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1、第一节第一节第一节第一节 可测函数及性质可测函数及性质可测函数及性质可测函数及性质第四章第四章 可测函数可测函数编辑ppt1 1 几个常用概念几个常用概念几个常用概念几个常用概念1 1）定义）定义）定义）定义1. “1. “几乎处处成立几乎处处成立几乎处处成立几乎处处成立” ” 编辑ppt2 2）定义）定义）定义）定义2. 2. f(x)是可测集是可测集E上的广义实函数：上的广义实函数：编辑ppt若若 ( Ei 可测且两两不交），可测且两两不交），f(x)在在每个每个Ei上取常值上取常值 ci，则称，则称f(x)是是E上的简单函数；上的简单函数；简单函数简单函数简单函数简单函数3 3）定义）定
2、义）定义）定义3. 3.注注1：如：如：Dirichlet函数是简单函数函数是简单函数注注2：编辑ppt新的积分（新的积分（新的积分（新的积分（LebesgueLebesgue积分积分积分积分, ,从分割值域入手）从分割值域入手）从分割值域入手）从分割值域入手）yiyi-1用用 mEi 表示表示 Ei 的的“长度长度”问题：怎样的问题：怎样的函数函数可使可使Ei 都有都有“长度长度”(测度测度)?编辑ppt2 2 可测函数定义可测函数定义可测函数定义可测函数定义例例1(1) (1) 零集零集零集零集上的任何函数都是可测函数上的任何函数都是可测函数上的任何函数都是可测函数上的任何函数都是可测函数
3、。【分】称外测度为【分】称外测度为0的集合为零测度集；零测度集的的集合为零测度集；零测度集的子子集集仍为零测度集仍为零测度集。定义定义3.设设f(x)是可测集是可测集E上的实函数上的实函数(可取可取 )，若若 可测，则称可测，则称f(x)是是E上的可测函数上的可测函数.注：用注：用与函数相关的集合与函数相关的集合表示函数表示函数f(x) 的性质。（又如：的性质。（又如：p50,11题）题）(2)(2)可测集上的可测集上的可测集上的可测集上的常值函数常值函数常值函数常值函数是可测函数。是可测函数。是可测函数。是可测函数。编辑ppt( (3)简单函数简单函数是可测函数是可测函数若若 ( Ei 可测
4、且两两不交），可测且两两不交），f(x)在在每个每个Ei上取常值上取常值 ci，则称，则称f(x)是是E上的简单函数；上的简单函数；编辑ppt（4 4）可测集）可测集）可测集）可测集E E上的上的上的上的连续函数连续函数连续函数连续函数f(x)f(x)必为可测函数必为可测函数必为可测函数必为可测函数对比：对比：设设f(x)为为(a,b)上有限实函数上有限实函数，( ) ( ) ( )f(x) 在在 处连续处连续(对闭区间对闭区间端点端点则用则用左或右连续左或右连续)设设f(x)为为E上有限实函数，称上有限实函数，称f(x) 在在 处连续处连续编辑ppt可测集可测集可测集可测集E E上的连续函数
5、上的连续函数上的连续函数上的连续函数f(x)f(x)定为可测函数定为可测函数定为可测函数定为可测函数证明：任取证明：任取xEfa, 则则f(x)a,由连续性假设知由连续性假设知，( ) xf(x0)+f(x0)f(x0)-a则则G为开集，当然为可测集，且为开集，当然为可测集，且编辑ppt（5） R R中的可测子集中的可测子集中的可测子集中的可测子集E E上的单调函数上的单调函数上的单调函数上的单调函数f(x)f(x)必为可测函数。必为可测函数。必为可测函数。必为可测函数。aI a x1 x2 由由f单调增知下面的集合为可测集单调增知下面的集合为可测集证明：不妨设证明：不妨设f单调增，对任意单调
6、增，对任意aR编辑ppt可测函数的等价描述可测函数的等价描述可测函数的等价描述可测函数的等价描述定理定理1：设：设f(x)是可测集是可测集E上的广义实函数，则上的广义实函数，则 f(x)在在E上可测上可测证明：证明：编辑ppt编辑ppt编辑ppt例例例例1. 1.设设设设f(x)f(x)为可测集为可测集为可测集为可测集E E上的函数，上的函数，上的函数，上的函数，D D是是是是R R中一个稠密集，中一个稠密集，中一个稠密集，中一个稠密集，若对任意的若对任意的若对任意的若对任意的r r D D，点集，点集，点集，点集xx：f(x)rf(x)r都可测，都可测，都可测，都可测，则任意的则任意的则任意
7、的则任意的a a R R，点集点集点集点集xx：f(x)af(x)a都可测。都可测。都可测。都可测。编辑ppt可测函数的性质可测函数的性质可测函数的性质可测函数的性质(1)(1)可测函数关于可测函数关于子集子集、并集并集的性质的性质l反之，若反之，若 , f(x)限制在限制在En上上是可测函是可测函数，则数，则f(x)在在E上也是可测函数上也是可测函数。l即即:若若f(x)是是E上的可测函数上的可测函数, 可测，可测，则则f(x)限制在限制在E1上也是可测函数；上也是可测函数；【分】【分】【分】【分】编辑ppt例例例例2. 2.在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性在一零测度集上改变函
