《高中数学第三章直线与方程331两条直线的交点坐标332两点间的距离课件新人教A版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章直线与方程331两条直线的交点坐标332两点间的距离课件新人教A版必修2（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离1.1.两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标已知两条直线已知两条直线l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,=0,l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0,=0,将方程将方程联立联立, ,得方程组得方程组 若方程组若方程组有唯一解有唯一解, ,则两条直线相交则两条直线相交, ,此解就是交点的坐标此解就是交点的坐标. .若方程组若方程组无解无解, ,则两条直线无公共点则两条直线无公共点, ,此时两条直线平此时两条直线平行行. .【思考思考】对于对于l1 1:A:A1 1x
2、+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,=0,l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0,=0,若方程组若方程组 有无数组解有无数组解, ,那么直线那么直线l1 1, ,l2 2是什么位置关系是什么位置关系? ?提示提示: :方程方程组有无数有无数组解解, ,直直线l1 1, ,l2 2有无数个公共点有无数个公共点, ,直直线l1 1, ,l2 2重合重合. .2.2.两点间的距离公式两点间的距离公式两点两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )间的距离公式间的距离公式|P|P1 1P P2 2|=|= , ,特别地特别
3、地, ,原点原点O(0,0)O(0,0)与任一点与任一点P(x,y)P(x,y)的距离的距离|OP|= .|OP|= .【思考思考】两点两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )间的距离公式能否表示为间的距离公式能否表示为|P|P1 1P P2 2|= ?|= ?提示提示: :能能, ,因因为 = .= .【素养小测素养小测】 1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)若若A+B+C=0(A,BA+B+C=0(A,B不同时为不同时为0),0),则直线则直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0一
4、定一定过点过点(1,1).(1,1).( () )(2)(2)已知点已知点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),若若x x1 1xx2 2,y,y1 1=y=y2 2, ,则则|P|P1 1P P2 2|=|x|=|x2 2-x-x1 1|.|.( () )(3)(3)若直线若直线l1 1, ,l2 2的方程组成的方程组有解的方程组成的方程组有解, ,则则l1 1与与l2 2一定一定相交相交. .( () )提示提示:(1).由由A+B+C=0,即即A1+B1+C=0,所以直所以直线Ax+By+C=0一定一定过点点(1,1).(2).|P
5、1P2|= =|x2-x1|.(3).因因为直直线l1与与l2有可能重合有可能重合.2.(20192.(2019张家界高一检测张家界高一检测) )直线直线l1 1:x-y=0:x-y=0与与l2 2:x+y-2=0:x+y-2=0的交点坐标为的交点坐标为( () )A.(-2,-2) B.(-1,-1)A.(-2,-2) B.(-1,-1)C.(2,2)C.(2,2) D.(1,1) D.(1,1)【解析解析】选D.D.联立立 所以直所以直线l1 1与与l2 2的交点坐的交点坐标为(1,1).(1,1).3.3.点点A(1,2)A(1,2)与点与点B(2,3)B(2,3)之间的距离之间的距离|
