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1、微积分8-8 8-8 二元函数的极值二元函数的极值微积分多元函数极值多元函数极值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值H=2ezsurf(-x*y/exp(x2+y2),-h,h,-h,h,-h,h)微积分1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义微积分(1)(2)(3)微积分2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件微积分证证微积分 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的为零的点，均称为函数的驻点驻点. .注意：注意：驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？微积分
2、微积分解解微积分微积分微积分3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值数的极值来求函数的最大值和最小值. .求最值的一般方法求最值的一般方法设设 f ( x , y ) 在在D上连续，上连续，D内可微且在内可微且在D内至多有有限个驻点内至多有有限个驻点,这时若这时若 f ( x , y ) 在在D内取得最值内取得最值,则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值 将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数值及内的所有驻点处的函数值及在在 D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，的边界上的最大值和
3、最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. .故一般方法是故一般方法是微积分 在实际问题中，往往根据问题的性质就在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）值）解解如图如图,微积分微积分例例3 要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所
4、用材料最少？的尺寸，才能使所用材料最少？解解 设箱子的长、宽、高分别是设箱子的长、宽、高分别是x,y,z，容量为，容量为V，表，表面积为面积为S。则：。则：V=xyzS=2(xy+yz+yx)微积分 根据实际问题可知根据实际问题可知S一定存在最小值。唯一的一定存在最小值。唯一的极值应该是最小值。极值应该是最小值。微积分例例4 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为别为10元与元与9元，生产元，生产x单位的产品甲与单位的产品甲与 y单位的单位的产品乙总费用是产品乙总费用是 求取得最大利润时，两种产品的产量各多少求取得最大利润时，两种产品的产量各多少?解解 设
5、设L(x,y)表示产品甲与乙分别生产表示产品甲与乙分别生产x与与y单位单位时所得的总利润因为总利润等于总收入减去时所得的总利润因为总利润等于总收入减去总费用，所以总费用，所以微积分得驻点得驻点(120,80) 由题意知，生产由题意知，生产120单位产品甲与单位产品甲与80单位单位产品乙设所得利润最大产品乙设所得利润最大 是极大值是极大值微积分解解由由微积分无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值微积分二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法微积
6、分 一些较简单的条件极值问题可以把它转化一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解为无条件极值来求解降元法，但这种方法需要降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易做到，有时甚至是不可能的。容易做到，有时甚至是不可能的。解决条件极值问题的一般方法是解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法乘数法升元法升元法求求 z = f ( x , y )其几何意义是其几何意义是其中点其中点 ( x , y ) 在曲线在曲线 L 上上微积分假定点假定点P (x0 , y0 ) 为条件极值点为条件极值点在在(x0 ,
7、y0 ) 的某个邻域的某个邻域内内 且不同时为且不同时为0f( x , y )可微可微确定了一个隐函数确定了一个隐函数y = y(x) 故故 z= f x , y(x)在在P(x0 , y0)处取得极处取得极值值故故即即又由隐函数的微分法知又由隐函数的微分法知微积分代入上式代入上式令令得得P (x0 ,y0 )为条件极值点的必要条件为为条件极值点的必要条件为微积分xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点无条件极值点.P条件极值点条件极值点.微积分微积分例例6解解 销售某产品需作两种方式的广告宣传，当销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费用分别为宣传费用分别为x x 和和y y ( (单位：
8、千元单位：千元) )时，销售量时，销售量S S （单位：件）是（单位：件）是x x 和和 y y的函数的函数若销售产品所得的利润是销售量的若销售产品所得的利润是销售量的 1/5 1/5 减去总的广减去总的广告费，两种广告费共告费，两种广告费共2525（单位：千元）应怎样分配（单位：千元）应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少? ? 根据题意，利润函数为根据题意，利润函数为微积分设拉格朗日函数设拉格朗日函数求其对求其对x x，y y，的一阶偏导数，并使之为零，的一阶偏导数，并使之为零，得方程组得方程组 微积分解得，故点解得，故点(1
9、5,10)(15,10)是惟一的驻点，也是最是惟一的驻点，也是最大值点于是，当两种宣传方式的广告费分大值点于是，当两种宣传方式的广告费分别为别为1515和和10(10(单位：千元单位：千元) )时，其利润最大、时，其利润最大、最大利润是最大利润是微积分例例7求内接于椭球求内接于椭球 的最大长方体的体积的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面解一解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为一卦限的顶点的坐标为( x , y , z )则长方体的体积为则长方体的体积为V=8xyz令令微积分解得解得或或两式
10、相除两式相除同理同理即即代入解得代入解得三式相加得三式相加得微积分解二解二任意固定任意固定 z0 (0 z0 c ) 先在所有高为先在所有高为2 z0 的长方体中求体积最大者的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大今上底面为内接于椭圆今上底面为内接于椭圆边平行于边平行于 x,y 轴的长方轴的长方形形当长方形的边长分别为当长方形的边长分别为（一元函数极值问题）（一元函数极值问题）微积分长方形面积最大长方形面积最大得到高为得到高为 2z0 的长方体中最大体积为的长方体中最大体积为V( z0 ) 最大最大这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为解三解三作变换作变换问题变成在问题变成在 下求下求 XYZ 的最大值的最大值 易知为立方体易知为立方体微积分解四解四即求即求 的最大值的最大值而此三个正数的和一定（而此三个正数的和一定（=1）当当 积最大积最大微积分四、小结四、小结多元函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法思考题思考题微积分思考题解答思考题解答微积分练练 习习 题题微积分微积分练习题答案练习题答案
