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1、一元二次方程一元二次方程 用一块长用一块长80cm，宽，宽60cm的薄钢片，的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒的无盖长方形盒子试求出截去的小正方形的边长。子试求出截去的小正方形的边长。应根据面积建应根据面积建立方程立方程即即 x2-70x+8250 解：解：设小正方形边长为设小正方形边长为xcm，则盒子，则盒子底面的长、宽分别为底面的长、宽分别为(80-2x)cm、(60-2x)cm，则有，则有(80-2x)(60-2x)1500.xxxx80-2x60-2x 这个方程和以前这个方程和以前学
2、过的方程有什么学过的方程有什么异同？异同？ 分析：分析：要解决此问题，需求出铁片的要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未，可设宽为未知数来列方程知数来列方程 剪一块面积是剪一块面积是150cm2的长方形的长方形铁片，使它的长比宽多铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片，这块铁片应怎样剪？应怎样剪？ 解：解：设这块铁片宽设这块铁片宽xcm，则长是则长是(x+5)cm根据题意，可得根据题意，可得x(x+5)150.即即 x2+5x-1500x2-70x+8250x2+5x-1500观察观察这两个方程有什么共同点？这两个方程有什么共同点？ 方程中未知数方程
3、中未知数的个数、次数各是的个数、次数各是多少？多少？梳理梳理 等号两边都是整式，只含有一个等号两边都是整式，只含有一个未知数（未知数（一元一元），并且未知数的），并且未知数的最高最高次数次数是是2 （二次二次）的方程，叫做）的方程，叫做一元二一元二次方程次方程。 一般地，任何一个关于一般地，任何一个关于x的一元二次的一元二次方程，经过方程，经过整理整理，都能化成如下形式：，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0 (a0). 这种形式叫做这种形式叫做一元二次方程的一般一元二次方程的一般形式形式，其中，其中ax2是二次项，是二次项，a是二次项系数；是二次项系数；bx是一次项，是一次项，b是一次项系
4、数；是一次项系数；c是常数是常数项。项。梳理梳理为什么？为什么？例题讲解例题讲解 将方程（将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。系数、一次项系数及常数项。解：解：去括号，得去括号，得3x2+3x-2x-2=8x-3移项，合并同类项得移项，合并同类项得3x2-7x+1=0所以得到一元二次方程的一般形式为：所以得到一元二次方程的一般形式为：3x2-7x+1=0 其中二次项系数为其中二次项系数为3，一次项系数，一次项系数为为-7，常数项为，常数项为1。1、下列方程中哪些是一元二次方程？、下列方
5、程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：是一元二次方程的有：探究探究 2、将下列方程化为一元二次方程、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。系数、一次项系数和常数项。 解：解：方程方程(1)整理为整理为5x2-4x-1=0；其；其中二次项系数为中二次项系数为5，一次项系数为，一次项系数为-4，常数项为常数项为-1. 方程方程(2)整理为整理为4x2-81=0；其中二；其中二次项系数为次项系数为4，一次项系数为，一次项系数为0，常数，常数项为项为-81.剪铁片的题目中，列得的方程为剪铁片的题目中，列得的方程为x2+5x
6、-1500x x1 12 23 39 910101111x x2 2+5x-150+5x-150-144-144 -136-136 -126-126-24-240 01616分析分析可以发现，当可以发现，当x=10时，时，x2+5x-150=0。即即x=10时，方程左右两边相等，所以时，方程左右两边相等，所以x=10是方程是方程x2+5x-150的解。一元二次的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的方程的解也叫一元二次方程的根根。 通过计算可知，当通过计算可知，当x=-15时，方时，方程左边为程左边为0，与方程右边相等，所以，与方程右边相等，所以x=-15也是方程也是方程x2+5x-150=0
7、的根的根. 虽然方程虽然方程x2+5x-150=0有两个根有两个根(x=10和和x=-15)，但剪铁片问题的答案只，但剪铁片问题的答案只有一个，宽应为有一个，宽应为10cm。 由实际问题列出方程并得出方程的由实际问题列出方程并得出方程的解后，必须考虑这些解是否是该实际问解后，必须考虑这些解是否是该实际问题的解，即是否符合生活实际。题的解，即是否符合生活实际。探究探究(2)4x2=1 (1)3x2-27=0 1、下列哪些是方程的、下列哪些是方程的 根？根？x2+6x-16=0 0，2，4，6，8，-2，-4，-6，-8.2、试写出下列方程的根。、试写出下列方程的根。(3)x2-x=0 小结小结
8、等号两边都是整式，只含有一个等号两边都是整式，只含有一个未知数（未知数（一元一元），并且未知数的），并且未知数的最高最高次数次数是是2 （二次二次）的方程，叫做）的方程，叫做一元二一元二次方程次方程。1、定义：、定义：小结小结ax2+bx+c=0 (a0). 其中其中ax2是二次项，是二次项，a是二次项系数；是二次项系数；bx是一次项，是一次项，b是一次项系数；是一次项系数；c是常数是常数项。项。2、一般形式：、一般形式：3、一元二次方程的根：、一元二次方程的根： 使一元二次方程左右两边相等使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的的未知数的值叫做一元二次方程的根根。 列方程解决
9、实际问题时，解不列方程解决实际问题时，解不仅要满足所列方程，还需满足适合仅要满足所列方程，还需满足适合实际。实际。巩固练习巩固练习 1、一元二次方程、一元二次方程3y(y1)=7(y2)5化为一般形式为化为一般形式为 ；其中二次；其中二次项系数为项系数为 ；一次项系数为；一次项系数为 ；常；常数项为数项为 。3y2-4y-9=03-4-9 2、已知关于、已知关于x的方程的方程(k2-1)x2+kx-1=0为一元二次方程，则为一元二次方程，则k .13.下列方程中下列方程中,无论无论a为何值为何值,总是关于总是关于x的一元的一元二次方程的是二次方程的是( )A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=04.当当m为何值时为何值时,方程方程 是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程.D 5. 求证：关于求证：关于 x 的方程（的方程（m28m+17）x2 + 2mx + 1 = 0， 不论不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程。取何值，该方程都是一元二次方程。 证明： 即二次项系数不等于即二次项系数不等于 0，不论，不论 m 取取何值，该方程都是一元二次方程。何值，该方程都是一元二次方程。
