《八年级数学下册第1章直角三角形14角平分线的性质习题课件新版湘教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学下册第1章直角三角形14角平分线的性质习题课件新版湘教版（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4角平分线的性质1.1.掌握角平分掌握角平分线线的性的性质质定理和判定定理定理和判定定理.(.(重点重点) )2.2.能能够够运用角平分运用角平分线线的性的性质质定理和判定定理解决几何定理和判定定理解决几何问题问题.(.(重重点、点、难难点点) )一、角平分一、角平分线线的性的性质质与判定与判定如如图图, ,已知已知DBAB,DCAC,DBAB,DCAC,则则_=_=90._=_=90.DBADBADCADCA【思考思考】(1)(1)如果如果1=2,1=2,那么那么BD=CDBD=CD吗吗? ?为为什么什么? ?提示提示: :BD=CD.DBAB,DCAC,DBA=DCA=90,BD=CD
2、.DBAB,DCAC,DBA=DCA=90,又又1=2,AD=AD,1=2,AD=AD,ABDACD(AAS),BD=CD.ABDACD(AAS),BD=CD.(2)(2)如果如果BD=CD,BD=CD,那么那么1=21=2吗吗? ?为为什么什么? ?提示提示: :1=2.BD=CD,AD=AD,RtABDRtACD(HL),1=2.BD=CD,AD=AD,RtABDRtACD(HL),1=2.1=2.【总结总结】(1)(1)角平分线的性质定理角平分线的性质定理: :角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离边的距离_. .(2)(2)角平分线的判定定理角平分线的判定定理: :角
3、的内部到角的两边距离角的内部到角的两边距离_的点的点在角的平分线上在角的平分线上. .相等相等相等相等二、三角形三条角平分二、三角形三条角平分线线的性的性质质到三角形三条到三角形三条边边的距离相等的点是其任意两角的的距离相等的点是其任意两角的_的交的交点点, ,此点也在另一个角的此点也在另一个角的_上上. .平分平分线线平分平分线线 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)角的平分角的平分线线就是角的就是角的对对称称轴轴. .( )( )(2)(2)到角的两到角的两边边距离相等的点有无数个距离相等的点有无数个. .( )( )(3)(3)到角的两到角的两边边距离相等的点距离相等的点, ,在
4、在这这个角的平分个角的平分线线上上. .( )( )(4)(4)三角形三条角平分三角形三条角平分线线的交点可能在三角形的外部的交点可能在三角形的外部. .( )( )(5)(5)三角形三条角平分三角形三条角平分线线的交点到三角形三个的交点到三角形三个顶顶点的距离相等点的距离相等. . ( )( )知识点知识点 1 1 角平分角平分线线的性的性质质【例例1 1】(2013(2013温州中考温州中考) )如如图图, ,在在ABCABC中中,C=90,AD,C=90,AD平分平分CAB,CAB,交交CBCB于点于点D,D,过过点点D D作作DEABDEAB于点于点E.E.(1)(1)求求证证:ACD
5、AED.:ACDAED.(2)(2)若若B=30,CD=1,B=30,CD=1,求求BDBD的的长长. .【解题探究解题探究】(1)CD(1)CD与与EDED有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ?提示提示: :CD=ED.ADCD=ED.AD平分平分CAB,DEAB,C=90,CD=ED.CAB,DEAB,C=90,CD=ED.由由CDCD与与EDED的关系能判定的关系能判定ACDAEDACDAED吗吗? ?为什么为什么? ?提示提示: :能能.在在RtACDRtACD和和RtAEDRtAED中中,AD=AD,CD=ED,AD=AD,CD=ED,由由“HLHL”定理可得定理可得RtACD
6、RtAED.RtACDRtAED.(2)BD(2)BD与与EDED有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ?提示提示: :BD=2ED.DEAB,DEB=90,BD=2ED.DEAB,DEB=90,又又B=30,BD=2ED.B=30,BD=2ED.请结合请结合CDCD的长的长, ,以及以及CDCD与与EDED的关系确定的关系确定BDBD的长的长. .提示提示: :ED=CD=1,BD=2ED=2.ED=CD=1,BD=2ED=2.【总结提升总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系角平分线图形结构中的两种数量关系如图如图,OC,OC平分平分AOB,PDOA,PEOB,DEAOB,PDOA,
