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1、第2 2课时映射与函数一二一、映射【问题思考】1.图中的对应是从集合A到B的函数吗?提示:不是.因为函数是建立在两个数集基础上的.一二2.如图所示的对应有什么共同特点?提示:上述3种对应虽然形式不同,但都满足集合A中的任意一个元素,在B中都有唯一元素与之对应.一二3.填写下表:一二4.做一做:已知集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,下列A到B的四种对应法则中,能够构成映射的有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个答案:B一二二、映射与函数的关系【问题思考】1.函数与映射有何区别和联系?提示:(1)区别:对于映射f:AB来说,集合A,B可以是数集以外的其他非空集合;而函数定义中的两个集合必
2、须是非空数集.(2)联系:映射是函数概念的一种扩展,即将数集扩展到任意非空集合,函数是一种特殊的映射,所以映射不一定都是函数,而函数都是映射.2.填空.(1)映射是函数概念的推广.(2)函数是数集到数集的特殊映射.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”.(1)映射f:AB与映射f:BA是同一个映射.()(2)映射f:AB中,A中的元素可以没有象与之对应.()(3)映射f:AB中,B中的任一元素均有原象与之对应.()(4)一一映射f:AB中,B中的任一元素均有原象与之对应.()(5)映射是函数,函数也是映射.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)探究一探究二探究
3、三思维辨析映射与一一映射的概念映射与一一映射的概念【例1】(1)如图,下列对应法则:其中是映射的个数为()A.3B.4C.5D.6(2)判断下列对应法则是否是从A到B的映射,若是映射,是否是一一映射?A=R,B=x|x0,f:xy=|x|;A=x|x0,B=y|y0,f:xy= ;A=x|x2,xZ,B=y|y0,yN,f:xy=x2-2x+2.探究一探究二探究三思维辨析分析:(1)所谓映射,是指多对一的对应,一对一的对应,且A中的元素无剩余,以此来判断既准确又迅速;(2)判断某一映射是否是一一映射,应抓住两点:原象不同,象不同;每个象都必须有原象.探究一探究二探究三思维辨析(1)解析:这三个
4、图所示的对应法则都符合映射的定义,即A中每一个元素在对应法则下,在B中都有唯一的元素与之对应.对于,A的每一个元素在B中有2个元素与之对应,所以不是A到B的映射.对于,A中的元素a3,a4在B中没有元素与之对应,所以不是A到B的映射.综上可知,能构成映射的个数为3.答案:A探究一探究二探究三思维辨析(2)解:因为0A,在f作用下0|0|=0B,所以不是映射,更不是一一映射.对于任意xA,都有,故是映射.又因为对B中任一元素,在A中有且仅有一个原象,所以为一一映射.对任意的xA,依对应法则f有xy=x2-2x+2=(x-1)2+1,因为x2,xZ,所以y2,yN,即yB,所以是映射.因为0B,且
5、(x-1)2+1=0无解,所以集合B中的元素0在A中无原象,所以不是一一映射.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.判断一个对应法则是A到B的映射,应从两个角度去分析:(1)存在性:集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素;(2)唯一性:集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.这两个条件缺一不可.2.若判断不是A到B的映射,只要举出一个反例,即说明集合A中的某一元素,在B中无对应元素或有多个对应元素即可.探究一探究二探究三思维辨析判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么?(1)A=1,3,5,7,B=2,4,6,8,对应关系f:xy=x+
6、1;(2)A=N,B=N+,对应关系f:x|x-1|;(3)A=x|0x6,B=y|0y2,对应关系f:x.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,所以此对应是从A到B的映射.又B中每一个元素在A中都有唯一的原象与之对应,故该对应是一一映射.又A,B是非空数集,因此该对应也是从集合A到集合B的函数.(2)集合A=N中元素1在对应关系f的作用下为0,而0N+,即A中元素1在B中没有元素与之对应,故该对应不是从A到B的映射,更不是函数,也不是一一映射.(3)集合A中元素6在对应关系f的作用下为3,而3B,故该对应不是从A到
7、B的映射,更不是函数,也不是一一映射.探究一探究二探究三思维辨析求映射中的象或原象求映射中的象或原象【例2】已知映射f:AB中,A=B=(x,y)|xR,yR,f:(x,y)(3x-2y+1,4x+3y-1).(1)求A中元素(1,2)的象;(2)求B中元素(1,2)的原象.分析:(1)根据映射的定义,把(1,2)代入对应法则即可得象;(2)根据映射的定义,利用解方程组的方法求其原象.解:(1)当x=1,y=2时,3x-2y+1=0,4x+3y-1=9.故A中元素(1,2)的象为(0,9).探究一探究二探究三思维辨析反思感悟解决象与原象问题的关键是紧扣定义,具体地说,就是若已知A中的元素a(即
