第2章时域离散信号与系统的频域分析

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1、第第2 2章章 时域离散信号与系统的时域离散信号与系统的频域分析频域分析2.1 引言引言2.2 时域离散信号傅里叶变换时域离散信号傅里叶变换2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换2.4 时域离散信号傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系时域离散信号傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系2.5 序列的序列的z变换变换2.6 利用利用z变换分析信号和系统的频响特性变换分析信号和系统的频响特性2.1 引言引言(1) 对对信信号号和和系系统统进进行行分分析析和和研研究究可可以以在在时时间间域域也也可可以以在在频频率域进行。率域进行。(2) 模模拟拟系系统统

2、在在时时间间域域用用微微分分方方程程描描述述，在在频频率率域域用用傅傅里里叶叶变换或拉普拉斯变换表示。变换或拉普拉斯变换表示。(3) 离离散散系系统统在在时时间间域域用用差差分分方方程程描描述述，在在频频率率域域则则用用时时域域离散信号傅里叶变换或离散信号傅里叶变换或z变换表示。变换表示。2.2 时域离散信号傅里叶变换时域离散信号傅里叶变换一、一、时域离散信号傅里叶变换的定义时域离散信号傅里叶变换的定义充分条件充分条件对式对式(2.2.1)两边乘以两边乘以ejm，然后在一个周期内求平均值，可得，然后在一个周期内求平均值，可得 时域离散信号的傅里叶变换时域离散信号的傅里叶变换时域离散信号傅里叶逆

3、变换时域离散信号傅里叶逆变换 【例例2.2.1】设设x(n)=RN(n)，求，求x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。以以N=4为例为例图图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线的幅度与相位曲线1.周期性周期性2.线性线性3.时移与频移特性时移与频移特性二二、时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换的性质4. 对称性对称性(1) 复序列的共轭对称性和共轭反对称性复序列的共轭对称性和共轭反对称性性质性质1：共轭对称序列其实部是偶函数，虚部是奇函数。：共轭对称序列其实部是偶函数，虚部是奇函数。称序列称序列xe(n)为共轭对称序列为共轭对称序列 性质性质2：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚

4、部是偶函数。：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。4. 对称性对称性(2) 一般序列的共轭对称和共轭反对称表示法一般序列的共轭对称和共轭反对称表示法共轭对称序列共轭对称序列共轭反对称序列共轭反对称序列定义定义可得可得对于频域函数对于频域函数任意一个序列可写成共轭对称序列和共轭任意一个序列可写成共轭对称序列和共轭反对称序列之和反对称序列之和4. 对称性对称性(3) 序列的傅里叶变换性质一序列的傅里叶变换性质一具有共轭对称性具有共轭对称性具有共轭反对称性具有共轭反对称性【性质性质1】序列的实部对应的序列的实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和具有共轭对称性，虚部和j一起一起对应的对应的FT具

5、有共轭反对称性。序列具有共轭反对称性。序列x(n)的的FT可以写成共轭对可以写成共轭对称函数与共轭反对称函数之和。称函数与共轭反对称函数之和。4. 对称性对称性(4) 序列的傅里叶变换性质二序列的傅里叶变换性质二【性质性质2】序列写成共轭对称部分序列写成共轭对称部分xe(n)与共轭反对称部分与共轭反对称部分xo(n)之和，之和，xe(n)对应着对应着X(ej)的实部的实部XR(ej)，xo(n)对应着对应着X(ej)的虚部的虚部XI(ej)乘以乘以j。4. 对称性对称性(5)实序列实序列h(n)的对称性的对称性 实序列实序列h(n)的的FT只有共轭对称部分只有共轭对称部分He(ej)共轭对称性

6、共轭对称性 实部是偶函数实部是偶函数虚部是奇函数虚部是奇函数 【例例2.2.1】设设x(n)=RN(n)，求，求x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。若若x(n)=R4(n)图图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线的幅度与相位曲线5.时域卷积定理时域卷积定理6.频域卷积定理频域卷积定理7.帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数二、周期序列的傅里叶变换二、周期序列的傅里叶变换一、一、周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(Discrete Fourier Seri

