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1、一元函数连续性概念（复习）一元函数连续性概念（复习）3 二元函数的连续性二元函数的连续性问题问题:1. 一元函数一元函数在点在点连续的三个条件连续的三个条件.2. 一元函数的间断分类一元函数的间断分类.设设y=f(x)在在x0邻域有定义。邻域有定义。 若若则称则称f(x)在在x0连续，连续，否则称否则称f(x)在在x0间断。间断。令令则则若若f(x)在区间在区间 I 的每一点连续，则称的每一点连续，则称f(x)在区间在区间 I 连续。其图象为一条连续的连续。其图象为一条连续的曲线曲线.间断分类间断分类第一类间断点第一类间断点可去间断点：可去间断点：跳跃间断点：跳跃间断点：存在存在,但与但与f(
2、x0)不等。不等。f(x)在在x0的左右极限存在，但不相等。的左右极限存在，但不相等。第二类间断点：第二类间断点：f(x)在在x0的左、右极限至少有一个不存在。的左、右极限至少有一个不存在。一、二元函数的连续性一、二元函数的连续性问题问题:3. 二元函数二元函数在点在点连续定义中连续定义中,对对有何要求有何要求?是否要求其为是否要求其为D的聚点的聚点?4. 能否将二元函数能否将二元函数在点在点连续定义表为连续定义表为:设设D为平面点集，为平面点集， f(P)为定义在为定义在D上的二元函数上的二元函数,P0D.若若则称则称f(P)关于集合关于集合D在点在点P0连续。连续。 5. 命题判断命题判断
3、: 若若为二元函数为二元函数的孤立点的孤立点,则则在点在点连续连续.6. 连续二元函数的图象连续二元函数的图象,是否一定是连续的曲面是否一定是连续的曲面? 1、定义、定义 设设D为平面点集，为平面点集， f(P)为定义在为定义在D上的二元函数上的二元函数,若对于任给的若对于任给的0, 相应存在相应存在 0, 只要只要 PU(P0;)D, 就有就有 |f(P)f(P0)|0, 使使 U0(P0;)D=故对于任给的故对于任给的0, 取上述取上述0 ， 只要只要 PU(P0;)D,就有就有|f(P)f(P0)|0),则存在则存在U(P0), 当当PU(P0)时，时，f(P)0.四则运算法则：四则运算
4、法则：若若f(P), g(P)都在都在P0连续，则连续，则在在P0连续连续, 其中其中c为常数；为常数；当当时时,在在P0连续连续.定理（复合函数的连续性）定理（复合函数的连续性）若若1)和和在在P0(x0,y0)的邻域内有定义，并在的邻域内有定义，并在 P0连续；连续； 2) 在在uv平面的平面的Q0(u0,v0)的邻域内有定义，并在的邻域内有定义，并在Q0连续；连续；3)则，复合函数则，复合函数在在P0(x0,y0)连续。连续。证明分析证明分析:估计估计因因 f(u,v) 在在 (u0,v0)连续，连续，所以当所以当很小时很小时,很小很小.又又和和在在P0(x0,y0)连续连续,所以当所以
5、当很小时很小时,能使能使很小很小.定理（复合函数的连续性）定理（复合函数的连续性）若若1)和和在在P0(x0,y0)的邻域内有定义，并在的邻域内有定义，并在 P0连续；连续； 2) 在在uv平面的平面的Q0(u0,v0)的邻域内有定义，并在的邻域内有定义，并在Q0连续；连续；3)则，复合函数则，复合函数在在P0(x0,y0)连续。连续。证：证：f(u,v)在在(u0,v0)连续：连续：又又和和在点在点P0连续，连续， 对上述对上述有有故当故当有有故故 g(x,y) 在在 (x0,y0) 连续。连续。初等函数在其定义上连续。初等函数在其定义上连续。对于初等函数，在有定义处极限运算就是函数值的计算
6、。对于初等函数，在有定义处极限运算就是函数值的计算。关于极限的计算，侧重在无定义处或分段函数分段点处的极限。关于极限的计算，侧重在无定义处或分段函数分段点处的极限。 3、连续定义的增量形式、连续定义的增量形式 设设f(x,y)在在P0(x0,y0)的邻域有定义。的邻域有定义。 记记称为称为f(x,y)在在P0的全增量的全增量.称为称为f(x,y)在在P0关于关于x的偏增量的偏增量.称为称为f(x,y)在在P0关于关于y的偏增量的偏增量.f(x,y)在在(x0,y0)连续连续 3、连续定义的增量形式、连续定义的增量形式 设设f(x,y)在在P0(x0,y0)的邻域有定义。的邻域有定义。 记记称为
