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1、复习结构极限荷载 结构稳定计算2一、基本概念一、基本概念 1、塑性分析：、塑性分析：研究理想弹塑系体系，直接寻求结构丧失承研究理想弹塑系体系，直接寻求结构丧失承 载能力的极限状态，和确定极限荷载。载能力的极限状态，和确定极限荷载。 2、作塑性分析采用的假设条件：、作塑性分析采用的假设条件： 比例加载比例加载(所有荷载保持固定比例所有荷载保持固定比例, ,单调增加单调增加, ,不卸载不卸载) ) 变形很小，且忽略弹性变形；变形很小，且忽略弹性变形； 忽略忽略Q、N对极限弯矩的影响。对极限弯矩的影响。 3、塑性铰及其性质：、塑性铰及其性质： 塑性铰是达到塑性阶段的截面，极限塑性铰是达到塑性阶段的截
2、面，极限 弯矩保持不变，相邻截面发生有限转动，挠曲线形成转折。弯矩保持不变，相邻截面发生有限转动，挠曲线形成转折。 塑性铰的性质：塑性铰的性质：能传递极限弯矩能传递极限弯矩M Mu u；单向铰，随弯矩单向铰，随弯矩 符号的改变而消失。符号的改变而消失。在集中力作用点、刚结点、截面变在集中力作用点、刚结点、截面变 化处、固定端、剪力等零处可能会形成塑性铰化处、固定端、剪力等零处可能会形成塑性铰 。 4、破坏机构：、破坏机构： 结构出现足够多得塑性铰而成为整体或局部结构出现足够多得塑性铰而成为整体或局部几何可变体系。几何可变体系。 静定结构出现一个塑性铰，便成为机构。在一般情况下，静定结构出现一个
3、塑性铰，便成为机构。在一般情况下， n n 次超静定结构出现（次超静定结构出现（n+1n+1）个塑性铰后，形成破坏机构。）个塑性铰后，形成破坏机构。 3如能完备的列出来可能的破坏机构，如能完备的列出来可能的破坏机构， 并求出各机构相应的可破坏荷载并求出各机构相应的可破坏荷载刚架各种可刚架各种可能破坏机构能破坏机构基本机构：基本机构：梁机构、梁机构、 梁机构梁机构侧移机构、侧移机构、 侧移机构侧移机构结点机构结点机构结点机构结点机构组合机构：组合机构： 将两种或两种以上的基本机构组合。将两种或两种以上的基本机构组合。 刚架的基本机构数刚架的基本机构数 m =h n超静定次数超静定次数可能出现的塑
4、性铰总数可能出现的塑性铰总数在不同基本机构中，如某塑性铰转在不同基本机构中，如某塑性铰转 向相反，向相反， 组合后该塑性铰闭合。组合后该塑性铰闭合。这种求这种求Pu方法称为比较法方法称为比较法（穷举法、机构法）。（穷举法、机构法）。 多跨连续梁如在各跨内为等截面，且荷载指向相同，只在各跨多跨连续梁如在各跨内为等截面，且荷载指向相同，只在各跨独立形成破坏机构。独立形成破坏机构。 4二、基本理论二、基本理论1）基本定理）基本定理： P+P2）唯一性定理）唯一性定理: Pu的值是唯一确定的。的值是唯一确定的。3）上限定理）上限定理(极小定理极小定理)：可破坏荷载是极限荷载的上限。可破坏荷载是极限荷载
5、的上限。 或者或者 说，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。说，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。 4）下限定理）下限定理(极大定理极大定理)：可接受荷载是极限荷载的下限。可接受荷载是极限荷载的下限。 或者或者 说，极限荷载是可接受荷载中的极大者。说，极限荷载是可接受荷载中的极大者。 可破坏荷载可破坏荷载可接受荷载可接受荷载 极限状态应满足的条件：极限状态应满足的条件：1）单向机构条件：（）单向机构条件：（当某些截面弯矩达极限弯矩时，能当某些截面弯矩达极限弯矩时，能 够沿荷载方向作运动，成为单向机构。）够沿荷载方向作运动，成为单向机构。）2）屈服条件）屈服条件：（任意截面弯矩不超过极限弯矩。）：（任
