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1、一一.中心对称中心对称(关于点的对称关于点的对称)(一）点关于点的对称一）点关于点的对称 点点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )关于点关于点M(m,n)M(m,n)对称的点对称的点P P2 2为为(2m-x(2m-x1,1,2n-y2n-y1 1););特别地特别地,P(x,y),P(x,y)关于原点关于原点(0,0)(0,0)的对称点坐标为的对称点坐标为(-x,-y).(-x,-y).练习练习:(1)求点求点P(2,5)关于点关于点Q(-3,-7)的对称点的对称点. (2)若点若点A(0,-3)关于点关于点M的对称点为的对称点为B(-7,5).求求M的坐标的坐标.(二）直线关于点
2、的对称二）直线关于点的对称 直线直线l:Ax+By+C=0关于点关于点M(m,n)对称的直对称的直线线l1的方程为的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0. 例例1.求直线求直线m:2x+3y-1=02x+3y-1=0关于点关于点P(1,4)P(1,4)对称对称的直线的直线n n的方程的方程. .解解:(法一法一)直接代入上面结论直接代入上面结论 (法二法二)在直线在直线m上任取两点上任取两点A,B.则则A,B关于点关于点P的对称的对称点落在直线点落在直线n上上. (法三法三)显然直线显然直线m和直线和直线n是平行直线是平行直线,因此斜率相等因此斜率相等.一般地：曲线一般地：曲线f（x，
3、y）=0关于点关于点M（m，n）的对称曲线的对称曲线方程为方程为f（2m-x，2n-y）=0 特别地曲线特别地曲线f（x，y）=0关关于原点（于原点（0，0）的对称曲线方程为）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0 .二二.轴对称轴对称(即关于直线的对称即关于直线的对称)例例2.求点求点A(-7,1)关于直线关于直线l:2x-y-5=0的对称点的对称点B的坐标的坐标.解解(法一法一) 设设B(m,n）由点关于直线对称的定义知由点关于直线对称的定义知: 线段线段ABl 即; =-1 线段线段AB被直线被直线l平分平分,即线段即线段AB的中点的中点在直线在直线l上上,故有故有 2 - -5=0 (一
4、一)点关于直线的对称点关于直线的对称:联立联立 解得解得m=9 n= -7B(9,-7)（法二）（法二）直线直线ABl, 直线直线AB过点（过点（-7，1）直线直线AB的方程为的方程为y-1=- y-1=- （x+7x+7） 即即x+2y+5=0x+2y+5=0由 解得 即即AB的中点为（的中点为（1，-3） ，又，又A（-7，1）由中点坐标公式得由中点坐标公式得B的坐标为（的坐标为（9，-7）.小结小结:求点求点P(x0,y0)关于直线关于直线l:Ax+By+C=0By+C=0对称对称点点Q(x1,y1)的方法的方法:(1)（综合求解）（综合求解） 由点关于直线对称的定义及直由点关于直线对称
5、的定义及直线线l垂直平分线段垂直平分线段PQ得方程组得方程组:由（由（1）（）（2）可解得）可解得x1,y1的值即对称点的值即对称点Q的坐标的坐标(2)（分步求解）可先求直线（分步求解）可先求直线PQ的方程的方程,然后解出然后解出直线直线PQ与直线与直线l的交点即线段的交点即线段PQ的中点的中点M的坐标的坐标,最后利用中点坐标公式最后利用中点坐标公式,求出对称点求出对称点Q的坐标的坐标.（3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为一般地一般地：点（点（x0，y0）关于直线关于直线y=x的对称点为（的对称点为（y0，x0）点（点（x0，y0）关于直线关于直线y
6、=-x的对称点为（的对称点为（-y0，-x0）点（点（x0，y0）关于直线关于直线y=x+b的对称点为（的对称点为（y0-b，x0+b）点（点（x0，y0）关于直线关于直线y=-x+b的对称点为（的对称点为（b-y0，-x0+b）点（点（x0，y0）关于直线关于直线y=0（即（即x轴）的对称点为（轴）的对称点为（ x0，-y0）点（点（x0，y0）关于直线关于直线x=0（即（即y轴）的对称点为（轴）的对称点为（-x0，y0） 点（点（x0，y0）关于直线关于直线y=m的对称点为（的对称点为（x0，2m-y0）点（点（x0，y0）关于直线关于直线x=n的对称点为（的对称点为（2n-x0，y0）
