三两向量的混和积

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1、三、两向量的混和积三、两向量的混和积1.定义定义2 称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量, , ( ) 即的混合积，记作 设有三个向量, , ,则有设向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz), = (bx , by , bz),2.混合积的坐标表示式混合积的坐标表示式ijk ,cxcycz,ijk 混合积性质：混合积性质：(1) = = = = = 事实上，若 , , 在同一个平面上，则 垂直于它们所在的平面，故 垂直于 , 即( ) = 0(2) , , 共面 = 0 混合积( ) 的绝对值等于以 , , 为棱的平行六面体的体积 V 的数值。h平行六面

2、体所以，= |( ) | 3、混合积、混合积 ( ) 的几何意义的几何意义hV = S h = 底面积高 h 为 在 上的投影的绝对值a b = |a| Prjab例例5:已知空间内不在一个平面上的四点 A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2), C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4) 求四面体 ABCD 的体积。解：解： 四面体 ABCD 的体积等于以 AB, AC 和 AD 为棱的平行六面体体积的六分之一，AB = (x2 x1, y2 y1, z2 z1),AC = (x3 x1, y3 y1, z3 z

3、1),AD = (x4 x1, y4 y1, z4 z1),即即所以，V = 其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。33平面及其方程平面及其方程(一一) 平面的点法式方程平面的点法式方程1. 法向量:若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n为平面 的法向量.注: 1 对平面, 法向量n不唯一;2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.一、平面方程一、平面方程2. 平面的点法式方程平面的点法式方程设平面 过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=(A,B, C).对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直. yxzM0MnOn M0 M = 0而M0 M =(x x

4、0, y y0, z z0),得:A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0称方程(1) 为平面的点法式方程.(1)例例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = (1, 2, 3)为法向量的平面的方程.解解:根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为:1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即即: x 2y + 3z 8 = 0 nM3M2M1解解: 先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2, M1M3都垂直.而M1M2=(3, 4, 6) M1M3=(2, 3, 1)可取n = M1M2 M1M3= 14i + 9j k例例2: 求过三点M1

5、(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.所以, 所求平面的方程为:14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0即: 14x + 9y z 15 = 0 M1M3M1M2，共面M1M，即(二二) 平面的三点式方程平面的三点式方程设平面 过 不共线的三点M2 ( x 2 , y 2 , z 2),M3 (x 3 , y 3 , z 3),M1 (x 1 , y 1 , z 1),对于平面上任一点 M (x , y , z),平面的三点式方程.(2)设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0,

6、 0, c)三点oyPxzQR(三三) 平面的截距式方程平面的截距式方程则有得当非零时(3)(四四)平面的一般方程平面的一般方程1、定理、定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = (A, B, C )证证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为它表示过定点 , 且 法向量为 n = (A, B, C ) 的平面.注：注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (4)称为平面的一般方程.例例3:已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其

7、方程.解解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =(2 3, 4)2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0即即: 2x 3y + 4z 4 = 02. 平面方程的几种特殊情形平面方程的几种特殊情形(1) 过原点的平面方程由于O (0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:A x + B y + C z = 0Ax +By +Cz +D = 0(2) 平行于坐标轴的平面方程考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n =(A, B, C)与x 轴上的单位向量 i =(1, 0, 0)垂直, 所以n i = A 1 +

8、 B 0 + C 0 = A = 0于是:平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.特别: D = 0时, 平面过坐标轴.(3) 平行于坐标面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.(即z = k)(即y = k)(即x = k)例例4: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.解解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0

9、.设所求平面的方程是 By + Cz = 0又点(4, 3, 1)在平面上, 所以3B C = 0 C = 3B所求平面方程为 By 3Bz = 0即即: y 3z = 0 1n1n22若已知两平面方程是:1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0法向量 n1 = (A1, B1, C1)2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0法向量 n2 = (A2, B2, C2)1.定义定义1 两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.二、两平面的夹角二、两平面的夹角所以1n1n22平面1与2 相互平行规定规定: 若比例式中某个分母为0, 则相应的分子也为0.平面1与

