的的的被被被被插插插插曲曲曲曲线线线线，且且且且所所所所取取取取数数数数据据据据点点点点不不不不断断断断加加加加密密密密时时时时，所所所所生生生生成成成成的的的的参参参参数数数数三三三三次次次次样条趋向序列将收敛到被插曲线。样条趋向序列将收敛到被插曲线。样条
138、趋向序列将收敛到被插曲线。样条趋向序列将收敛到被插曲线。 可可可可用用用用来来来来在在在在局局局局部部部部范范范范围围围围内内内内适适适适当当当当加加加加密密密密数数数数据据据据点点点点而而而而构构构构造造造造插插插插值曲线中局部曲率变化较大的部分形状。值曲线中局部曲率变化较大的部分形状。值曲线中局部曲率变化较大的部分形状。值曲线中局部曲率变化较大的部分形状。 但但但但参参参参数数数数多多多多项项项项式式式式曲曲曲曲线线线线作作作作为为为为插插插插值值值值曲曲曲曲线线线线时时时时，加加加加密密密密数数数数据据据据点很可能产生适得其反的效果。点很可能产生适得其反的效果。点很可能产生适得其反的效果
139、。点很可能产生适得其反的效果。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型 插值样条类型 插值样条性质 插值样条性质参数三次插值样条的性质参数三次插值样条的性质(2)(2) 计计计计算算算算稳稳稳稳定定定定：改改改改动动动动一一一一点点点点或或或或端端端端点点点点处处处处边边边边界界界界条条条条件件件件对对对对样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线的影响，将随着与该点相隔段数的增多而迅速衰减。的影响，将随着与该点相隔段数的增多而迅速衰减。的影响，将随着与该点相隔段数的增多而迅速衰减。的影响，将随着与该点相隔段数的增多而迅速衰减。
140、而而而而高高高高次次次次多多多多项项项项式式式式插插插插值值值值曲曲曲曲线线线线在在在在某某某某一一一一点点点点的的的的微微微微小小小小变变变变化化化化可可可可能在别处引起较大的变化。能在别处引起较大的变化。能在别处引起较大的变化。能在别处引起较大的变化。 整整整整体体体体性性性性：尽尽尽尽管管管管改改改改动动动动一一一一点点点点或或或或端端端端点点点点处处处处边边边边界界界界条条条条件件件件的的的的影影影影响响响响随随随随与与与与相相相相隔隔隔隔段段段段数数数数的的的的增增增增多多多多而而而而迅迅迅迅速速速速衰衰衰衰减减减减，但但但但毕毕毕毕竟竟竟竟其其其其影影影影响响响响将将将将波波波波及
141、整条曲线。及整条曲线。及整条曲线。及整条曲线。 使其不便于进行局部修改。使其不便于进行局部修改。使其不便于进行局部修改。使其不便于进行局部修改。 不不不不存存存存在在在在额额额额外外外外的的的的用用用用于于于于曲曲曲曲线线线线形形形形状状状状控控控控制制制制的的的的自自自自由由由由度度度度：可可可可以以以以说说说说是是是是唯唯唯唯一一一一性性性性使使使使其其其其失失失失去去去去了了了了灵灵灵灵活活活活性性性性。参参参参数数数数三三三三次次次次样样样样条条条条曲曲曲曲线线线线是是是是在在在在参参参参数数数数连连连连续续续续性性性性的的的的基基基基础础础础上上上上来来来来解解解解决决决决连连连连接
142、接接接问问问问题题题题，它它它它同同同同时时时时也也也也带来了用参数连续性度量连接光滑性所出现的弊病。带来了用参数连续性度量连接光滑性所出现的弊病。带来了用参数连续性度量连接光滑性所出现的弊病。带来了用参数连续性度量连接光滑性所出现的弊病。 不不不不易易易易控控控控制制制制：事事事事先先先先无无无无法法法法估估估估计计计计曲曲曲曲线线线线的的的的范范范范围围围围，修修修修改改改改数数数数据据据据点点点点引起曲线的形状变化难以预料。引起曲线的形状变化难以预料。引起曲线的形状变化难以预料。引起曲线的形状变化难以预料。图形表示问题参数化表示曲线曲面性质离散点表示 离散生成方式 参数样条表示 样条表示性质 三次插值样条 插值样条类型 插值样条类型 插值样条性质 插值样条性质