6、意截面弯矩不超过极限弯矩。）3）平衡条件）平衡条件：（结构和任意局部能维持平衡。）：（结构和任意局部能维持平衡。）确定极限荷载的定理：确定极限荷载的定理：5 极限平衡法：不考虑弹塑性变形发展过程，直接按极限平衡法：不考虑弹塑性变形发展过程，直接按最后的破坏机构由平衡条件求极限荷载。它包括：最后的破坏机构由平衡条件求极限荷载。它包括： 比较法（穷举法、机构法）比较法（穷举法、机构法） ：给出各种可能的破坏机构；给出各种可能的破坏机构；求解相应的破坏荷载，其中最小者为极限荷载。求解相应的破坏荷载，其中最小者为极限荷载。 试算法：试算法：选取一破坏机构，建立平衡方程或虚功方程，求出对应的可选取一破坏
7、机构，建立平衡方程或虚功方程，求出对应的可 破坏荷载；破坏荷载；验算在该荷载下的弯矩分布是否满足屈服条件，若满足验算在该荷载下的弯矩分布是否满足屈服条件，若满足,则该则该 荷载同时也是可接受荷载。由单值定理，此即极限荷载。荷载同时也是可接受荷载。由单值定理，此即极限荷载。 求可破坏荷载的方法求可破坏荷载的方法 静力法：利用塑性铰截面的弯矩静力法：利用塑性铰截面的弯矩=极限弯矩，写出联系荷极限弯矩，写出联系荷载与极限弯矩的平衡条件求得可破坏荷载。载与极限弯矩的平衡条件求得可破坏荷载。 机动法：利用塑性铰处截面弯矩机动法：利用塑性铰处截面弯矩=极限弯矩。令机构发生极限弯矩。令机构发生刚体虚位移，建
8、立虚功方程，计算相应的可破坏荷载。刚体虚位移，建立虚功方程，计算相应的可破坏荷载。三、分析方法三、分析方法64m1.5m 2mPAMu1BCDMu 确定变截面梁的极限荷载及相应的破坏机构。确定变截面梁的极限荷载及相应的破坏机构。（a）Mu1=2Mu,（b）Mu1=1.5Mu解：负塑性铰出现在解：负塑性铰出现在A点点Mu1M图图MBMC如如 MB=Mu1 则则:当当Mu1=2Mu在在A、C处形成塑性铰，处形成塑性铰，当当Mu1=1.5Mu在在A、B处形成塑性铰，处形成塑性铰， 单跨阶梯形变截面梁单跨阶梯形变截面梁: :集中力作用在较弱段时负塑性铰集中力作用在较弱段时负塑性铰 可出现在支座或截面突
9、变处。可出现在支座或截面突变处。集中力作用在较强段时正塑性铰集中力作用在较强段时正塑性铰 可出现在集中力作用点或截面突可出现在集中力作用点或截面突 变处。变处。8例：图示连续梁各跨例：图示连续梁各跨横截面的极限弯矩均横截面的极限弯矩均为为Mu 求求qu。 4qq q q4m1m1m1m1m2m 4qq q q解解:先计算各跨单独破先计算各跨单独破 坏时的破坏荷载坏时的破坏荷载.各跨单独破坏时的破坏机构各跨单独破坏时的破坏机构. . 4qq q q各跨单独破坏时的极限弯矩图各跨单独破坏时的极限弯矩图. .2q8q/3qMuMuMuMuMuMu第一跨破坏时的第一跨破坏时的q1+第二跨破坏时的第二跨
