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1、第一课时第一课时 2.4 2.4 等比数列等比数列问题提出问题提出1.1.什么叫等差数列？其递推公式是什么？什么叫等差数列？其递推公式是什么？从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列于同一个常数的数列称为等差数列. .或an1an12 an(n2).2.2.就数列的单调性而言，等差数列有哪就数列的单调性而言，等差数列有哪几种类型？几种类型？3.3.等差数列是一类特殊数列，它具有很等差数列是一类特殊数列，它具有很高的学术价值和应用价值高的学术价值和应用价值. .在现实生活中，在现实生活中，还有与等差数列具有同等地位和价值的还有与等差
2、数列具有同等地位和价值的数列吗？这是一个需要研究的问题数列吗？这是一个需要研究的问题. . d d0 0时，时，aan n 是递增数列；是递增数列；d d0 0时，时，aan n 是递减数列；是递减数列；d=0d=0时，时，aan n 是常数列是常数列. .知识探究（一）：知识探究（一）：等比数列的基本概念等比数列的基本概念 1 1，2 2，4 4，8 8，. .思考思考1 1：如图是某种细胞分裂的模型，那如图是某种细胞分裂的模型，那么这种细胞每次分裂的个数组成一个什么这种细胞每次分裂的个数组成一个什么数列？么数列？思考思考2 2：我国古代学者提出：我国古代学者提出：“一尺之棰，一尺之棰，日取
3、其半，万世不竭日取其半，万世不竭.” 即一尺长的木即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完棒，每日取其一半，永远也取不完.那么那么每日取得的木棒的长度构成一个什么数每日取得的木棒的长度构成一个什么数列？列？1， ， ， ， .思考思考3 3：一种计算机病毒通过邮件进行传一种计算机病毒通过邮件进行传播，如果把病毒制造者发送病毒称为第播，如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推依此类推. .假设每一轮每台计算机都感染假设每一轮每台计算机都感染2020台计算机，那么在不重复的情况下，台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮
4、感染的计算机数构成的这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？数列是什么？ 1 1，2020，20202 2，20203 3，. . 思考思考4 4：“复利复利”也是银行支付利息的一也是银行支付利息的一种方式，按照复利计算本利和的公式是：种方式，按照复利计算本利和的公式是：本利和本金本利和本金（1 1利率）利率）存期存期. .现在存现在存入银行入银行10001000元钱，年利率是元钱，年利率是1.98%1.98%，那么，那么按照复利，按照复利，5 5年内各年末得到的本利和构年内各年末得到的本利和构成的数列是什么？成的数列是什么？ 100010001.01981.0198，100010001
5、.01981.01982 2，100010001.01981.01983 3，100010001.01981.01984 4，100010001.01981.01985 5，思考思考5 5：上述上述4 4个数列各有什么特点？这个数列各有什么特点？这4 4 个数列有什么共同特点？个数列有什么共同特点？共同特点：从第共同特点：从第2 2项起，每一项与其前项起，每一项与其前一项的比都等于同一个常数一项的比都等于同一个常数. .思考思考6 6：我们把上述数列都叫做我们把上述数列都叫做等比数列等比数列，你能给出等比数列的一般定义吗？你能给出等比数列的一般定义吗？ 如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项
6、起，每一项与它的项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母数列的公比（常用字母q表示）表示）. .思考思考7 7：设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q，如，如何用递推公式描述等比数列的定义？何用递推公式描述等比数列的定义？ 思考思考8 8：在等比数列在等比数列aan n 中，中，a an n1 1，a an n，a an n1 1三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？ a an n1 1a a n n1 1 a an n2 2 (n2) (n2)