7、esDFS)定义定义周期序列的离散傅里叶级数正变换：周期序列的离散傅里叶级数正变换：周期序列的离散傅里叶级数系数周期序列的离散傅里叶级数系数离散傅里叶级数只有离散傅里叶级数只有N个独立的谐波成分个独立的谐波成分周期序列离散傅里叶级数逆变换：周期序列离散傅里叶级数逆变换：l周期序列周期序列 可由可由N个谐波分量个谐波分量 组成，谐波分量的数字频组成，谐波分量的数字频率为率为 ，谐波分量的幅度为，谐波分量的幅度为l周期序列只有有限个序列值有意义周期序列只有有限个序列值有意义 【例例2.3.1】设设x(n)=R4(n)，将，将x(n)以以N=8为周期进行周期延拓，得到如图为周期进行周期延拓，得到如图

8、2.3.1(a)所示的周期序列，周期为所示的周期序列，周期为8。求。求 ，并画出它的幅度谱。，并画出它的幅度谱。 图图2.3.1 周期序列周期序列(a) 及其幅度特性及其幅度特性(b)二二、周期序列的傅里叶变换周期序列的傅里叶变换1.复指数序列复指数序列 的傅立叶变换的傅立叶变换复指数序列的复指数序列的FT是以是以0为为中心，以中心，以2的整数倍为间距的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分的一系列冲激函数，其积分面积为面积为2 。2.一般周期序列一般周期序列 的傅立叶变换的傅立叶变换(1)(2)(3)(4)(5)周期性序列的傅立叶变换是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面周期性序列的傅立叶变换

9、是一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于积等于 (1) 周期序列的傅立叶变换由在周期序列的傅立叶变换由在 处的冲激函处的冲激函 数组成，冲激函数的强度为数组成，冲激函数的强度为 (2) 周期序列的傅立叶变换仍以周期序列的傅立叶变换仍以2为周期，而且一个周期中只有为周期，而且一个周期中只有N个用冲激个用冲激函数表示的谐波。函数表示的谐波。周期序列傅立叶变换的特点：周期序列傅立叶变换的特点： 【例例2.3.2】求例求例2.3.1中周期序列的傅里叶变换及幅度谱。中周期序列的傅里叶变换及幅度谱。2.4 时域离散信号的时域离散信号的FT与模拟信号与模拟信号FT之间的关系之间的关系结论：结论：(1)时

10、域离散信号的频谱是模拟信号的频谱时域离散信号的频谱是模拟信号的频谱周期性延拓，周期为周期性延拓，周期为s=2/T。(2)计算模拟信号的傅里叶变换可以计算模拟信号的傅里叶变换可以用用计算计算相应的时域离散信号的傅里叶变换得到。相应的时域离散信号的傅里叶变换得到。2.5 序列的序列的z变换变换一、一、z变换的定义变换的定义三、序列时域波形与其三、序列时域波形与其z变换收敛域的对应关系变换收敛域的对应关系二、二、z变换的收敛域变换的收敛域五、逆五、逆z变换变换四、四、z变换的性质和定理变换的性质和定理六、利用六、利用z变换解差分方程变换解差分方程2.5 序列的序列的z变换变换一、一、z变换的定义变换

11、的定义z是一个复变量，它所在的复平面称为是一个复变量，它所在的复平面称为z平面平面双边双边z变换变换二、二、z变换的收敛域变换的收敛域 式式(2.5.1)表明，表明，X(z)是是z或或z-1的幂级数，其系数是的幂级数，其系数是x(n)的序列值，只有的序列值，只有当此幂级数收敛时，当此幂级数收敛时，z变换才有意义。变换才有意义。 对于任意序列对于任意序列x(n)，使其，使其z变换变换X(z)收敛的所有收敛的所有z值的集合称为值的集合称为X(z)的的收敛域。收敛域。 按照级数理论，式按照级数理论，式(2.5.1)的级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条的级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条件，即要求

