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1、计算机算法设计与分析（第计算机算法设计与分析（第3版）版）王晓东王晓东 编著编著电子工业出版社电子工业出版社第第1章章 算法概述算法概述学习要点学习要点: 理解算法的概念。理解什么是程序，程序与算法的区别和内在联系。掌握算法的计算复杂性概念。掌握算法渐近复杂性的数学表述。掌握用C+语言描述算法的方法。算法算法(Algorithm)算法是指解决问题的一种方法或一个过程。算法是若干指令的有穷序列，满足性质：(1)输入输入：有外部提供的量作为算法的输入。(2)输出输出：算法产生至少一个量作为输出。(3)确定性确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。(4)有限性有限性：算法中每条指令的执行次数是有
2、限的，执行每条指令的时间也是有限的。程序程序(Program)程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。程序可以不满足算法的性质(4)。例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输出结果后便终止。问题求解问题求解(Problem Solving)证明正确性分析算法设计程序理解问题精确解或近似解选择数据结构算法设计策略设计算法算法复杂性分析算法复杂性分析 算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源算法的时间复杂性T(n)；算法的空间复杂性S(n)。其中n是问题的规模（输入大小）
3、。算法的时间复杂性算法的时间复杂性（1）最坏情况最坏情况下的时间复杂性 Tmax(n) = max T(I) | size(I)=n （2）最好情况最好情况下的时间复杂性 Tmin(n) = min T(I) | size(I)=n （3）平均情况平均情况下的时间复杂性 Tavg(n) = 其中I是问题的规模为n的实例，p(I)是实 例I出现的概率。算法渐近复杂性算法渐近复杂性T(n) , as n ;(T(n) - t(n) )/ T(n) 0 ，as n;t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。在数学上， t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)略去低阶项留下的主项。它比T(n
4、) 简单。渐近分析的记号渐近分析的记号在下面的讨论中，对所有n，f(n) 0，g(n) 0。（1）渐近上界记号渐近上界记号OO(g(n) = f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：0 f(n) cg(n) （2）渐近下界记号渐近下界记号 (g(n) = f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：0 cg(n) f(n) （3）非紧上界记号非紧上界记号o o(g(n) = f(n) | 对于任何正常数c0，存在正数和n0 0使得对所有n n0有：0 f(n)0，存在正数和n0 0使得对所有n n0有：0 cg(n) f(n) 等价于 f(n) / g(n) ，as n
5、。f(n) (g(n) g(n) o (f(n) （5）紧渐近界记号紧渐近界记号 (g(n) = f(n) | 存在正常数c1,c2和n0使得对所有n n0有：c1g(n) f(n) c2g(n) 定理定理1： (g(n) = O (g(n) (g(n) 渐近分析记号在等式和不等式中的意义渐近分析记号在等式和不等式中的意义f(n)= (g(n)的确切意义是：f(n) (g(n)。一般情况下，等式和不等式中的渐近记号(g(n)表示(g(n)中的某个函数。例如：2n2 + 3n + 1 = 2n2 + (n) 表示 2n2 +3n +1=2n2 + f(n)，其中f(n) 是(n)中某个函数。等式
6、和不等式中渐近记号O,o, 和的意义是类似的。渐近分析中函数比较渐近分析中函数比较f(n)= O(g(n) a b;f(n)= (g(n) a b;f(n)= (g(n) a = b;f(n)= o(g(n) a b.渐近分析记号的若干性质渐近分析记号的若干性质（1）传递性：）传递性：f(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)；f(n)= O(g(n)， g(n)= O (h(n) f(n)= O (h(n)；f(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)；f(n)= o(g(n)， g(n)= o(h(n) f(n)= o(h(n)；f
7、(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)；（2）反身性：）反身性：f(n)= (f(n)；f(n)= O(f(n)；f(n)= (f(n).（3）对称性：）对称性：f(n)= (g(n) g(n)= (f(n) .（4）互对称性：）互对称性：f(n)= O(g(n) g(n)= (f(n) ；f(n)= o(g(n) g(n)= (f(n) ；（5）算术运算：）算术运算：O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) ；O(f(n)+O(g(n) = O(f(n)+g(n) ；O(f(n)*O(g(n) = O(f(n)*g(n) ；O(cf(n)
8、= O(f(n) ；g(n)= O(f(n) O(f(n)+O(g(n) = O(f(n) 。规则O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) 的证明：证明：对于任意f1(n) O(f(n) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。类似地，对于任意g1(n) O(g(n) ，存在正常数c2和自然数n2，使得对所有n n2，有g1(n) c2g(n) 。令c3=maxc1, c2， n3 =maxn1, n2，h(n)= maxf(n),g(n) 。则对所有的 n n3，有f1(n) +g1(n) c1f(n) + c2g(n) c3f(n
9、) + c3g(n)= c3(f(n) + g(n) c32 maxf(n),g(n) = 2c3h(n) = O(maxf(n),g(n) .算法渐近复杂性分析中常用函数算法渐近复杂性分析中常用函数（1）单调函数）单调函数单调递增：m n f(m) f(n) ;单调递减：m n f(m) f(n);严格单调递增：m n f(m) f(n);严格单调递减：m f(n).（2）取整函数）取整函数 x ：不大于x的最大整数； x ：不小于x的最小整数。 取整函数的若干性质取整函数的若干性质 x-1 x x x 0，有： n/a /b = n/ab ; n/a /b = n/ab ; a/b (a+
