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1、第七节第七节 旋转体的体积计算旋转体的体积计算内容提要内容提要 1.旋转体的体积；旋转体的体积； 2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积.教学要求教学要求 熟练掌握应用元素法求体积的方法。熟练掌握应用元素法求体积的方法。 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1.旋转体的体积旋转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为取积分变量为取积分变量为 x例例1. 求由曲线求由曲线 ,直线直线x = 1及及x轴所围成的轴所围成的平面图平面图
2、形形 解解绕绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积轴旋转一周所生成的旋转体的体积.oyx由旋转体的体积公式由旋转体的体积公式,得得如图如图, 选选x为积分变量为积分变量例例2. 求由曲线求由曲线 ,直线直线y = 1及及y轴所围成的轴所围成的图形图形 解解分别绕分别绕 x 轴轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积轴旋转一周所生成的旋转体的体积.绕绕 x 轴旋转体的体积轴旋转体的体积,如图如图,选选x为积分变量为积分变量oyx绕绕 y轴旋转体的体积轴旋转体的体积, 选选y为积分变量为积分变量求星形线求星形线绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.解解由由旋转体的体积公式，旋转体的体积公
3、式，知：知： 例例4例例5体积微元体积微元 解解 右半圆弧方程为右半圆弧方程为 左半圆弧方程为左半圆弧方程为环体体积为环体体积为2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积设设一一立立体体位位于于 过过 点点 x=a, x=b 且且垂垂直直于于 x 轴轴的的两两平平面面之之间间， 从而从而用垂直于用垂直于 x 轴的任一平面截轴的任一平面截此立体所得的截面积此立体所得的截面积 A(x) 是是 x 的已知函数，的已知函数，x取取 x 为积分变量，在区间为积分变量，在区间 a, b 上任取一小区间上任取一小区间过其端点作垂直过其端点作垂直 x 轴的平面，轴的平面，x x+dx作体积微元：作体积微元：x x+dxx , x+dx ，以以A(x) 为底，为底，dx 为高作柱体，为高作柱体，用微元法：用微元法：解解 取坐标系如图取坐标系如图底半圆方程为底半圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积例例6 xyo小结小结作业作业:P118. 1(1)(3)，2解解练习练习求摆线求摆线的一拱与的一拱与0=y所围成的所围成的x轴轴 旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解图形绕图形绕练习练习解解 设截面面积为设截面面积为练习练习