7、称为f(x,y)在在P0的全增量的全增量.称为称为f(x,y)在在P0关于关于x的偏增量的偏增量.称为称为f(x,y)在在P0关于关于y的偏增量的偏增量.f(x,y)在在(x0,y0)连续连续命题命题 若若 f(x,y) 在在(x0,y0)连续，则连续，则f(x,y0)在在 x0连续，连续，f(x0,y)在在y0连续。连续。反之不然反之不然!命题命题 若若 f(x,y) 在在(x0,y0)连续，则连续，则f(x,y0)在在 x0连续，连续，f(x0,y)在在y0连续。连续。反之不然反之不然!例例5设设一元函数一元函数:在在x=0连续连续.一元函数一元函数:在在y=0连续连续.但但f(x,y)在
8、在(0,0)不连续不连续.问题问题:13. 闭区间上闭区间上(一元一元)连续函数的性质连续函数的性质?14. 你能否相应写出闭区域上二元连续函数性质你能否相应写出闭区域上二元连续函数性质?二、有界闭域上连续函数性质二、有界闭域上连续函数性质15. 小结闭区域上二元连续函数必有界的证明思路小结闭区域上二元连续函数必有界的证明思路.16. 小结闭区域上二元连续函数必必取到最大小结闭区域上二元连续函数必必取到最大(小小)的证明思路的证明思路.一元函数情形：一元函数情形：若若f(x)在在I= a, b 上连续，则上连续，则1）f(x)在在 I 上有界，且取到最大值和最小值；上有界，且取到最大值和最小值
9、；2）f(x)在在 I 上一致连续；上一致连续；3）对于介于）对于介于minf(I)与与maxf(I)之间的之间的Q, 在在a,b中存在一点中存在一点c, 使使 f(c)=Q.设二元函数设二元函数f(P)在区域在区域D连续。连续。3. 介值定理介值定理则对满足则对满足定理定理若若P1，P2为为D中两点，中两点，必在必在D中存在上点中存在上点P0，使，使且且f(P1) f(P2 ),f(P1) 0，就有就有只要只要(P,Q),| f(P)f(Q) | 0,定理定理若二元函数若二元函数f(x,y)在有界闭域在有界闭域D上连续，则上连续，则f(x,y)在在D上有界，上有界，且能取得最大值和最小值。且
10、能取得最大值和最小值。证证: 有界性（反证法）有界性（反证法）设设f(P)在在D无界无界对任意自然数对任意自然数n，在，在D中有中有Pn,使使 | f(Pn)| n.在在D中构造出点列中构造出点列Pn(有界，有无穷个不同的项）有界，有无穷个不同的项）.由聚点定理的推论，由聚点定理的推论，Pn有收敛的子列有收敛的子列.不妨设不妨设Pn就是收敛的点列就是收敛的点列因因D为闭域，故为闭域，故P0在在D中中.而而f(P)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，则上连续，则f(P)在在P0连续。连续。进而有进而有与与矛盾！矛盾！矛盾！矛盾！定理定理若二元函数若二元函数f(x,y)在有界闭域在有界闭域D上连续，
11、则上连续，则f(x,y)在在D上有界，上有界，且能取得最大值和最小值。且能取得最大值和最小值。证证:(取得最大值、最小值取得最大值、最小值)设设f(P)在在D有界有界.可设可设M=supf(D).若若D中的任意中的任意Q，都有，都有Mf(Q)0作函数作函数F(P)在在D连续，进而连续，进而F(P)在在D有界有界而因而因M=supf(D), 在在D中，可使中，可使Mf(P)任意小任意小故故F(P)在在D无界无界矛盾！矛盾！与与矛盾！矛盾！则对则对D中的任意中的任意Q，有，有Mf(Q)0定理定理16.9 若若f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，则上连续，则f(x,y)在在D上一致连续。上
12、一致连续。对于对于D中任意的中任意的P、Q，即对任意即对任意0，就有就有只要只要(P,Q),| f(P)f(Q) | 0,证证:（反证法）（反证法）设设f(P)在在D有不一致收敛有不一致收敛.对某个对某个00, 及任意的自然数及任意的自然数n, 相应总有相应总有D中的中的Pn和和Qn.尽管尽管(Pn,Qn)1/n , 但但 | f(Pn) f(Qn)| 0因因Pn在在D中，故有界（因中，故有界（因D为有界闭域）为有界闭域）进而进而Pn有收敛的子列，不妨设有收敛的子列，不妨设Pn为收敛的子列为收敛的子列再由再由f(P)在在P0连续，得连续，得设设与与矛盾！矛盾！则由则由(Pn,Qn)1/n , 得得（因（因D为闭域，故为闭域，故P0在在D中）中）矛盾！矛盾！