12、件，即要求 要满足式要满足式(2.5.3)，|z|的取值必须在一定的范围之内，这个范围就是的取值必须在一定的范围之内，这个范围就是X(z)的收敛域，其一般形式为的收敛域，其一般形式为图图2.5.1 z变换的收敛域变换的收敛域零点：零点：X(z)分子多项式分子多项式P(z)的根的根极点：极点：X(z)分母多项式分母多项式Q(z)的根的根X(ej)与与X(z)的关系：的关系：【例例】 设设x(n)=0.9nu(n), 求其求其z变换，并确定收敛域。变换，并确定收敛域。X(z)存在的条件是存在的条件是 ，即，即在极点处在极点处z变换不存在，变换不存在， 收敛域中没有极点，收敛域中没有极点，收敛域总是

13、用极点限定其边界。收敛域总是用极点限定其边界。【例例2.5.1】 设设x(n)=u(n), 求其求其z变换，并确定收敛域。变换，并确定收敛域。三、序列时域波形与其三、序列时域波形与其z变换收敛域的对应关系变换收敛域的对应关系 在时域，按照序列非零值区间的不同，序列可以分为有限长序列和在时域，按照序列非零值区间的不同，序列可以分为有限长序列和无限长序列，无限长序列又分为右边序列、左边序列及双边序列。序列无限长序列，无限长序列又分为右边序列、左边序列及双边序列。序列时域波形的形式不同，其时域波形的形式不同，其z变换的收敛域也不同，二者一一对应。由序变换的收敛域也不同，二者一一对应。由序列时域波形的

14、形式可以确定其列时域波形的形式可以确定其z变换收敛域的情况，反过来，由变换收敛域的情况，反过来，由z变换收变换收敛域的情况也可以确定序列时域波形的形式。敛域的情况也可以确定序列时域波形的形式。1.有限长序列有限长序列(1) n1 0, n2 0, 收敛域为：收敛域为： 0|z|(2) n1 0, n2 0, 收敛域为：收敛域为： 0|z|(3) n1 0, n2 0, 收敛域为：收敛域为： 0|z|【例例2.5.2】求求x(n)=RN(n)的的z变换及其收敛域。变换及其收敛域。 收敛域：收敛域：2.右边序列右边序列【例例2.5.3】求求x(n)=anu(n)的的z变换及其收敛域。变换及其收敛域

15、。 收敛域：收敛域：3.左边序列左边序列【例例2.5.4】求求x(n)=-anu(-n-1)的的z变换及其收敛域。变换及其收敛域。 收敛域：收敛域：4.双边序列双边序列【例例2.5.5】求求 ，a为实数，求为实数，求x(n)的的z变换及其收敛域。变换及其收敛域。 第一部分收敛域为：第一部分收敛域为：第二部分收敛域为：第二部分收敛域为：收敛域：收敛域：四、四、z变换的性质和定理变换的性质和定理1. 线性性质线性性质2. 移位性质移位性质3. 序列乘以指数序列的性质序列乘以指数序列的性质4. 序列乘以序列乘以n的的ZT5. 复共轭序列的复共轭序列的ZT6. 初值定理初值定理7. 终值定理终值定理8

16、. 时域卷积定理时域卷积定理9. 复卷积定理复卷积定理10. 帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)定理定理五、逆五、逆z变换变换1.用留数定理求逆用留数定理求逆z变换变换zk是单阶极点：是单阶极点：留数辅助定理：留数辅助定理：zk是是m阶极点：阶极点：【例例2.5.6】已知已知X(z)=(1-az-1)-1，收敛域是，收敛域是|z|a|，求其逆，求其逆z变换变换x(n)。【例例2.5.7】已知已知 ，求其逆，求其逆z变换变换x(n)。（1）收敛域为）收敛域为|z|a-1|（2）收敛域为）收敛域为|z|a|（3）收敛域为）收敛域为|a-1|z|a|2.部分分式展开法部分分式展开法X(z)/z在在

17、z=0的极点留数就是系数的极点留数就是系数A0，在，在z=zm的极点留数就是系数的极点留数就是系数Am【例例2.5.8】已知已知 ，求逆，求逆z变换。变换。六、利用六、利用z变换解差分方程变换解差分方程1. 求系统的零状态响应求系统的零状态响应【例例】已知差分方程已知差分方程y(n)=2y(n-1)+x(n)，激励，激励x(n)=3nu(n)，求零状态响应，求零状态响应yzs(n)。2. 求系统的全响应求系统的全响应 系统的全响应系统的全响应y(n)不是因果序列，可以分解为因果子序列不是因果序列，可以分解为因果子序列y(n)u(n)和和逆因果子序列逆因果子序列y(n)u(-n-1)之和。当之和