10、破坏时的q2+第三跨破坏时的第三跨破坏时的q3+9试算法求刚架极限荷载试算法求刚架极限荷载2PPll/2l/2Mu=常数常数ABDCP2P侧移机构侧移机构ABDC2PMuMEMuPlMulMu既是可破坏荷载，又是可接受荷载，既是可破坏荷载，又是可接受荷载，所以是极限荷载。所以是极限荷载。 10例：对图示结构列出各种可能的破坏机构例：对图示结构列出各种可能的破坏机构,用试算法求极限荷载。用试算法求极限荷载。 各杆各杆Mu相同相同 ABDC0.8q4m4mq 侧移机构侧移机构 ABDC梁机构梁机构 解解:1）确定破坏机构数）确定破坏机构数 超静定次数超静定次数3，可能，可能 出现的塑性铰数出现的塑
11、性铰数5， 基本机构数基本机构数53=2 组合机构一个。组合机构一个。 结合机构结合机构ABDC0.8qq2）选组合机构由静力法计算破坏荷载：）选组合机构由静力法计算破坏荷载：MuMu 结合机构结合机构ABDC0.8qqMuMux4xE由由 得：得：YB11ABDC0.8q4m4mq3）选组合机构或）选组合机构或 由机动法计算由机动法计算 破坏荷载：破坏荷载： 建立虚功方程：建立虚功方程：MuMu 结合机构结合机构ABDC0.8qqMuMux4xE 12ABDC0.8qqE MuMuMuMu4）检验可破坏荷载是否为可接受荷载）检验可破坏荷载是否为可接受荷载作破坏机构相应的弯矩图作破坏机构相应的
12、弯矩图1.803mMuMCE00.347Mu 所得弯矩图满足内力局所得弯矩图满足内力局限条件。所以限条件。所以q+既是可破坏既是可破坏荷载是又是可接受荷载，根荷载是又是可接受荷载，根据唯一性定理，它就是本例据唯一性定理，它就是本例的极限荷载：的极限荷载： 13ABDC0.8q4m4mq另解：将塑性铰另解：将塑性铰E取在跨中选组合取在跨中选组合机构如图机构如图 建立虚功方程：建立虚功方程：MuMu 结合机构结合机构ABDC0.8qqMuMu2m2mE 所得结果是精确解的上限。误差为：所得结果是精确解的上限。误差为：0.1% 注意注意:1:1、对于组合机构用静力法建立平衡条件往往不如机动、对于组合
13、机构用静力法建立平衡条件往往不如机动 法方便。法方便。 2 2、如将分布荷载范围内的塑性铰取在中点也会得到令、如将分布荷载范围内的塑性铰取在中点也会得到令 人满意的结果。人满意的结果。14例：例：求图示刚架的极限荷载。求图示刚架的极限荷载。 Pq=2.5P/l2l 2lABCD解：解：假设破坏机构为：假设破坏机构为：x Pq=2.5P/lABCD15例：例：求图示刚架的极限荷载。求图示刚架的极限荷载。 Pq=2.5P/l2l 2lABCD解：解：假设破坏机构为：假设破坏机构为：l Pq=2.5P/lABCD将弯矩图折减将弯矩图折减2/2.04倍，则内力图满足屈服倍，则内力图满足屈服条件，相应的
14、荷载变成为了可接受荷载，条件，相应的荷载变成为了可接受荷载，由上、下限定理知：由上、下限定理知：取平均值为近似解：取平均值为近似解：上、下限定理可用来求极限荷载的上、下限定理可用来求极限荷载的近似解，给出精确解的范围。近似解，给出精确解的范围。16一、稳定问题的分类、特征一、稳定问题的分类、特征分支点失稳分支点失稳极值点失稳极值点失稳完善体系完善体系(无初曲率无初偏心无初曲率无初偏心)非完善体系非完善体系(有初曲率或初偏心有初曲率或初偏心)分类分类起因起因特征特征体系的变形和平体系的变形和平衡形式发生质变衡形式发生质变平衡形式不发生质变，变形按原有平衡形式不发生质变，变形按原有形式迅速增长使结