10、2 相互垂直A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0特别特别:例例5:5: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.解解: : 设所求平面的一个法向量 n = ( A, B, C )已知平面 x+ y+ z = 0的法向量 n1=( 1, 1, 1) 所以: n M1M2 且n n1 而M1M2 = ( 1, 0, 2)于是:A ( 1) + B 0 + C (2) = 0 A 1 + B 1 + C 1 = 0解得: B=CA= 2C取C = 1, 得平面的一个法向量n = (2, 1, 1)所以, 所求平面方程是2

11、 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0即: 2x y z = 0M1(1, 1, 1) , M2(0, 1, 1) 设 P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求 P0到这平面的距离d.在平面上任取一点P1(x1, y1, z1)P0P1Nn则 P1P0 =(x0 x1, y0 y1, z0 z1)过P0点作一法向量 n =(A, B, C)于是:三、点到平面的距离三、点到平面的距离又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1) = Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D) = Ax0+By0+Cz0+D所以, 得点P0

12、到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:(5)例例6:6:求点A (1, 2, 1)到平面:x + 2y +2z 10=0的距离(一一)空间直线的一般方程空间直线的一般方程已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 02: A2x + B2y + C2z + D2 = 0那末, 交线L上的任何点的坐标满足:A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0不在交线L上的点不满足方程组(1)(1)称方程组(1)空间直线的一般方程.xyzO12L44空间直线空间直线及其方程及其方程一一. 空间直线的方程空间直线的方程空间直线可看成是两个不

13、平行平面与的交线12( (二二二二) ) 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程而s 的坐标 m, n, p 称为直线L的一组方向数.sL1.定义定义1 与空间直线L平行的向量 s = (m, n, p), 称为该直线的方向向量.2. 直线的对称式方程直线的对称式方程已知直线L过M0(x0, y0, z0)点方向向量 s =(m, n, p)在L上任取一点M(x, y, z), 有M0 M/s.而M0 M=(xx0, yy0, zz0)所以得比例式(2)称为空间直线的对称式方程或点向式方程.sM0LM得:x = x0 + m ty = y0 + n t

14、z = z0 + p t称为空间直线的参数方程.(3)(三三) 空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程例例1: 写出直线x + y + z +1 = 02x y + 3z + 4 = 0的对称式方程.解解: (1) 先找出直线上的一点 M0(x0, y0, z0)令 z0 = 0, 代入方程组, 得x + y +1 = 02x y + 4 = 0解得: 所以, 点在直线上.(2) 再找直线的方向向量 s .由于平面1: x + y + z +1 = 0的法线向量 n1=(1, 1, 1)平面2: 2x y+3z+4 = 0的法线向量 n2=(2,1, 3)所以, 可取= 4i j 3k于是,

15、 得直线的对称式方程:例例2: 求通过点 A(2, 3, 4)与 B(4, 1, 3)的直线方程.所以, 直线的对称式方程为解解: 直线的方向向量可取 AB = (2, 2, 1)s1s2已知直线L1, L2的方程s1 =(m1, n1, p1)s2 =(m2, n2, p2)定义定义2两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角, 常指锐角.二二. 两直线的夹角两直线的夹角1. L1与 L2的夹角 的余弦为:2. L1垂直于 L2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 03. L1平行于L2 解解: 直线L1, L2的方向向量 s1=(1, 4, 1 )s2=(2, 2, 1)有:所以

16、:例例3:当直线与平面垂直时, 规定夹角已知: 直线的方向向量 s =( m, n, p )平面的法向量 n =( A, B, C )那末, LLns称为L与平面 的夹角.定义定义3直线L与它在平面上投影直线L的夹角,三三. 直线与平面的夹直线与平面的夹角角(1) L与 的夹角 的正弦为: sin即: Am + Bn + Cp = 0(2) L与 垂直s / n(3) L与 平行s与n垂直例例4. 判定下列各组直线与平面的关系.解解: L的方向向量 s =(2, 7, 3) 的法向量 n =(4, 2, 2)s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0又M0(3, 4,