8、原象a),求B中与之对应的元素b(即象b),这时只要将元素a代入对应法则f求解即可;若已知B中的元素b(即象b),求A中与之对应的元素a(即原象a),这时构造方程(组)进行求解即可,需注意解得的结果可能有多个.在求解过程中,要注意象和原象的区别和联系.探究一探究二探究三思维辨析构成映射个数问题构成映射个数问题【例3】(1)集合A=a,b,c,B=d,e,则从A到B可以建立不同的映射个数为()A.5B.6C.8D.9(2)已知集合A=a,b,B=-1,0,1,从A到B的映射f:AB满足f(a)+f(b)=0,则这样的映射f:AB的个数为()A.2B.3C.5D.8解析:(1)用树状图写出所有的映
9、射为:(2)满足条件f(a)+f(b)=0的情形有:-1+1=0,1+(-1)=0,0+0=0,共3个,即满足条件的映射有3个.答案:(1)C(2)B探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一般地,若A中有m个元素,B中有n个元素,则AB共有nm个不同的映射.2.含条件的映射个数的确定,解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件,要采用分类讨论的思想,利用列举法来解决.探究一探究二探究三思维辨析已知集合A=1,2,3,B=4,5,6,映射f:AB满足1是4的一个原象,则符合条件的映射的个数为()A.27 B.9C.8D.6解析:要完成题设条件所给的映射,主要是给集合A中的元素2,3找象,可分以下
10、几类:14,2和3分别对应5,6中的一个(构成一一映射),有2个;14,2,3都对应4,有1个;1,2都对应4,3对应5,6中的一个,有2个;1,3都对应4,2对应5,6中的一个,有2个;14,2,3都对应5,有1个;14,2,3都对应6,有1个.综上所述,共有2+1+2+2+1+1=9个.答案:B探究一探究二探究三思维辨析因对函数与映射的概念理解不清而致误【典例】下列对应f是从集合A到集合B的函数的是.(1)A=1,2,3,B=7,8,9,f(1)=f(2)=7,f(3)=8;(2)A=Z,B=-1,1,n为奇数时,f(n)=-1;n为偶数时,f(n)=1;(3)A=B=1,2,3,f(x)
11、=2x-1.错解:(1)(2)(3)均为集合A到B的函数.以上出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:错解中没有弄清A中的任意元素在B中都有唯一的元素与之对应.探究一探究二探究三思维辨析正解:对于(1),集合A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的象,同时集合A和B都是数集,可知对应关系f是集合A到集合B的函数.对于(2),对应关系f也是集合A到集合B的函数.对于(3),由于f(3)=23-1=5B,即集合A中的元素3在集合B中没有象.因此对应关系f不是集合A到集合B的函数.答案:(1)(2)防范措施对于判断能否构成映射或函数的问题,一定要紧扣定义,抓住“任意”“唯一”这两个关键词.1.
12、下列各图中表示的对应法则:其中是映射的个数为()A.4B.3C.2D.1答案:D2.下列集合A,B及其对应法则不能构成函数的是()A.A=B=R,f(x)=|x+1|B.A=B=R,f(x)=C.A=1,2,3,B=4,5,6,7,f(x)=x+3D.A=x|x0,B=1,f(x)=x0答案:B3.已知集合A和集合B的元素都属于N,映射f:AB,若把集合A中的元素n映射到集合B中为元素n2+n,则在映射f下,象20的原象是()A.4B.5C.4或-5D.-4或5解析:由题意知n2+n=20,解得n=4或n=-5(舍去).答案:A4.已知A=a,b,B=c,d,e,则集合A到集合B的不同的映射f
13、的个数为.答案:95.判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么?(1)A=1,2,3,4,B=3,4,5,6,7,8,9,对应关系f:x2x+1;(2)A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应关系f:作圆的内接矩形;解:(1)是映射,也是函数,但不是一一映射.因为数集A中的元素x按照对应关系f:x2x+1和数集B中的元素2x+1对应,所以这个对应是数集A到数集B的映射,也是函数.但B中的元素4,6,8没有原象,不能构成一一映射.(2)不是从集合A到集合B的映射,更不是函数,也不是一一映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.(3)是A到B的映射,也是函数和一一映射.因为A中的每一个元素按照对应关系,在B中都有唯一的元素与之对应,并且A,B均为非空数集,所以是A到B的映射,也是函数.又该对应满足一一映射的定义,同时也是一一映射.