6、AB|=_.|AB|=_.【解析解析】点点A(1,2)与点与点B(2,3)之之间的距离的距离|AB|= 答案答案: 类型一求两条直线的交点坐标类型一求两条直线的交点坐标【典例典例】1.1.若直线若直线x+by+9=0x+by+9=0经过直线经过直线5x-6y-17=05x-6y-17=0与直与直线线4x+3y+2=04x+3y+2=0的交点的交点, ,则则b b等于等于 ( () )A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.52.2.直线直线2x+3y-k=02x+3y-k=0和直线和直线x-ky+12=0x-ky+12=0的交点在的交点在x x轴上轴上, ,则则k k的值为的值为( ()
7、 )A.-24A.-24 B.24 B.24 C.6 C.6 D.6 D.6【思思维引引】1.由已知两直由已知两直线解出交点解出交点,代入未知直代入未知直线求求b;2.用用k表示出交点坐表示出交点坐标,令令纵坐坐标为0求求k.【解析解析】1.1.选D.D.联立立 所以直所以直线5x-6y-5x-6y-17=017=0与直与直线4x+3y+2=04x+3y+2=0的交点的交点为(1,-2),(1,-2),因因为直直线x+by+9=0x+by+9=0经过点点(1,-2),(1,-2),所以所以1-2b+9=0,1-2b+9=0,解得解得b=5.b=5.2.选A.联立立因因为直直线2x+3y-k=0
8、和直和直线x-ky+12=0的交点在的交点在x轴上上,所以所以y= =0,解得解得k=-24.【内化内化悟悟】求两直线交点的步骤是什么求两直线交点的步骤是什么? ?提示提示: :联立、消元、求解立、消元、求解. .【类题类题通通】解二元一次方程组的常用方法解二元一次方程组的常用方法解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法元法. .(1)(1)若一条直线的方程是斜截式若一条直线的方程是斜截式, ,常常应用代入消元法常常应用代入消元法解方程组解方程组. .(2)(2)若直线的方程都是一般式若直线的方程都是一般式, ,常常应用加减消元法解常常应
9、用加减消元法解方程组方程组. .【习练习练破破】直线直线l1 1:3x-y+12=0:3x-y+12=0和和l2 2:3x+2y-6=0:3x+2y-6=0及及y y轴所围成的三角形轴所围成的三角形的面积为的面积为_._.【解析解析】易知三角形的三个易知三角形的三个顶点坐点坐标分分别为(-2,6), (-2,6), (0,12),(0,3),(0,12),(0,3),故所求三角形的面故所求三角形的面积为 92=9.92=9.答案答案: :9 9类型二过定点的直线问题类型二过定点的直线问题【典例典例】1.(20191.(2019衢州高一检测衢州高一检测) )直线直线mx-3y+2m+3=0,mx
10、-3y+2m+3=0,当当m m变动时变动时, ,所有直线都经过的定点坐标为所有直线都经过的定点坐标为( () )A.(-2,1)A.(-2,1)B.(1,2)B.(1,2)C.(1,-2)C.(1,-2)D.(2,1)D.(2,1)2.2.经过两条直线经过两条直线2x-3y+10=02x-3y+10=0和和3x+4y-2=03x+4y-2=0的交点的交点, ,且垂且垂直于直线直于直线3x-2y+4=03x-2y+4=0的直线方程为的直线方程为_._.【思思维引引】1.将将m作作为参数参数,把方程把方程变形形,令令m的系数的系数为零求定点零求定点.2.方法一方法一:求出交点、斜率求出交点、斜率
11、,写出点斜式方程后化写出点斜式方程后化为一般一般式式;方法二方法二:利用两相交直利用两相交直线的方程的方程设出所求的直出所求的直线方程方程,根据垂直求其中的参数根据垂直求其中的参数.【解析解析】1.1.选A.A.直直线mx-3y+2m+3=0,mx-3y+2m+3=0,即直即直线m(x+2)-m(x+2)-3y+3=0,3y+3=0,令令 故直故直线mx-3y+2m+mx-3y+2m+3=03=0经过定点定点(-2,1).(-2,1).2.方法一方法一:由由垂直于直垂直于直线3x-2y+4=0的直的直线的斜率的斜率为- ,故所求的直故所求的直线方程方程为y-2=- (x+2),即即2x+3y-
12、2=0.方法二方法二:设所求方程所求方程为2x-3y+10+(3x+4y-2)=0,即即(2+3)x+(4-3)y+10-2=0,由由题意意,3(2+3)-2(4-3)=0,解得解得=-12,故所求的直故所求的直线方程方程为2x+3y-2=0.答案答案:2x+3y-2=0【内化内化悟悟】怎样求含参数的直线所过的定点怎样求含参数的直线所过的定点? ?提示提示: :方程方程变形形为关于字母参数的方程关于字母参数的方程, ,令其令其“系数系数”、“常数常数”为零零, ,解出定点解出定点. .【类题类题通通】1.1.过两条直线交点的直线方程的求法过两条直线交点的直线方程的求法(1)(1)常规解法常规解