7、注：注：当对称轴的斜率为当对称轴的斜率为1或对称轴与或对称轴与坐标轴垂直坐标轴垂直时可用上时可用上述方法直接求出对称点的坐标。述方法直接求出对称点的坐标。（二）直线关于直线的对称（二）直线关于直线的对称例例3.求直线求直线m: x-y-2=0关于直线关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线对称的直线n的方程的方程.解解:设直线设直线m, l, n的斜率分别为的斜率分别为k1 ,k, K2 . 由直线关于直线对称的定义知由直线关于直线对称的定义知:直线直线m到直线到直线l的角等于直线的角等于直线l到直线到直线n的角的角.又又k1=1,k=3解得解得:k2=-7 由 解得xyomnl即直线即直线m
8、,l,n的交点为的交点为直线直线n的方程为的方程为法法(二二): 在直线在直线x-y-2=0上任取一点如上任取一点如A(2,0),则则A关于直关于直线线l的对称点的对称点A1 落落 在直线在直线n上上,然后解出直线然后解出直线l和和m的交点的交点,由直线方程的两点式求出直线由直线方程的两点式求出直线n的方程的方程. 例例4.已知已知ABC的顶点为的顶点为A(-3,0), B(0,3), C(3,-12)求求:A的内角平分线所在的直线方程的内角平分线所在的直线方程.解解（法一）设法一）设 :A平分线所在直线平分线所在直线l的斜率为的斜率为k直线直线AC到到l的角等于的角等于l到直线到直线AB的角
9、的角,又又kAC=-2, kAB=1K=3-其方程为其方程为即（法二）设（法二）设A的内角平分线的内角平分线交直线交直线BC与点与点T A的内角平分线的斜率的内角平分线的斜率K(-2,1),点点T分有向线段分有向线段 的的比为比为设设T（x，y），），由定比分点坐标公式得：由定比分点坐标公式得：xABCyoTT由直线方程的两点式求得由直线方程的两点式求得A内角平分线所在直线的方程内角平分线所在直线的方程问问（1）你会用第三种方法解这道题吗？你会用第三种方法解这道题吗？ （2） 你会求你会求A外角平分线所在直线的方程吗？外角平分线所在直线的方程吗？一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和
10、斜率；也可一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。以转化为求点关于直线的对称点来解决。特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为1时可用以下时可用以下结论直接代入；结论直接代入；设直线方程为设直线方程为f（x，y）=0则：则：直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=x对称的直线方程为对称的直线方程为f（y，x）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=-x对称的直线方程为对称的直线方程为f（-y，-x）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=x+b对称的直线方程为对称的直线
11、方程为f（y-b，x+b）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=-x+b对称的直线方程对称的直线方程 为为f（b-y，-x+b）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=0（x轴）对称的直线方程为轴）对称的直线方程为f（x，-y）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线x=0（y轴）对称的直线方程为轴）对称的直线方程为f（-x，y）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线y=m对称的直线方程为对称的直线方程为f（x，2m-y）=0直线直线f（x，y）=0关于直线关于直线x=n对称的直线方程为对称的直线方程为f（2n-x，y）=0三三.对称问题的应用：对称问题的应用：（一
12、）涉及定直线（一）涉及定直线l上一点上一点P与两定点与两定点A，B的距离和（或差）的距离和（或差）的最值问题的最值问题1.若若A，B两点在直线的同侧：两点在直线的同侧：（1）设点）设点B关于直线的对称点为点关于直线的对称点为点C,则则直线直线AC与直线与直线l的的交点交点P使得使得|PA|+|PB|最小；最小；（2）直线）直线AB与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|-|PB|最大。最大。2.若若A,B两点在两点在直线的异侧直线的异侧:(1)直线直线AB与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|+|PB|最小最小;(2)设点设点B关于直线的对称点为点关于直线的对称点为点C,则直线则直线
