第八章 模糊模式识别v§8-1、模糊集的基本概念v1965年美国加利福尼亚大学L.A. Zadeh.”教授首次发表“Fuzzy Sets”重要论文，奠定了模糊数学的理论基础，目前“模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学等领域中v模糊性:“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老”v一、模糊集的定义：假设论域E={x}（讨论的区间），模糊集A是由隶属函数μA(x)描述v μA(x)是定义在E上在闭区间{0，1}中取值的一个函数，反映x对模糊集的隶属程度v则μA(x)描述了E中的一个模糊子集A v二、模糊集A 的台：是E中能使μA(x)>0的元素集合v模糊独点集：它的台只含元素x1，而μ(x1)=μ1，则记为：A＝ μ1/x1（独点集）v若A是有限的台(x1,x2,……,xn)而μ(xi)=μiv则A= μ1/x1+ μ2/x2+…… μn/xn= , μi为隶属函数,xi为元素v若A是无限的台则有无限元素v则 v例：在论域E中确定一个模糊子集A，它表示“园块”这一模糊概念如右图）vE=(a,b,c,d,e, f）vμ(a)=1, μ(b)=0.9, μ(c)=0.4, μ(d)=0.2, μ(e)= μ(f)=0abc v三、用α水平集来划分模糊集v设:A为E=（x）中的模糊集v则A={x| μA(x)≥α}称为模糊集A的α水平集， α为阈值在（0，1）间取值（一个模糊集可利用其水平集来划分）vA为有限个台时，水平集为vA为无限个台时，水平集为v例：关于“年青”的模糊集为E={A50, A45, A40 ,A35, A30, A25}vE中模糊集：A=0/ A50+0.1 / A45 + 0.3/ A40 + 0.5/ A35 + 0.9/ A30 +1 / A25 vα =0.1水平集:A=0.1 / A45 + 0.1/ A40 + 0.1/ A35 + 0.1/ A30 +0.1 / A25vα =0.3水平集:A=0.3/ A40 + 0.3/ A35 + 0.3/ A30 +0.3 / A25vα =0.5水平集:A=0.5/ A35 + 0.5/ A30 +0.5 / A25v∴不同的α有不同的模糊集vA0.1 ={A45, A40 ,A35, A30, A25}vA0.3 ={A40 ,A35, A30, A25}vA0.5 ={A35, A30, A25}vA0.9 ={A30, A25} v§8-2、模糊集的简单运算及模糊关系v一、并集、交集、补集v设：A,B为E=（x）上的两个模糊集，则它们的并集A∪B、交集A∩B、及A的补集 仍为模糊集，则它们的隶属函数为：v并集:μA∪ B(x)＝max(μA(x) ,μB(x))v交集: μA∩ B(x)＝min(μA(x) ,μB(x))v补集: =1- μB(x) , μA(x) ,μB(x) 分别为A、B的隶属函数 v例、模糊集 A=0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 1/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 B=0.4 / x1 + 0.8/ x2 + 0/ x3 + 0.6/ x4 +1 / x5v则 =0.7 / x1+ 0.4/ x2 + 0/ x3 + 1/ x4 +0.5 / x5 v =0.6 / x1+ 0.2/ x2 + 1/ x3 + 0.4/ x4 +0/ x5 v =0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 0/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 v =0.4 / x1+ 0.8/ x2 + 1/ x3 + 0.6/ x4 +0.5 / x5 v二、距离的定义：v若A,B为E=（x）上的模糊集，E中有n个元素v则A,B的线性距离为:vA,B的欧氏距离为v我们可以利用模糊集间的距离对模糊集进行分类和聚类。
v三、模糊关系：v设U,V为两个模糊集,则u,v的笛卡儿乘积集记为：U×V={(u,v)|u∈U,v∈V}, (u,v)是 U,V元素间的一种无约束搭配，若把这种搭配加某种限制， U,V间的这种特殊关系叫模糊关系Rv（∴模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，不是无约束的）v隶属度R(u,v)表示u,v具有关系R的程度v例： u为身高， v为体重vu=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位m）vv = (40,50,60,70,80) （单位kg） 40506070801.410.80.2001.50.810.80.201.60.20.810.80.21.700.20.810.81.8000.20.81v模糊矩阵（模糊关系） v模糊关系为：v这样的矩阵（元素介于0，1之间）称为模糊矩阵,即模糊关系 v四、复合矩阵v设：v例： v相乘时取最小，相加时取最大 v五、模糊关系的性质v1、自反性：对E×E中的模糊关系 ， 为 内的元素,若 成立，则 有自反性v2、对称性：若对(x,y)∈E×E都有v则 有对称性。
矩阵对角线元素对称， μij= μji v具有自反性对称性的模糊关系称为相似关系（或类似关系）v3、传递性:若矩阵 中v有:v具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为等价关系 §8-3、模糊识别方法v－、隶属原则识别法v设： A1, A2,…. ,An是E中的n个模糊子集， x0为E中的一个元素，若有隶属函数 μi(xo) =max(μ1(xo), μ2(xo),….. μn(xo)),则则xo∈∈ μiv则则xo∈∈Aiv若有了隶属函数μ (x)，我们把隶属函数作为判别函数使用即可v此法的关键是求隶属函数 v二、择近原则识别法v1、定义：两个模糊子集间的贴近度v设：A，B为E上的两个模糊集则它的贴近度为： v例：E=(a,b,c,d,e,f) v2、设：E上有n个模糊子集 及另一模糊子集 若贴近度三、模糊聚类分析：v基于模糊等价关系的聚类方法v设： 是E上一个模糊关系，若满足：v（a）、自反性：μij＝1v（b）、对称性： μij＝ μjiv（c）、传递性：v则称 是E上一个模糊等价关系。
v定理：若 是E上的一个等价关系则对任意阈值α(0≤ α ≤1)则模糊水平集R α也是E上的一个等价关系vα水平集： R α =[x| μA(x)≥α]v例：利用α水平集可以聚类v设X＝ {x1、x2、x3、x4、 x5 } v可以证明 是一个模糊等价关系v∴ α水平集为：v把x聚为一类vx聚为二类即{x1,x3,x4, x5 } {x2} vx分为三类即{x1, x3} {x2,} {x4, x5 }vx分为四类即{x1, x3} {x2} {x4 } {x5 } vx分为五类即{x1} {x2} {x3 } {x4 } {x5 }v聚类图： α x1 x2 x3 x4 x5 v模糊聚类算法：v㈠设x是要分类的对象全体，建立x上的模糊关系 它满足自反性、对称性，即：μij＝1，μij＝ μji 此模糊关系为相似关系v㈡把相似关系（相似矩阵） 变成等价关系方法为：v取 的乘幂为v（三）选择适当α值，取等价关系R的α水平集，根据水平集确定样本的类别 v例：设X＝{x1,x2,……,x5}五个人的集合x1为父亲，x2为儿子，x3为女儿，x4为叔叔，x5为母亲，x上的模糊关系 表示他们间的相象关系。
v其中μij表示第i个人xi与第j个人xj的面貌相似程度v它满足自反性μii＝1， 、对称性 μij＝ μji，但是不满足传递性v∴是相似关系，利用以上方法改造成等价关系 应分类为： {x1},{x2},{ x3, x5 },{x4 } v应分类为： {x1},{x2,x3, x5 },{x4 }v应分类为： {x1,x2,x3, x5 },{x4 } v聚类图求模糊等价关系的算法v设： 为相似关系， 。