17、0)在直线 L上, 但不满足平面方程,所以L与 平行, 但不重合.解解: L的方向向量 s =( 3, 2, 7 ) 的法向量 n =( 6, 4, 14 ) L 与 垂直.解解: L的方向向量 s =( 3, 1, 4 ) 的法向量 n =( 1, 1, 1 )s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0又L上的点 M0(2, 2, 3)满足平面方程,所以 , L 与 重合.1. 点到直线的距离例例5. 求点p0(1, 2, 1)到直线 的距离d .p0slp1分析：分析：过 p0 作 l 的垂线，垂足为 p1, 则 d=| p0 p1|关键：关键：求出 p1 的坐标方法：方法：过

18、点p0作平面与l垂直，设l与平面的交点为p1，则线段 p0 p1 与 l 垂直。 p1即为垂足。四四. 点到点到直线的距离及平面束方直线的距离及平面束方程程解解: (1) 直线 l 的方向向量 s = (2, 1, 1)过 p0(1, 2, 1), 以s为法向量作平面: 2(x1) + (y2) + (z1) = 0即: 2x + y + z 5 = 0(2) 求 l 与 的交点将直线 l 方程写出参数方程形式：x = 2 + 2ty = 3 + tz = 4 + t, 代入平面的方程：2(2 + 2t) + (3 + t) + (4 + t) 5 = 0即 6t + 6 =0, t = 1,

19、 交点 p1(0, 2, 3)slp1p0(1, 2, 1)2. 平面束方程设直线 l ：1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)其中 A1, B1, C1与 A2, B2, C2不成比例，即1/2建立三元一次方程: : (A1x+B1y+C1z+D1 )+(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)l ：1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2): (A1x+B1y+C1z+D1 ) +(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)考查直线 l 与平面 的关系：(1

20、) 直线 l 上的任何点p(x, y, z)满足方程(1)、(2)，也满足方程(3)。故：方程(3)表示通过直线 l 的平面，且对于不同的 值，方程(3)表示通过直线 l 的不同平面。(2) 通过直线 l 的任何平面(除2以外)都包含在方程(3)的一族平面内。这是因为：对于直线 l 外任意一点p0(x0, y0, z0)若不在2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 上令：l ： 1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1) 2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)p0(x0, y0, z0)过直线 l 与点 p0 的平面为:故：对于直线l, 方程(3)包含了(除2外的

21、)过直线l的全体平面。: (A1x+B1y+C1z+D1 ) + (A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)定义：对于直线定义：对于直线 l , 通过通过 l 的平面的全体称为平面束。的平面的全体称为平面束。对于直线 l : 1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)方程 (A1x+B1y+C1z+D1 )+(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)称为 l 的平面束方程(表示缺少一个平面2的平面束)例例6:一平面通过直线 l : x + y z = 0x y + z 1 = 0和点p0(1, 1, 1 )建立它的方程.解：

22、解：过直线 l 的平面束方程为(x + y z ) + (x y + z 1) = 0 点p0(1, 1, 1 )在平面上，代入方程，得3 2 = 0, 所求平面为：(x + y z ) + (x y + z 1) = 0 即：5x y + z 3 = 0 例例7 .求直线 l : x + y 1=0, y + z + 1=0.在平面 : 2x + y + 2z = 0上的投影直线方程.解：解：设投影直线为l，则由l与l决定的平面与平面垂直。过l 的平面束方程为即与平面 : 2x + y + 2z = 0垂直的平面满足：代入平面束方程，得ll ：故: 投影直线l: xz 2 = 0 2x+y +2z = 0 即ll : 2x + y + 2z = 0