7、知识探究（二）：知识探究（二）：等比数列的通项公式等比数列的通项公式 思考思考1 1：下面四个等比数列的通项公式分下面四个等比数列的通项公式分别是什么？别是什么？（1 1）1 1，2 2，4 4，8 8，. . （2 2）1 1， . . （3 3）1 1，2020，20202 2，20203 3，. .（4 4）100010001.01981.0198，100010001.01981.01982 2，100010001.01981.01983 3，100010001.01981.01984 4，（1 1）a an n= = （2 2） a an n= = （3 3）a an n= = （4
8、4） a an n= = 思考思考2 2：设等比数列设等比数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公，公比为比为q，那么，那么a a2 2，a a3 3，a a4 4，a a5 5分别等于什分别等于什么？由此归纳猜想，么？由此归纳猜想，a an n等于什么？等于什么？ 思考思考3 3：如何根据等比数列的定义证明上如何根据等比数列的定义证明上述结论？述结论？ 思考思考4 4：将等比数列的通项公式看作是一将等比数列的通项公式看作是一个关于个关于n n的函数，这是一个什么类型的函的函数，这是一个什么类型的函数？数？ 思考思考5 5：有没有既是等差数列又是等比数有没有既是等差数列又是等比数列的数
9、列？列的数列？ 理论迁移理论迁移 例例1 1某种放射性物质不断变化为其他某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的物质是原来的物质，每经过一年剩留的物质是原来的84%84%，这种物质的半衰期为多长（放射性，这种物质的半衰期为多长（放射性物质衰变到原来的一半所需的时间称为物质衰变到原来的一半所需的时间称为半衰期，精确到半衰期，精确到1 1年）？年）？ 半衰期约半衰期约4 4年年 例例2 2 根据下列程序框图，根据下列程序框图，写出所打印数列的前写出所打印数列的前5 5项，项，并建立数列的递推公式，并建立数列的递推公式，求出其通项公式求出其通项公式. .开始开始输出输出An=n+1n=1A
10、=0.5AA=0.5An5n5？否否结束结束是是A=1 例例3 3 一个等比数列的第一个等比数列的第3 3项和第项和第4 4项分项分别是别是1212和和1818，求它的第，求它的第1 1项和第项和第2 2项项. .小结作业小结作业1.1.等比数列的基本特征可理解为：从等比数列的基本特征可理解为：从 第第2 2项起，每一项与它的前一项的比都项起，每一项与它的前一项的比都 相等，并且可以用两种递推公式来描述相等，并且可以用两种递推公式来描述. .2.2.等比数列的通项公式是由其定义推导等比数列的通项公式是由其定义推导出来的，确定一个等比数列需要两个独出来的，确定一个等比数列需要两个独立条件立条件.
11、 .3.3.等比数列与等差数列是两个并列概念，等比数列与等差数列是两个并列概念，但二者有很大的差异，根据等比数列的但二者有很大的差异，根据等比数列的定义和通项公式还可发掘出许多性质，定义和通项公式还可发掘出许多性质，具体内容待后探究具体内容待后探究. .作业：作业：P53P53习题习题2.4A2.4A组：组：1 1，2 2，3 .3 .第二课时第二课时 2.4 2.4 等比数列等比数列问题提出问题提出1.1.什么叫做等比数列？什么叫做等比数列？ 等比数列的递推等比数列的递推公式有哪两种形式？公式有哪两种形式？从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的比等项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
12、的数列叫做等比数列于同一个常数的数列叫做等比数列. . a an n1 1a a n n1 1 a an n2 2 (n2) (n2) 2.2.等比数列的通项公式是什么？等比数列的通项公式是什么？3.3.根据等比数列的定义和通项公式，可根据等比数列的定义和通项公式，可以发掘出等比数列有哪些基本性质？这以发掘出等比数列有哪些基本性质？这是一个值得探究的问题是一个值得探究的问题. .知识探究（一）：知识探究（一）：等比数列概念的拓展等比数列概念的拓展 思考思考1 1：一般地，若一般地，若a a，G G，b b成等比数列，成等比数列，则则G G叫做叫做a a与与b b的等比中项的等比中项. .那么任
