第2章 单自由度振动系统强迫振动的解析法 2.6.2有阻尼duffing方程的受迫振动 由平均法 相轨线方程： 整理得： 幅频和相频特性关系 2.8多尺度法引入表示不同尺度的时间变量 x代入动力学方程，比较同次幂系数，就得到各阶近似的线性微分方程组在依次求解过程中，利用消除久期项的附加条件和出示条件，导出各阶近似解得确定表达式 考虑duffing系统接近共振的受迫振动，动力学方程为 代入原方程，化为 只讨论一次近似解，令 将式代入式，展开后令两边的同次幂系数相等，得到各阶近似方程：将零次近似方程的解写为复数形式： 代入一次近似方程的右边，得到 消除久期项 解得将指数形式的复函数代入方程，将实数与虚部分开 其中： ， 2.8.3主共振响应 设Duffing方程由多尺度法，设解 零阶解为： 消除长期项条件： 令 两边平方相加得频响方程 解出调谐参数 其中， 2.8.4非共振响应非共振响应 设其解的形式为如下形式： 解为： 其方程的特解：零阶方程： 代入一阶方程，得 消除长期项条件： 化为 从而积分式可得一次近似解： 2.8.5超谐波共振 只讨论近一次似解 幂系数相等，得到各阶近似方程： 零次近似方程的解为 零次近似解代入一次近似方程，整理后得到 将上式代入方程右边的，令右边含项的系数为零以消除久期项，得到 将实部与虚部分开后 从上式解出 由于曲线弯曲引起的多值性，超谐由于曲线弯曲引起的多值性，超谐波共振也存在与主共振类似的跳跃波共振也存在与主共振类似的跳跃现象。
现象 2.8.6亚谐波共振 其中 解出 2.8.7组合共振设非线性系统受到两个不同频率的周期干扰力作用， 系统响应可能发生的共振响应称为组合共振，其方程为： 设解为 则有 令方程的解为 在双频激励下，除存在单频激励中出现过的各种共振外，还会出现组合共振，如 对于多频激励，还可能同时存在两个以上的共振条件，即同时存在超谐共振和亚谐共振或同时存在超谐共振和组合共振等称之为联合共振。