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1、第第4讲平面向量的综合应用讲平面向量的综合应用考点梳理考点梳理平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：向量定理：abab(b0)_.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0_.1向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用x1y2x2y10x1x2
2、y1y20(3)求夹角问题，利用夹角公式求夹角问题，利用夹角公式(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力物理学中的功是一个标量，这是力F与位移与位移s的数量积的数量积即即WFs|F|s|cos (为为F与与s的夹角的夹角)2平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合
3、，由向量平行或垂直等函数、数列、解析几何等知识结合，由向量平行或垂直等条件可以得到关于未知数的关系式，在此基础上，可以求条件可以得到关于未知数的关系式，在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质利用向量数量积的公式和性质3平面向量与其他数学知识的交汇平面向量与其他数学知识的交汇一个转化一个转化解决平面向量与三
4、角函数、解析几何综合问题的前提是利解决平面向量与三角函数、解析几何综合问题的前提是利用平面向量的有关知识将问题转化用平面向量的有关知识将问题转化两条主线两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题用向量的
5、有关性质解题【助学助学微博微博】1(2011江西卷江西卷)已知已知|a|b|2，(a2b)(ab)2， 则则a与与b的夹角为的夹角为_考点自测考点自测解析解析F1F2(1,2lg 2)所以所以W(F1F2)s(1,2lg 2)(2lg 5,1)2lg 52lg 22.答案答案22已知共点力已知共点力F1(lg 2，lg 2)，F2(lg 5，lg 2)作用在物作用在物体体M上，产生位移上，产生位移s(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功，则共点力对物体做的功W为为_解析解析a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)，(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0，m1.答案答案13(2010
6、陕西卷陕西卷)已知向量已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若，若(ab)c，则，则m_.4(2012苏州自主学习调查苏州自主学习调查)设设a，b是两个非零向量，如是两个非零向量，如果果(a3b)(7a5b)，且，且(a4b)(7a2b)，则，则a与与b的夹角为的夹角为_(1)求函数求函数yf(x)的解析式；的解析式；(2)若对任意的若对任意的x1,2，不等式，不等式|aln x|ln(f(x)0恒成恒成立，求实数立，求实数a的取值范围的取值范围考向一考向一向量与函数的交汇向量与函数的交汇方法总结方法总结 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的应用向量运算将问题转化为与代数函数有
7、关的问题，其中转化是关键问题，其中转化是关键(1)若若ab，求，求m的值；的值；(2)若若ab，求，求m的值；的值；(3)当当m1时，若时，若xy，求，求k的最小值的最小值解解(1)因为因为ab，所以，所以1m2(2)0，m4.(2)因为因为ab，所以，所以ab0，所以，所以1(2)2m0，所以，所以m1.【例例2】 (2012南京二模南京二模)在在ABC中，角中，角A，B，C的对边的对边分别为分别为a，b，c.已知向量已知向量m(b，a2c)，n(cos A2cos C，cos B)，且，且mn.考向二考向二向量与三角函数的交汇向量与三角函数的交汇方法总结方法总结 向量与三角的交汇是高考最常
8、见的题型之一，向量与三角的交汇是高考最常见的题型之一，考题主要以向量为载体，其中利用向量运算进行转化，化考题主要以向量为载体，其中利用向量运算进行转化，化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法和基本方法(1)解解若若ac，则，则ac0.cos xsin sin xcos 0，即，即sin(x)0.所以所以cos(2x2)12sin2(x)1.考向三考向三向量与解析几何的交汇向量与解析几何的交汇方法总结方法总结 平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以
9、及轨迹、直线和圆、量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法坐标坐标法法1平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的向量背景下，一旦脱去向量的“外衣外衣”，实质变成纯三角，实质变成纯三角函数的问题函数的问题2平面向量与解析几何的综合题，主要涉及中点问题，垂平面向量与解析几何的综合题，主要涉及中点问题，垂直问题，共线问题，这些
10、问题通常以向量形式给出因直问题，共线问题，这些问题通常以向量形式给出因此，解题时要善于进行数学语言的转化，弄清问题的实此，解题时要善于进行数学语言的转化，弄清问题的实质质3要熟知解决平面向量及其综合交汇问题的基本方法，如要熟知解决平面向量及其综合交汇问题的基本方法，如构造向量法、坐标法等最后要增强解题能力，不断提构造向量法、坐标法等最后要增强解题能力，不断提升自己解决综合交汇问题的能力升自己解决综合交汇问题的能力规范解答规范解答9怎样求解向量的综合性问题怎样求解向量的综合性问题审题路线图审题路线图 应用向量的数量积，将向量问题转化为三应用向量的数量积，将向量问题转化为三角函数与解三角形中的有关问题在转化过程中，要特别角函数与解三角形中的有关问题在转化过程中，要特别注意向量的夹角是三角形中的内角或外角注意向量的夹角是三角形中的内角或外角模板构建模板构建向量与三角函数交汇的解题步骤：向量与三角函数交汇的解题步骤：第一步：根据题干所给的向量信息将问题转化为三角函数第一步：根据题干所给的向量信息将问题转化为三角函数问题问题第二步：利用三角函数、三角恒等变换或解三角形等知识第二步：利用三角函数、三角恒等变换或解三角形等知识解决相应的三角问题解决相应的三角问题高考经典题组训练高考经典题组训练答案答案10答案答案11答案答案2,5
