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1、.超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。基本静定系6-4 6-4 简单超静定梁简单超静定梁9/3/20241基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d) 时该系统即为原超静定梁的相当系统。若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为9/3/20242从而解得“多余”未知力所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平
2、衡条件求得为9/3/20243该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。思考思考 1. 该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？ 2. 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？9/3/20244 例题例题1 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。9/3/20245 解解: : 1. 该系统共有三个未知力(图b)FN ,FB ,FC ，但平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。 2. 取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多余”未
3、知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。9/3/202463. 物理关系(参见图c,d)为需要注意，因DlDA亦即图b中的 是向下的，故上式中wAF为负的。9/3/202474. 于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：由此求得9/3/20248 例题例题2 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。9/3/20249 解解: : 1. 两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。9/3/202410 2. 为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁
4、相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。 此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩 弯矩MB，图b中的“多余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为9/3/2024113. 利用教材中的附录可得物理关系为 应该注意，在列出转角 的算式时每一项的正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)确定。9/3/202412 4. 将物理关系代入位移相容条件补充方程，从而解得 这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上的弯矩与图b中所设相反，即为负弯矩。5
5、. 利用图b可得约束力：9/3/202413(c)(d)然后绘出剪力图和弯矩图如图c,d。9/3/202414(二) 梁的上,下表面温度差异的影响 图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2t1，从而产生约束力如图中所示。 由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。l(a)9/3/202415 现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移Bt。l(a)(b
6、)(c)9/3/202416 如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：l9/3/202417式中一些符号的意义见图c,d,e。(c)(d)(e)9/3/202418 现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2- t1)之间的物理关系。 从上面所示的图a中取出的微段dx, 当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角dq 由图b可知为 上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 dq 为负。9/3/202419将此式积分，并利用边界条件得根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为9/3/202420从而有至于温差引起轴向位移Bt则为9/3/202421 位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为9/3/202422位移相容条件已得出的物理关系9/3/202423 将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得l9/3/202424