13、AC与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|-|PB|最大最大.(二二)涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对称问题来解决称问题来解决. 例例5.已知两点已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线在直线l:3x-4y+4=0上找一上找一点点P,使得使得:(1)|PA|+|PB|最小最小,并求出其最小值并求出其最小值;(2)|PA|-|PB|最大最大,并求出其最大值并求出其最大值. 例例6.自点自点A(-3,3)发出的光线发出的光线l射到射到x轴上轴上,被被x轴反射轴反射,其其反射光线所在直线与圆反射光线所在直线与圆x2+y2-4
14、x-4y+7=0相切相切,求光线求光线l所在所在直线的方程直线的方程.练习题：练习题：(1)(1)点点M (-1,3)M (-1,3)关于直线关于直线x+y-1=0x+y-1=0的对称点为的对称点为_关于直线关于直线y=2xy=2x的对的对称点为称点为_ _ _ _ 关于点关于点(9,0)(9,0)的对称点为的对称点为 (2)(2)直线直线x+2y-1=0x+2y-1=0关于直线关于直线x-y+2=0x-y+2=0的对称直线的方程为的对称直线的方程为_关关于直线于直线y=-xy=-x的对称直线为的对称直线为_关于直线关于直线x+3=0x+3=0对称直线为对称直线为_(3)(3)直线直线3x-4
15、y+3=03x-4y+3=0关于关于x x轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为_关于关于y y轴轴的对称直线方程为的对称直线方程为_关于原点的对称直线方程为关于原点的对称直线方程为 (4)光线从光线从M(-2,3)射到射到x轴上一点轴上一点P(1,0)后被后被x轴反射轴反射,则入射光线和则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为反射光线所在的直线方程分别为_若光线射到直线若光线射到直线y=2x上呢上呢?(5)光线沿着斜率为光线沿着斜率为 的直线的直线l1射在斜率为射在斜率为 的直线的直线l2上反射上反射,若若l1和和l2的交点为的交点为(-1,2),求反射光线所在的直线方程求反射光线所在的直线方
16、程. (6)已知已知ABC的一个顶点的一个顶点A(4,-1),其内角其内角B,C的平分线方的平分线方程分别为程分别为y=x-1和和x=1,求边求边BC,AB所在的直线方程所在的直线方程. (7)直线直线y=2x是是ABC中角中角C的平分线所在的直线方程的平分线所在的直线方程, A(-4,2),B(3,1)求求C的坐标的坐标,并判断并判断ABC的形状的形状. (8) ABC的两条高线方程为的两条高线方程为2x-3y+1=0和和x+y=0,顶点顶点A的的坐标为坐标为(1,2),求求BC 边所在的直线方程边所在的直线方程. (9)已知已知ABC的一个顶点的一个顶点A(-4,2),中线中线BD,CE所
17、在的直线所在的直线方程分别为方程分别为3x-2y+2=0和和3x+5y-12=0,求边求边BC所在的直线方程所在的直线方程. (10)已知已知ABC的一个顶点的一个顶点A(3,-1),AB边上的中线所在的边上的中线所在的直线方程为直线方程为6x+10y-59=0B的平分线所在直线方程为的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求边求边BC所在的直线方程所在的直线方程. (11)已知点已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线在直线l:x+y-3=0上求一点上求一点P使使|PA|+|PB| 最小最小变形变形:在在l上求一点上求一点Q使得使得| |QA|-|QB| |最大最大. (12)已知点已知点A(4,1),B(0,4),在直线在直线l:3x-y-1=0上求一点上求一点P使使|PA|+|PB| 最小最小.变形变形:在直线在直线l上求一点上求一点Q使得使得| |QA| -|QB| |最大最大.