7、PEOB,DE交交OCOC于点于点F,F,可以得到以下结论可以得到以下结论: :1.1.角之间的相等关系角之间的相等关系: :AOC=BOC=PDF=PEF;AOC=BOC=PDF=PEF;ODP=OEP=DFO=EFO=DFP=EFP;DPO=EPO=ODF=ODP=OEP=DFO=EFO=DFP=EFP;DPO=EPO=ODF=OEF.OEF.2.2.线段的相等关系线段的相等关系: :OD=OE,DP=EP,DF=EF.OD=OE,DP=EP,DF=EF.知识点知识点 2 2 角平分角平分线线的判定的判定【例例2 2】如如图图, ,在四在四边边形形ABCDABCD中中,ADC+,ADC+A
8、BC=180,BC=DC,CEADABC=180,BC=DC,CEAD交交ADAD的延的延长长线线于点于点E,CFABE,CFAB于点于点F.F.求求证证:AC:AC平分平分BAD.BAD.【思路点拨思路点拨】证证ABC=CDE,CFB=CEDCFBCEDCF=CEABC=CDE,CFB=CEDCFBCEDCF=CE结论结论【自主解答自主解答】ADC+ABC=180ADC+ABC=180，又又ADC+CDE=180ADC+CDE=180，ABC=CDE.ABC=CDE.CFABCFAB，CEADCEAD，CFB=CED=90.CFB=CED=90.在在RtCFBRtCFB和和RtCEDRtCE
9、D中，中，CFBCED(AAS)CFBCED(AAS)，CF=CE,CF=CE,ACAC平分平分BAD.BAD.【总结提升总结提升】证明角平分线的两种方法证明角平分线的两种方法1.1.定义法定义法: :应用角平分线的定义应用角平分线的定义. .2.2.定理法定理法: :应用应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上到角两边距离相等的点在角的平分线上”来来判定判定. .判定角平分线时判定角平分线时, ,需要满足两个条件需要满足两个条件: :“垂直垂直”和和“相等相等”. .若已知若已知“垂直垂直”, ,则设法证则设法证“相等相等”; ;若已知若已知“相等相等”, ,则设则设法证法证“垂直垂直”.
10、.题组一：题组一：角平分线的性质角平分线的性质1 1(2013(2013柳州中考柳州中考) )在在ABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AB=3AB=3，AC=4AC=4ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于于D D，则，则BDBD的的长为长为( )( )【解析解析】选选A ABAC=90BAC=90，AB=3AB=3，AC=4AC=4，BC=BC=BCBC边上的高边上的高=345=345=ADAD平分平分BACBAC，点点D D到到ABAB，ACAC上的距离相等，设为上的距离相等，设为h h，则则解得解得S SABDABD= =解得解得2.(20132.(2013长长沙中考沙中考
11、) )如如图图,BD,BD是是ABCABC的的平分平分线线,P,P是是BDBD上的一点上的一点,PEBA,PEBA于点于点E,E,PE=4cm,PE=4cm,则则点点P P到到边边BCBC的距离的距离为为cm.cm.【解析解析】过点过点P P作作PFBCPFBC于点于点F,F,根据根据“角平分线上的点到角的角平分线上的点到角的两边距离相等两边距离相等”知知PF=PE=4cm,PF=PE=4cm,即点即点P P到边到边BCBC的距离为的距离为4cm.4cm.答案答案: :4 43.3.如如图图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,AD,ACB=90,AD是是ABCABC的的角平分角平分线线,
12、BC=10cm,BDDC=32,BC=10cm,BDDC=32,则则点点D D到到ABAB的距离的距离为为cm.cm.【解析解析】BC=10cm,BDDC=32,DC=4cm,BC=10cm,BDDC=32,DC=4cm,ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线,ACB=90,ACB=90,点点D D到到ABAB的距离等于的距离等于DC,DC,即点即点D D到到ABAB的距离等于的距离等于4cm.4cm.答案答案: :4 44.(20134.(2013湘西中考湘西中考) )如如图图,RtABC,RtABC中中, ,C=90,ADC=90,AD平分平分CAB,DEABCAB,DEAB于于E,
13、E,若若AC=6,BC=8,CD=3.AC=6,BC=8,CD=3.(1)(1)求求DEDE的的长长. .(2)(2)求求ADBADB的面的面积积. .【解析解析】(1)(1)在在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，ACCDACCD又又ADAD平分平分CABCAB，DEABDEAB，DE=CDDE=CD，又，又CD=3CD=3，DE=3DE=3(2)(2)在在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，BC=8BC=8，AB=AB=SSADBADB= =题组题组二二: :角平分角平分线线的判定的判定1.1.如如图图所示所示,OB,OB与与OCOC分分别别是是ABC
