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1、 3.1.1 思考：一元二次方程思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？ 方程方程x22x+1=0x22x+3=0y= x22x3 y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax
2、2 +bx+c(a0)的的图象图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：注意：注意：零点指的是一个实数；零点指的是一个实数；零点是一个点吗? 方程方程x22x+1=0x2
3、2x+3=0y= x22x3 y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点等价关系等价关系等价关系等价关系课堂练习：课堂练习：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（
4、1）x23x50；（2）2x(x2)3；（3） x2 4x4；（4）5 x2 2x3 x2 5.1(1)1(1)1(1)1(1)解：令解：令解：令解：令f(x)=f(x)=f(x)=f(x)=x23x5, 作出函数作出函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象，如下：的图象，如下：.xy01321486224 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程x23x50有两个有两个不不相等的实数根。相等的实数根。1(1) x23x50课堂练习课堂练习 1(2)解：解：2x(x2)3可化为可化为2x24x30，令，令f(x)= 2x24x3 , 作出函数作出函数f(x)f(x)f(x)f(
5、x)的图象的图象,如下：如下：xy0132112543. 它与它与x轴没有交点，所以方程轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根无实数根。1(2) 2x(x2)3课堂练习课堂练习1(3)解：解：x2 4x4可可化为化为x24x40，令，令f(x)= x24x4，作出作出函数函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象，如下：的图象，如下：. 它与它与x轴只有一个交点，所以轴只有一个交点，所以方程方程x2 4x4有两个相等的实有两个相等的实数根数根。xy0132112543641(3) x2 4x4课堂练习课堂练习1(4)解：解：5x2 +2x3x2 +5可化为可化为2x2 2x50，令令令令f
6、(x)=2f(x)=2f(x)=2f(x)=2x22x5 , 作出函数作出函数f(x)f(x)f(x)f(x)的图象，的图象，如下：如下：xy013211213343654422. 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程5x2 +2x3x2 +5有两个不有两个不相等的实数根相等的实数根。1(4) 5 x2 2x3 x2 5课堂练习课堂练习(1)(1)y=y=x x2 2-x+20-x+20； (2)y=2(2)y=2x x-1; -1; 拓展：拓展：求下列函数的零点。求下列函数的零点。评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从
7、而得出函数的零点。探究探究: 函数函数y yf(xf(x) )在某个区间上是否在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数一定有零点？怎样的条件下，函数y yf(xf(x) )一定有零点？函数一定有零点？函数y yf(xf(x) )一一定有一个零点？函数定有一个零点？函数y yf(xf(x) )一定有一定有多个零点？多个零点？ 1.1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下我们仍然能推测
8、出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？ 2.2.将河流抽象成将河流抽象成x x轴，将前后的两个位置视为轴，将前后的两个位置视为A A、B B两点。两点。请问当请问当A A、B B与与x x轴怎样的位置关系时，轴怎样的位置关系时，ABAB间的一段连续不断间的一段连续不断的函数图象与的函数图象与x x轴一定会有交点？轴一定会有交点？ 3.A3.A、B B与与x x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？示？用用f f（a a）f f（b b）00 f(1)0 f(2)f(1)0
9、（2,1）x1 x22x30的的一个根一个根 2,4 f(2)0 f(2)f(4)0（2,4）x3 x22x30的另一个根的另一个根观察对数函数观察对数函数f(x)=lgxf(x)=lgx的图象的图象: : 0.5 , 1.5 f(0.5)0 f(0.5)f(1.5)0（0.5 , 1.5) x1 lgx=0的一个根的一个根.xy0121. . . . . . . . . .结结论论思考：思考：1.若函数若函数y=f(x) 在区间在区间(a, b)内有零点，一定内有零点，一定能得出能得出f(a)f(b)0吗？吗？ 2.判定零点存在性的方法：（判定零点存在性的方法：（1）利用定理）利用定理;（2
10、）利用图象）利用图象反馈练习反馈练习: :练习练习1 1、观察下表，分析函数观察下表，分析函数 在定义域内是否存在零点？在定义域内是否存在零点？练习练习2 2、求证：方程、求证：方程5x5x2 2-7x-1=0-7x-1=0的一个根在区的一个根在区间间(-1,0)(-1,0)内，另一个根在区间内，另一个根在区间(1,2)(1,2)内。内。变式变式：若函数：若函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在区间在区间 a,ba,b 上的图象上的图象是连续不断的曲线，且函数是连续不断的曲线，且函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在( (a,ba,b) )内有零点，则内有零点，则f(a)
11、f(a)f(bf(b) )的值的值( )( )A A、大于、大于0 B0 B、小于、小于0 C0 C、无法判断、无法判断 D D、等于零、等于零（2 2）函数）函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )内有零点内有零点 f(a)f(a)f(bf(b)0)0。总结：总结：函数函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上的图象是连续不断的一条曲线：上的图象是连续不断的一条曲线：（1 1） f(a)f(a)f(bf(b)0 )0,f(1.5)=2.8750,所以所以f(x)= x33x+5在区间在区间(1, 1.5)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)是是
12、(,）上的减函数，所以在区间上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有上有且只有一个零点。且只有一个零点。xy0132112543(1)f(x)= x33x+5. . . . . . . . . . . . . . . .解：解：解：解：作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：. . . . . . . . . . . . . 因为因为f(3)30,所以所以f(x)= 2x ln(x2)3在区间在区间(3,4)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x) =2x ln(x2)3是是(2，）上的增函数，）上的增函数，所以在区间所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。上有且只有一个零点。xy013
13、21125-3-24(2)f(x)=2x ln(x2)3解：解：解：解：作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下： . . . . . . . . . . . . . 因为因为f(0)3.630,所以所以f(x)= ex1+4x4在区间在区间(0,1)上有零点。又因上有零点。又因为为f(x) = ex1+4x4是是( ，）上的增函数，所以在）上的增函数，所以在区间区间(0,1)上有且只有一个零上有且只有一个零点。点。(3)f(x)=ex1+4x4xy0132112123424练习练习：1你能说说二次函数的零点与一元你能说说二次函数的零点与一元 二次方程的根的联系吗？二次方程的根的联系吗？2如果函数图象在区间如果函数图象在区间a,b上是连上是连 续不断的，那么在什么条件下，续不断的，那么在什么条件下， 函数在函数在(a,b)内有零点？内有零点？问题：问题：内容小结：内容小结：1函数零点的定义函数零点的定义2等价关系等价关系3函数的零点或相应方程的根的存函数的零点或相应方程的根的存 在性以及个数的判断在性以及个数的判断