13、法( (方程组法方程组法):):一般是先解方程组求出交点一般是先解方程组求出交点坐标坐标, ,再结合其他条件写出直线方程再结合其他条件写出直线方程. .(2)(2)特殊解法特殊解法( (直线系法直线系法):):先设出过两直线交点的直线先设出过两直线交点的直线方程方程, ,再结合条件利用待定系数法求出参数再结合条件利用待定系数法求出参数, ,最后确定最后确定直线方程直线方程. . 2.2.含有参数的直线恒过定点的问题含有参数的直线恒过定点的问题(1)(1)方法一方法一: :任给直线中的参数赋两个不同的值任给直线中的参数赋两个不同的值, ,得到两得到两条不同的直线条不同的直线, ,然后验证这两条直
14、线的交点就是题目中然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点含参数直线所过的定点, ,从而问题得解从而问题得解. .(2)(2)方法二方法二: :若能整理为若能整理为A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0,)=0,其中其中是参数是参数, ,这就说明了它表示的直线必过定点这就说明了它表示的直线必过定点, ,其其定点可由方程组定点可由方程组 解得解得. .若整理成若整理成y-y-y y0 0=k(x-x=k(x-x0 0) )的形式的形式, ,则表示的直线必过定点则表示的直线必过定点(x(x0 0,y,y0 0).)
15、.【习练习练破破】1.(20191.(2019东阳高一检测东阳高一检测) )方程方程(a-1)x-y+2a+1=0(a-1)x-y+2a+1=0所表示所表示的直线恒过点的直线恒过点( () )A.(2,3)A.(2,3)B.(-2,-3)B.(-2,-3) C.(3,-2)C.(3,-2) D.(-2,3) D.(-2,3)【解析解析】选D.D.方程方程(a-1)x-y+2a+1=0,(a-1)x-y+2a+1=0,化化为:a(x+2)-x-:a(x+2)-x-y+1=0,y+1=0,令令 解得解得x=-2,y=3,x=-2,y=3,所表示的直所表示的直线恒恒过点点(-2,3).(-2,3).
16、2.2.直线直线l过直线过直线x+y-2=0x+y-2=0和直线和直线x-y+4=0x-y+4=0的交点的交点, ,且与直且与直线线3x-2y+4=03x-2y+4=0平行平行, ,求直线求直线l的方程的方程. . 【解析解析】方法一方法一: :联立方程立方程 即直即直线l过点点(-1,3).(-1,3).因因为直直线l的斜率的斜率为 , ,所以直所以直线l的方程的方程为y-3= (x+1),y-3= (x+1),即即3x-2y+9=0.3x-2y+9=0.方法二方法二:设直直线l的方程的方程为x-y+4+(x+y-2)=0,整理得整理得(1+)x+(-1)y+4-2=0,因因为直直线l与直与
17、直线3x-2y+4=0平行平行,所以所以解得解得= ,所以所以直直线l的方程的方程为即即3x-2y+9=0.【加练加练固固】直线直线kx-y+1-3k=0,kx-y+1-3k=0,当当k k变化时变化时, ,所有直线都通过定所有直线都通过定点点 ( () )A.(0,0)A.(0,0) B.(0,1)B.(0,1)C.(3,1) D.(2,1)C.(3,1) D.(2,1)【解析解析】选C.C.直直线方程整理方程整理为k(x-3)-(y-1)=0,k(x-3)-(y-1)=0,过定点定点(3,1).(3,1).类型三平面内两点间距离公式的应用类型三平面内两点间距离公式的应用角度角度1 1两点间
18、距离的计算两点间距离的计算【典例典例】(2019(2019深圳高一检测深圳高一检测) )两直线两直线l1 1:3ax-y-2=0:3ax-y-2=0和和l2 2:(2a-1)x+5ay-1=0:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点分别过定点A,B,A,B,则则|AB|AB|等于等于 ( () )【思思维引引】先求出定点先求出定点A,B的坐的坐标,再利用距离公式再利用距离公式进行行计算算.【解析解析】选C.C.直直线3ax-y-2=03ax-y-2=0经过定点定点A(0,-2),(2a-A(0,-2),(2a-1)x+5ay-1=0,1)x+5ay-1=0,化化为:a(2x+5y)-x-1=