10、(b-1)/b; a/b (a-(b-1)/b; f(x)= x , g(x)= x 为单调递增函数。（3）多项式函数）多项式函数 p(n)= a0+a1n+a2n2+adnd； ad0; p(n) = (nd); f(n) = O(nk) f(n)多项式有界； f(n) = O(1) f(n) c; k d p(n) = O(nk) ;k d p(n) = (nk) ;k d p(n) = o(nk) ;k 0: a0=1; a1=a ; a-1=1/a ; (am)n = amn ; (am)n = (an)m ; aman = am+n ; a1 an为单调递增函数; a1 nb = o
11、(an)ex 1+x;|x| 1 1+x ex 1+x+x2 ; ex = 1+x+ (x2), as x0;（5）对数函数）对数函数 log n = log2n; lg n = log10n; ln n = logen; logkn = (log n)kl; log log n = log(log n); for a0,b0,c0|x| 1 for x -1,for any a 0, , logbn = o(na)（6）阶层函数）阶层函数Stirlings approximation 算法分析中常见的复杂性函数算法分析中常见的复杂性函数小规模数据小规模数据中等规模数据中等规模数据用用c+描述
12、算法描述算法（1）选择语句：）选择语句：（1.1) if 语句：语句：（1.2) ？语句：？语句： if (expression) statement;else statement; exp1?exp2:exp3 y= x9 ? 100:200; 等价于： if (x9) y=100; else y=200;（1.3) switch语句：语句：switch (expression) case 1: statement sequence; break; case 2: statement sequence; break; default: statement sequence; （2）迭代语句：
13、）迭代语句：（2.1) for 循环：循环： for (init;condition;inc) statement;（2.2) while 循环：循环： while (condition) statement;（2.3) do-while 循环：循环： do statement; while (condition); （3）跳转语句：）跳转语句：（3.1) return语句：语句： return expression;（3.2) goto语句：语句： goto label; label:（4）函数：）函数：例：例： return-type function name(para-list) bo
14、dy of the function int max(int x,int y) return xy?x:y; （5）模板）模板template ：template Type max(Type x,Type y) return xy?x:y; int i=max(1,2)；double x=max(1.0,2.0)；（6）动态存储分配：）动态存储分配：（6.1）运算符）运算符new ：运算符new用于动态存储分配。 new返回一个指向所分配空间的指针。例：int x；y=new int；y=10；也可将上述各语句作适当合并如下：int y=new int；y=10；或 int y=new int
15、(10)；或 int y；y=new int(10)；（6.2）一维数组）一维数组 ：为了在运行时创建一个大小可动态变化的一维浮点数组x，可先将x声明为一个float类型的指针。然后用new为数组动态地分配存储空间。例：例：float x=new floatn；创建一个大小为n的一维浮点数组。运算符new分配n个浮点数所需的空间，并返回指向第一个浮点数的指针。然后可用x0，x1，xn-1来访问每个数组元素。（6.3）运算符）运算符delete ：当动态分配的存储空间已不再需要时应及时释放所占用的空间。用运算符delete来释放由new分配的空间。例：例：delete y；delete x；分别
16、释放分配给y的空间和分配给一维数组x的空间。（6.4）动态二维数组）动态二维数组 ：创建类型为Type的动态工作数组，这个数组有rows行和cols列。template void Make2DArray(Type* &x,int rows, int cols) x=new Type*rows; for (int i=0;irows;i+) xi=new Typecols;当不再需要一个动态分配的二维数组时，可按以下步骤释放它所占用的空间。首先释放在for循环中为每一行所分配的空间。然后释放为行指针分配的空间。释放空间后将x置为0，以防继续访问已被释放的空间。template void Dele
17、te2DArray(Type* &x,int rows) for (int i=0;irows;i+) delete xi; delete x; x=0;算法分析方法算法分析方法例：顺序搜索算法例：顺序搜索算法templateint seqSearch(Type *a, int n, Type k) for(int i=0;in;i+) if (ai=k) return i; return -1;（1）Tmax(n) = max T(I) | size(I)=n =O(n)（2）Tmin(n) = min T(I) | size(I)=n =O(1)（3）在平均情况下，假设： (a) 搜索成功
18、的概率为p ( 0 p 1 )； (b) 在数组的每个位置i ( 0 i n )搜索成功的概率相同，均为 p/n。算法分析的基本法则算法分析的基本法则非递归算法：非递归算法：（1）for / while 循环循环体内计算时间*循环次数；（2）嵌套循环循环体内计算时间*所有循环次数；（3）顺序语句各语句计算时间相加；（4）if-else语句if语句计算时间和else语句计算时间的较大者。templatevoid insertion_sort(Type *a, int n) Type key; / cost times for (int i = 1; i =0 & ajkey ) / c4 sum
19、 of ti aj+1=aj; / c5 sum of (ti-1) j-; / c6 sum og (ti-1) aj+1=key; / c7 n-1 在最好情况下，ti=1, for 1 i n;在最坏情况下，ti i+1, for 1 i n;对于输入数据ai=n-i,i=0,1,n-1，算法insertion_sort 达到其最坏情形。因此，由此可见，Tmax(n)= (n2)最优算法最优算法问题的计算时间下界为(f(n)，则计算时间复杂性为O(f(n)的算法是最优算法。例如，排序问题的计算时间下界为(nlogn)，计算时间复杂性为O(nlogn)的排序算法是最优算法。堆排序算法是最优算法。递归算法复杂性分析递归算法复杂性分析 int factorial(int n) if (n = 0) return 1; return n*factorial(n-1);