14、ABC的的ABCABC和和ACBACB的平分的平分线线, ,那那么么BAOBAO与与CAOCAO的大小关系的大小关系为为( () )A.BAOCAO B.BAO=CAOA.BAOCAO B.BAO=CAOC.BAOCAO D.C.BAOCAO D.不确定不确定【解析解析】选选B.OBB.OB与与OCOC分别是分别是ABCABC的的ABCABC和和ACBACB的平分线的平分线,点点O O到到AB,BC,ACAB,BC,AC的距离相等的距离相等, ,点点O O也在也在BACBAC的平分线上的平分线上,BAO=CAO.,BAO=CAO.2.2.如如图图所示所示,DEAB,DEAB于于D,CEBCD,
15、CEBC于于C,C,且且DE=CE,DE=CE,则则下列下列结论结论不一不一定正确的是定正确的是( () )A.BEA.BE平分平分ABCABCB.BEB.BE平分平分CEDCEDC.AE+DE=ACC.AE+DE=ACD.A=ABED.A=ABE【解析解析】选选D.D.由由DEAB,CEBC,DE=CEDEAB,CEBC,DE=CE可判断可判断BEBE平分平分ABC;ABC;由由条件可证得条件可证得BCEBDE,BCEBDE,所以所以BEC=BED,BEC=BED,所以所以BEBE平分平分CED.CED.AC=AE+CE,AC=AE+CE,而而CE=DE,CE=DE,AC=AE+DE.DAC
16、=AE+DE.D不一定为不一定为ABAB中点中点, ,故故EDBEDB和和EDAEDA不一定全等不一定全等, ,故得不到故得不到A=ABE.A=ABE.3.3.如如图图, ,直直线线l1 1, ,l2 2, ,l3 3表示三条相互交叉的公路表示三条相互交叉的公路, ,现现要建一个要建一个货货物物中中转转站站, ,要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等, ,则则可供可供选择选择的地址有的地址有 ( () )A.A.一一处处B.B.两两处处C.C.三三处处D.D.四四处处【解析解析】选选D.D.因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上, ,
17、所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处. .如图如图, ,可供选可供选择的地址有择的地址有P P1 1,P,P2 2,P,P3 3,P,P4 4共四处共四处. .【高手支招高手支招】有关到线段距离相等的点的位置确定有关到线段距离相等的点的位置确定, ,一般是利一般是利用用“到角两边距离相等的点在角的平分线上到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一定理这一定理, ,作出作出由线段所组成的角的角平分线由线段所组成的角的角平分线, ,确定点的位置确
18、定点的位置. .4.(20134.(2013泉州中考泉州中考) )如如图图,AOB =70,AOB =70,QCOAQCOA于于C,QDOBC,QDOB于于D,D,若若QC = QD,QC = QD,则则AOQ=AOQ=.【解析解析】QCOA,QDOB,QC = QD,QCOA,QDOB,QC = QD,点点Q Q在在AOBAOB的平分线的平分线上上,AOQ= AOB,AOQ= AOB,AOB=70,AOQ =35.AOB=70,AOQ =35.答案答案: :35355.5.已知已知: :如如图图,AB=CD,PAB,AB=CD,PAB的面的面积积与与PCDPCD的面的面积积相等相等, ,求求
19、证证:OP:OP平分平分AOD.AOD.【证明证明】过点过点P P作作PEOAPEOA于于E,PFODE,PFOD于于F,F,SSPABPAB=S=SPCDPCD, , AB ABPE= CDPE= CDPF.PF.AB=CD,PE=PF.AB=CD,PE=PF.点点P P在在AODAOD的平分线上的平分线上( (到一个角的两边距离相等的点在这到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上个角的平分线上).).OPOP平分平分AOD.AOD.6.6.如如图图,ABC,ABC中中,BP,CP,BP,CP分分别别是是B,CB,C的外角平分的外角平分线线. .求求证证: :点点P P在在A A的平分的
20、平分线线上上. .【证明证明】过点过点P P作作PMAB,PNAC,PQBC,PMAB,PNAC,PQBC,垂足分别为垂足分别为M,N,Q.M,N,Q.点点P P在在B B的外角的外角CBMCBM的平分线上的平分线上,PM=PQ.,PM=PQ.点点P P在在C C的外角的外角BCNBCN的平分线上的平分线上, ,PN=PQ,PM=PN,PN=PQ,PM=PN,而而PMAB,PNAC,PMAB,PNAC,点点P P在在A A的平分线上的平分线上. .【想一想错在哪？想一想错在哪？】如如图图,AD,AD平分平分EAF,BCEAF,BC过过点点D D垂直于垂直于AD,AD,分分别别交交AE,AFAE,AF于于B,C.B,C.求求证证:BD=DC.:BD=DC.提示提示: :这里错在没有正确理解角的平分线的性质这里错在没有正确理解角的平分线的性质, ,应是应是“角的平角的平分线上的点到两边的距离分线上的点到两边的距离”, ,这里的这里的BD,CDBD,CD不是到两边的距离不是到两边的距离. .