13、意两个那么任意两个数数a a和和b b一定存在等比中项吗？一定存在等比中项吗？ 思考思考2 2：若若abab0 0，那么数，那么数a a和和b b的等比中的等比中项有几个？它与数项有几个？它与数a a和和b b有什么关系？有什么关系？ 思考思考3 3：等差数列的各项和公差可以取任等差数列的各项和公差可以取任意实数，等比数列的各项和公比可以取意实数，等比数列的各项和公比可以取任意实数吗？任意实数吗？思考思考4 4：若数列若数列aan n 是等比数列，是等比数列，p为常为常数，那么数列数，那么数列 pa an n ，aan na an n1 1 ，aan n2 2 ， ， aa2n2n,a,a2n
14、2n1 1 还是等比数还是等比数列吗？列吗？ 都不为零都不为零思考思考6 6：类比等比数列定义类比等比数列定义“等积数列等积数列”：从第：从第2 2项起，每一项与它的前一项的积项起，每一项与它的前一项的积等于同一个常数，那么等于同一个常数，那么“等积数列等积数列”有有什么特征？什么特征？ 思考思考5 5：若数列若数列aan n 、 b bn n 都是等比数都是等比数列，那么数列列，那么数列 a an nb bn n ， ，aan nb bn n 还是等比数列吗？还是等比数列吗？ 知识探究（二）：知识探究（二）：等比数列通项公式拓展等比数列通项公式拓展思考思考1 1：在等比数列在等比数列aan
15、n 中，若中，若a a1 10 0，如何讨论等比数列如何讨论等比数列aan n 的单调性？的单调性？ q q1 1时单调递增；时单调递增；0 0q q1 1时单调递减时单调递减. .q q1 1时为常数列；时为常数列；q q0 0是为摆动数列是为摆动数列. . 思考思考2 2：一般地，等比数列一般地，等比数列aan n 的通项公的通项公式可写为式可写为a an nc cqn n. .反之，若反之，若a an nc cqn n (c(cq0)0)，则数列，则数列aan n 一定是等比数列吗一定是等比数列吗？ 思考思考3：设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q，则，则 等于什么？由此可
16、知等于什么？由此可知a an n等于什么？等于什么？ 思考思考4 4：在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a3 3a a8 8与与a a5 5a a6 6有什么关系？有什么关系？a a4 4a a9 9与与a a6 6a a7 7有什有什么关系？么关系？ 思考思考5 5：一般地，在等比数列一般地，在等比数列aan n 中，什中，什么条件下有么条件下有 ？反之成立？反之成立吗？吗？ m mn=pn=pq q思考思考6:6:在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a1 1a an n可以等可以等于什么？于什么？ a a1 1a an na a2 2a an n1 1a a3 3a an
17、 n2 2 理论迁移理论迁移 例例1 1 在等比数列在等比数列aan n 中，已知中，已知 ， ，求，求 . . 例例2 2 在等比数列在等比数列aan n 中，已知中，已知 ， 求该数列前求该数列前7 7项之积项之积. . 2020 21872187 例例3 3 在等比数列在等比数列aan n 中，已知中，已知 求求 . . 例例4 4 已知非零实数已知非零实数a a，b b，c c，d d满足，满足，求证：求证：a a，b b，c c成等比数列成等比数列. .1.1.从等比数列的概念和通项公式出发，从等比数列的概念和通项公式出发，可发掘出等比数列的许多性质，这是一可发掘出等比数列的许多性质
18、，这是一种研究性学习种研究性学习. .适当了解这些拓展性内容，适当了解这些拓展性内容，可以加深对等比数列的理解，提高对等可以加深对等比数列的理解，提高对等比数列的理性认识比数列的理性认识. .小结作业小结作业2.2.求等比数列的通项公式有代入法和待求等比数列的通项公式有代入法和待定系数法两种，已知等比数列的任意一定系数法两种，已知等比数列的任意一项和公比，代入项和公比，代入 可求得其可求得其通项公式通项公式. . 3. 3. 是等比数列的一个重要性质，特别地，是等比数列的一个重要性质，特别地，有有 . .由此可沟通等比数列由此可沟通等比数列的项与项之间的关系，在解题中有着广的项与项之间的关系，在解题中有着广泛的应用泛的应用. . m mn=pn=pq q 作业：作业：P P5454习题习题2.4A2.4A组：组：5 5，6 6，7 7，8.8.
