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1、幂函数的概念幂函数的概念, ,图象与性质图象与性质幂函数的性质与图像目标：1) 理解幂函数的概念和性质2) 会画出五种幂函数的图象难点和重点：学会数形结合的思想概括出五种幂函数的性质 幂函数的性质与图像我们先来看看几个具体的问题: (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 _P=W 元(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积_ (4)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度_ _p是w的函数S=a S 是a的函数V=a V是a的函数V=t km/s V是t 的函数幂函数的性质与图像以上问题中的函数有什么共同特征
2、？以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；）指数为常数；（4）自变量前的系数为）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为）幂前的系数也为1。 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。(1)y=x (2)y=x2 (3)y=x3(4)y=x1/2(5)y=x-1幂函数的性质与图像从而我们归纳出幂函数的一般概念：从而我们归纳出幂函数的一般概念：一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为自变量，a为常数。幂函数的性质与图像幂函数的定义的注意事项幂函数的定义的注意事项（1 1） 这是个形式定义，其特征可归纳为
3、这是个形式定义，其特征可归纳为“两个两个1 1”， 即：系数为即：系数为1 1，只有，只有1 1项；项； （2 2） 我们只研究我们只研究 k k 是是有理数有理数的情况的情况幂函数的性质与图像例例1，判断下列函数哪几个是幂函数？，判断下列函数哪几个是幂函数？答案（2）（6）幂函数的性质与图像函数图象的画法是：列表、描点、连线，那么幂函数也用此法。幂函数图象的画法幂函数图象的画法幂函数的性质与图像幂函数的图象和性质我们主要学习下列几种函数. (1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1幂函数的性质与图像定义域：值 域：奇偶性：单调性：幂函数的性质
4、与图像定义域：值 域：奇偶性：单调性：幂函数的性质与图像定义域：值 域：奇偶性：单调性：幂函数的性质与图像定义域：值 域：奇偶性：单调性：幂函数的性质与图像定义域：值 域：奇偶性：单调性：幂函数的性质与图像幂函数的性质与图像 y=x y=x2y=x3 y=x1/2 y=x-1定义域值域奇偶性单调性 公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）x0，+）时,增x（-，0时，减增增增x0，+）时，减x（-，0时，减幂函数的性质与图像幂函数的定义域，图象的对称性与幂函数的定义域，图象
5、的对称性与p、q之间的关系：之间的关系：u分母分母 p 的奇偶确定函数的定义域：的奇偶确定函数的定义域：当当 p 为偶数时，非奇非偶函数为偶数时，非奇非偶函数,（定义域不关于原点对称）（定义域不关于原点对称）;当当 p 为奇数时，则定义域关于原点对称为奇数时，则定义域关于原点对称, 而分子而分子 q 的奇偶就是函数的奇偶性的奇偶就是函数的奇偶性.幂函数的性质与图像幂函数的图象与性质幂函数的图象与性质1 1）从图象的分布来看：）从图象的分布来看： 都经过第一象限，且都过（都经过第一象限，且都过（1 1，1 1）点；都不过第四象限。）点；都不过第四象限。2 2）从图象的类型来说，分为直线型、抛物线
6、型、双曲线型。）从图象的类型来说，分为直线型、抛物线型、双曲线型。k 0k 0，为抛物线型，图象均过（，为抛物线型，图象均过（0 0，0 0）点）点k k 0 0，为直线型，图象是除去（，为直线型，图象是除去（0 0，1 1）点的一条直线）点的一条直线 k 0k 10K1K=00xyK01111在第一象限单调增在第一象限单调增在第一象限单调减在第一象限单调减幂函数的性质与图像巧记速画要点小结：巧记速画要点小结：一看符号（识类别）一看符号（识类别）二看大小（知上下）二看大小（知上下）再看分母（画右边）再看分母（画右边）分子奇偶（定对称）分子奇偶（定对称）直线型、抛物线型、双曲线型直线型、抛物线型
7、、双曲线型举手型、眉毛型举手型、眉毛型指数的分母指数的分母分子分子 q 的奇偶就是函数的奇偶性的奇偶就是函数的奇偶性 幂函数的性质与图像例例2：例例3：试比比较下列各下列各题中两个中两个值的大小：的大小： 0xy0xy0xy幂函数的性质与图像例例4:图中曲线是幂函数图中曲线是幂函数在第一象限的图象在第一象限的图象,则相应于曲线则相应于曲线C1， C2，C3，C4 的的 n 值依次为（值依次为（ ） （B） 已知已知n 取取四个值四个值,0xyc1c2c3c4 （A） （C） （D） B幂函数的性质与图像解法：解法：图象法图象法数的大小数的大小形的高低形的高低幂函数的性质与图像 证明证明: 任取
8、任取x1 ,x2 0，+）,且且x1 x2 则则x1/ x21 所以所以 所以所以 所以所以例6： 证明幂函数f(x)= x1/2 在0，+）上是增函数.(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式(2)作比法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则推不出(1)(2)幂函数的性质与图像一、对称变换一、对称变换 y = f (x) y = f ( |x| ) y = f (x) y = | f (x) |保留保留 y y 轴右方部分的图像轴右方部分的图像保留保留 x x 轴上方部分的图像轴上方部分的图像并将其对称到并将其对称到 y y 轴左方轴左方将将x x 轴下方部分的图像沿轴
9、下方部分的图像沿x x轴轴翻折上去翻折上去二、翻折变换二、翻折变换 y = x+1 y = |x| +1 y = | x +1 |oxy1-1oxy1-1oxy1-1幂函数的性质与图像v y = f(x)关于关于 x x 轴轴对称对称( x , y )( x , y ) y = f(x)y = f(x)v y = f(x)关于关于 y y 轴轴对称对称( x , y )( x , y )y = f( x)v y = f(x)关于关于原点原点中心对称中心对称( x , y )( x , y ) y = f( x)y = f( x)x2x奇奇x2x幂函数的性质与图像三、平移变换三、平移变换v y = f(x)y = f ( x|a|a|)v y = f(x)y = f ( x )|a|a|左右平移左右平移|a|a|个单位个单位左右左右上下平移上下平移|a|a|个单位个单位上下上下向右平移向右平移个单位个单位向上平移向上平移个单位个单位向右平移向右平移个单位个单位向上平移向上平移个单位个单位幂函数的性质与图像