15、构丧失承载力形式迅速增长使结构丧失承载力二、受压直杆的平衡状态分类、条件、特征二、受压直杆的平衡状态分类、条件、特征加外干扰，偏离原平衡位置，加外干扰，偏离原平衡位置，去外干扰，恢复原平衡位置去外干扰，恢复原平衡位置条件条件特征特征分类分类稳定平衡稳定平衡中性平衡中性平衡不稳定平衡不稳定平衡PPcr加外干扰，偏离原平衡位置，加外干扰，偏离原平衡位置，去外干扰，变形仍然继续增加，直至破坏。去外干扰，变形仍然继续增加，直至破坏。 17三、分支点失稳问题临界状态的特性三、分支点失稳问题临界状态的特性静力特征：静力特征：能量特征：能量特征：平衡形式具有二重性。平衡形式具有二重性。势能为驻值，位移有非零
16、解。势能为驻值，位移有非零解。四、计算方法四、计算方法1 1、静力法：、静力法： 从结构丧失稳定时平衡形式将发生质变这一特征出从结构丧失稳定时平衡形式将发生质变这一特征出发，对变形后结构的新平衡位置建立平衡方程，求发，对变形后结构的新平衡位置建立平衡方程，求 Pcr 对对 n 个自由度体系的结构，列出新平衡形式下的个自由度体系的结构，列出新平衡形式下的 n 个独立的平衡个独立的平衡 方程（含有方程（含有 n 个独立位移参数的齐次线性代数方程）。个独立位移参数的齐次线性代数方程）。 位移有位移有 非零解非零解 D=0（稳定方程）（稳定方程）最小根即临界荷载最小根即临界荷载Pcr对无限自由度体系的
17、结构，建立平衡微分方程并求解，利用边界对无限自由度体系的结构，建立平衡微分方程并求解，利用边界 条件得到一组含有待定常数的奇次线性代数方程。条件得到一组含有待定常数的奇次线性代数方程。 位移有位移有 非零非零解解 D=0（稳定方程）（稳定方程） 最小根即临界荷载最小根即临界荷载Pcr自由度自由度：确定结构失稳时的变形状态所需的独立参：确定结构失稳时的变形状态所需的独立参 数的数目数的数目 称为结构稳定自由度。称为结构稳定自由度。 182 2、能量法：、能量法：根据临界状态的能量特征，利用总势能的一阶变根据临界状态的能量特征，利用总势能的一阶变分为零，求分为零，求 Pcr 能量法求得的临界荷载近
18、似解比精确解能量法求得的临界荷载近似解比精确解大大大大大大大大大大大大有限自由度体系：只用有限个独立参数有限自由度体系：只用有限个独立参数a1，a2，an即可表即可表示设的失稳变形曲线，总势能：示设的失稳变形曲线，总势能：式中，式中，k k为弹性约束的刚度系数；为弹性约束的刚度系数；为弹性约束方向发生的为弹性约束方向发生的位移；位移；P P与与为外荷载和相应的位移。为外荷载和相应的位移。无限自由度体系：采用瑞雷无限自由度体系：采用瑞雷里兹法，将无限自由度近似的里兹法，将无限自由度近似的化为有限自由度处理设弹性曲线为化为有限自由度处理设弹性曲线为式中：式中：a1，a2，an 为为n个独立参数；个
19、独立参数；i（x）为满足位移边界）为满足位移边界条件（尽量满足力的边界条件）的已知函数，总势能：条件（尽量满足力的边界条件）的已知函数，总势能： 由势能驻值条件得一组含由势能驻值条件得一组含a1，a2，an 的齐次线性代数方程，的齐次线性代数方程，使使a1，a2，an 不全为零，不全为零，D=0稳定方程稳定方程临界荷载临界荷载 19五、几点注意五、几点注意:1、在弹性杆的近似微分方程式、在弹性杆的近似微分方程式 中的正负号确定中的正负号确定: MyEI = = 当由弯矩当由弯矩M引起的曲线凸向引起的曲线凸向y轴时取负号，反之取正。轴时取负号，反之取正。2、 使用能量法时，假定的使用能量法时，假