18、。当y(n)右移右移k个样值点时，个样值点时，y(n-k) (k=1,2,N)不仅包含了不仅包含了y(n)u(n)子序列的全部序列值，子序列的全部序列值，还包含还包含y(n)u(-n-1)子序列移入的子序列移入的k个序列值个序列值，y(n-k) (k=1,2,N)的单边的单边z变换为变换为对系统差分方程对系统差分方程 两端求单边两端求单边z变换，得变换，得(2.5.34)(2.5.33)【例例】已知差分方程已知差分方程y(n)=2y(n-1)+x(n)，激励，激励x(n)=3nu(n)，系统的起始状，系统的起始状态态y(-1)=1，求全响应，求全响应y(n)和零输入响应和零输入响应yzi(n)

19、。（2）求零输入响应）求零输入响应（1）求全响应）求全响应(2.5.33)2.6 利用利用z变换分析信号和系统的频响特性变换分析信号和系统的频响特性一、频率响应函数与系统函数一、频率响应函数与系统函数二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性三、利用系统的零极点分布分析系统的频率响应性三、利用系统的零极点分布分析系统的频率响应性一、频率响应函数与系统函数一、频率响应函数与系统函数频率响应函数频率响应函数：幅频响应：幅频响应：幅频响应曲线：幅频响应曲线：相频响应：相频响应：相频响应曲线：相频响应曲线系统函数系统函数系统频率响应的意义：系统频率

20、响应的意义：(1) 输入为单频复指数序列输入为单频复指数序列 结论结论1：单频复指数序列通过频率响应函数为单频复指数序列通过频率响应函数为 的系统后，的系统后， 输出仍为单频复指数序列，其幅度放大输出仍为单频复指数序列，其幅度放大 倍，相倍，相 移为移为()。(2) 输入为正弦序列输入为正弦序列 结论结论2：线性时不变系统对单频正弦信号线性时不变系统对单频正弦信号cos(n)的响应为同频正弦信号，的响应为同频正弦信号， 其幅度放大其幅度放大 倍，相移增加倍，相移增加()。(3) 输入为一般序列输入为一般序列x(n) 结论结论3：输入为一般序列输入为一般序列x(n)，则，则 对对x(n)的不同频

21、率成分进行加权的不同频率成分进行加权 处理，对感兴趣的频段，取处理，对感兴趣的频段，取 ，其它频段取，其它频段取 ，则，则 就实现了对输入就实现了对输入 信号的滤波处理。信号的滤波处理。 1. 系统因果的条件系统因果的条件2. 系统稳定的条件系统稳定的条件系统稳定，要求系统稳定，要求存在存在系统稳定的条件：系统稳定的条件：H(z)的收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点的收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点3. 系统因果且稳定的条件系统因果且稳定的条件二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性H(z)所有的极点在单位圆内。所有的极点在单位

22、圆内。 H(z)的极点分布在某个圆内的极点分布在某个圆内h(n)因果因果【例例2.6.1】已知已知 ，分析其因果性和，分析其因果性和稳定性。稳定性。(1) 收敛域为收敛域为(2) 收敛域为收敛域为(3) 收敛域为收敛域为三、利用系统的零极点分布分析系统的频率响应性三、利用系统的零极点分布分析系统的频率响应性A参数影响频率响应函数的幅度大小参数影响频率响应函数的幅度大小零点零点cr和极点和极点dr影响系统的特性影响系统的特性：零点向量：零点向量：极点向量：极点向量：零点向量：零点向量：极点向量：极点向量：零点向量：零点向量：极点向量：极点向量结论：结论：极点位置主要影响频率响应的峰值位置及尖锐程度，零点位置极点位置主要影响频率响应的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频率响应的谷点位置及形状。主要影响频率响应的谷点位置及形状。【例例2.6.2】H(z)=z-1，分析系统的频率响应特性，分析系统的频率响应特性【例例2.6.3】一阶系统的差分方程为一阶系统的差分方程为 ，0b1，用几何法分析其幅度特性。用几何法分析其幅度特性。