19、0,:a(2x+5y)-x-1=0,令令 解得解得x=-1,y= ,x=-1,y= ,即直即直线(2a-1)x+5ay-1=0(2a-1)x+5ay-1=0过定点定点B B 则|AB|= |AB|= 【素养素养探探】在距离公式的应用过程中在距离公式的应用过程中, ,常常用到核心素养中的数学常常用到核心素养中的数学运算运算, ,通过距离的计算及公式的灵活应用解题通过距离的计算及公式的灵活应用解题. .本例中本例中, ,将条件中直线将条件中直线l2 2的方程换为的方程换为(m-1)x+(2m-1)y=m-(m-1)x+(2m-1)y=m-5,5,试求两定点之间的距离试求两定点之间的距离. .【解析
20、解析】由例由例题解析可知解析可知A(0,-2),A(0,-2),将将(m-1)x+(2m-(m-1)x+(2m-1)y=m-51)y=m-5化化为:m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,:m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,令令 解得解得 所以所以B B点坐点坐标为(9,-4),(9,-4),所以所以|AB|=|AB|=角度角度2 2距离公式在几何证明中的应用距离公式在几何证明中的应用【典例典例】在在ABCABC中中,AD,AD是是BCBC边上的中线边上的中线, ,求证求证: : |AB|AB|2 2+|AC|+|AC|2 2=2(|AD|=2(|AD|2 2+|DC|+|DC|2 2)
21、.).【思思维引引】建立平面直角坐建立平面直角坐标系系,通通过计算算AB,AC,AD,DC进行行证明明.【证明明】设BC所在所在边为x轴,以以D为原点原点,建立坐建立坐标系系,如如图所示所示,设A(b,c),C(a,0),则B(-a,0),因因为|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AD|2= b2+c2,|DC|2=a2,所以所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2), |AD|2+|DC|2=b2+c2+a2,所以所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+ |DC|2).【类题类题通通】用坐标法用坐标法( (解析法解析法) )解决几何问题的基本步骤解决
22、几何问题的基本步骤第一步第一步: :建立适当的直角坐标系建立适当的直角坐标系, ,用坐标表示有关的量用坐标表示有关的量; ;第二步第二步: :进行有关的代数计算进行有关的代数计算; ;在分析三角形的形状时在分析三角形的形状时, ,要从两方面考虑要从两方面考虑: :一是要考虑一是要考虑角的特征角的特征, ,主要考查是否为直角主要考查是否为直角; ;二是要考虑三角形边二是要考虑三角形边的长度特征的长度特征, ,主要考查边是否相等或是否满足勾股定理主要考查边是否相等或是否满足勾股定理. .第三步第三步: :把代数运算结果把代数运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系. .提醒提醒: :建系时让图形中
23、尽可能多的点落在坐标轴上建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上, ,这这样便于运算样便于运算. .【习练习练破破】已知已知: :在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中,ABDC,ABDC,对角线为对角线为ACAC和和BD.BD.求求证证:|AC|=|BD|.:|AC|=|BD|.证明明:如如图所示所示,建立直角坐建立直角坐标系系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点点D的坐的坐标是是(a-b,c)所以所以|AC|= |BD|= 故故|AC|=|BD|.【加练加练固固】ABDABD和和BCEBCE是在直线是在直线ACAC同侧的两个等边三角形同侧的两个等边三角形, ,用坐用坐标法证明标法证明|AE|=|CD|.|AE|=|CD|.【解解题指南指南】以以B B为坐坐标原点原点, ,直直线ACAC为x x轴建系建系, ,表示表示出点出点A,C,D,EA,C,D,E的坐的坐标, ,用两点用两点间距离公式距离公式计算算|AE|AE|和和|CD|CD|进行行证明明. .【证明明】如如图,以以B为坐坐标原点原点,直直线AC为x轴,建立直角建立直角坐坐标系系,设ABD和和BCE的的边长分分别为a,c,则A(-a,0),C(c,0),则|AE|= |CD|= 所以所以|AE|=|CD|.