20、定的失稳变形曲线必须满足几何失稳变形曲线必须满足几何边界条件和尽量满足力的边边界条件和尽量满足力的边界条件。如果用某一横向荷界条件。如果用某一横向荷载引起的挠曲线作为失稳曲载引起的挠曲线作为失稳曲线，则体系的应变能也可用线，则体系的应变能也可用该荷载的实功来代替。该荷载的实功来代替。3、计算时，先判断可能的失稳形式：、计算时，先判断可能的失稳形式： 非对称结构承受任意轴压力或对称结构承受非对称压非对称结构承受任意轴压力或对称结构承受非对称压力，可发生局部失稳或整体失稳，用矩阵位移法求力，可发生局部失稳或整体失稳，用矩阵位移法求Pcr。 结构中除了压杆外其余杆不存在轴向压力下的失稳问结构中除了压
21、杆外其余杆不存在轴向压力下的失稳问题，或对称结构承受对称轴压力可发生对称或反对称失稳取题，或对称结构承受对称轴压力可发生对称或反对称失稳取半结构后，可化为弹性支座的压杆稳定问题。半结构后，可化为弹性支座的压杆稳定问题。yx公式中公式中取负号取负号yx公式中公式中取正号取正号 20PPEIEI1EI1lPEIEI1l/2PEI1反对称失稳时PPEIEI1EI1l或：正对称失稳时PEIEI1l/2PEI1PPEI1PP或：21注意：注意：对于某些结构的稳定问题（如局部失稳）常可将其中对于某些结构的稳定问题（如局部失稳）常可将其中 压杆取出，以弹性支座代替其它部分对它的作用，同压杆取出，以弹性支座代
22、替其它部分对它的作用，同 时并由其余部分求出弹性支承的刚度系数，然后就可时并由其余部分求出弹性支承的刚度系数，然后就可 按单根压杆进行计算。按单根压杆进行计算。PABlDE柱、柱、CA梁不存在轴向荷载作用下的失稳问题，对梁不存在轴向荷载作用下的失稳问题，对AB柱的约束作用可用弹性支座代替柱的约束作用可用弹性支座代替EIEIEA=EIllPABDEC2216.2 试用静力法和能量法求图示体系的临界荷载。试用静力法和能量法求图示体系的临界荷载。1、静力法：、静力法：1个自由度个自由度。整体平衡整体平衡：2aaEIEIkq2qaka2、能量法、能量法2316.4 试用静力法和能量法求图示体系的临界荷
23、载。试用静力法和能量法求图示体系的临界荷载。1、静力法：、静力法：1个自由度个自由度。k2l2、能量法、能量法2lEI1=EIPEA=EIl2l EI1=P24f将图示结构简化成弹性支座压杆，并求刚度系数。将图示结构简化成弹性支座压杆，并求刚度系数。l PlEI=Ck P1k PllEI=EI11lABCAkEI Pk=12ili/6k=12i2516.7 设体系对称失稳，试写临界状态的特征方程。设体系对称失稳，试写临界状态的特征方程。EI1EI1EI2EI2l2l1PPkyxk=2i2k=2i2EI1Pl126EIPlllEIEI16.8 试写临界状态的特征方程。试写临界状态的特征方程。yx
24、kk=6i2EI1Pl27例：使用静力法建立图示压杆的稳定方程。例：使用静力法建立图示压杆的稳定方程。新平衡形式新平衡形式EIEI=yx PllR=0yM=Py其通解其通解边界条件为：边界条件为：d d = = y l ,d d = = =yx:0 时时当当 0 0= = =yx:l时时当当或：或：28 16.9 用静力法求图示压杆的临界荷载。用静力法求图示压杆的临界荷载。解解:yxEIP3Pl/2l/2方程方程系数行列式系数行列式=0得到特征方程得到特征方程: 2916.9 用静力法求图示压杆的临界荷载。用静力法求图示压杆的临界荷载。EIP3Pl/2l/2代入例16-4（d）式：30yxQEIP3Pl/2l/216.11 用能量法求图示压杆的临界荷载。用能量法求图示压杆的临界荷载。31