8、数的取值不影响函数的可测性在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明：令证明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，则，则m E1=0从而从而 g(x)在在E1上可测上可测 ，即：即： 设设f(x)=g(x) a.e.于于E， f(x)在在E上可测，上可测，则则g(x)在在E上也可测上也可测 .注：用到了注：用到了可测函数关于子集、并集的性质可测函数关于子集、并集的性质另外另外f(x)在在E2上可测，从而上可测，从而 g(x)在在E2上也可测上也可测 ，进，进一步一步g(x)在在E=E1 E2上也可测上也可测 。编辑ppt可测函数类关于
9、四则运算封闭可测函数类关于四则运算封闭可测函数类关于四则运算封闭可测函数类关于四则运算封闭即即:若若f(x),g(x)是是E上的可测函数上的可测函数,则则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)仍为仍为E上的可测函数。上的可测函数。a-g(x) r f(x)类似于证明：设类似于证明：设f(x),g(x)是是E上可测函数，则上可测函数，则 为可测集为可测集。编辑ppt证明中利用了证明中利用了Q是可数集。是可数集。a-g(x) r f(x)编辑ppt再证，若再证，若再证，若再证，若f(x),g(x)f(x),g(x)是是是是E E上的可测函数上的可
10、测函数上的可测函数上的可测函数, ,则则则则f(x) g(x)f(x) g(x)仍为仍为仍为仍为E E上的可测函数上的可测函数上的可测函数上的可测函数。注：若注：若f(x),g(x)是是E上的可测函数上的可测函数,则则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x)为为E上的可测函数参见教材上的可测函数参见教材p81-82.再利用再利用f(x)g(x) =(f(x)+g(x)2 - (f(x) -g(x)2/4即可即可其次，其次，f2(x)在在E上可测，因为对任意上可测，因为对任意aR证明：首先，对任意非证明：首先，对任意非0数数c，cf(x)为可测函数。为可测函数。编辑ppt可测函数类关于确界运算
11、和极限运算封闭。可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。若若f n(x)是是E上的可测函数上的可测函数,则下列函数仍为则下列函数仍为E上的可测函数上的可测函数。编辑ppt推论：可测函数列的推论：可测函数列的推论：可测函数列的推论：可测函数列的极限函数仍为极限函数仍为极限函数仍为极限函数仍为可测函数可测函数可测函数可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。编辑ppt例例例例3 3： R R1
12、 1上的可微函数上的可微函数上的可微函数上的可微函数f(x)f(x)的导函数的导函数的导函数的导函数f (x)f (x)是可测函数是可测函数是可测函数是可测函数利用了可测函数列的利用了可测函数列的极限函数极限函数仍为可测函数仍为可测函数.从而从而f (x)是一列连续函数（当然是可测函数）是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故的极限，故f (x)是可测函数是可测函数. 证明：由于证明：由于gn(x)编辑ppt例例例例4 4 设设设设f fn n 是可测函数列，则它的收敛点全体和是可测函数列，则它的收敛点全体和是可测函数列，则它的收敛点全体和是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集发
13、散点全体是可测集发散点全体是可测集发散点全体是可测集. .证明：发散点全体为证明：发散点全体为 收敛点全体为收敛点全体为再编辑pptl若若f(x)是是E上的可测函数上的可测函数,则则f(x)总可表示成一列简单函数总可表示成一列简单函数的极限的极限 ，而且还可办到，而且还可办到可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系可测函数与简单函数的关系l若若f(x)在在E上非负可测上非负可测,则则f(x)总可表示成一列简单函数总可表示成一列简单函数的极限的极限 ，而且还可办到，而且还可办到定理定理2（非负（非负可测函数与简单函数的关系）可测函数与简单函数的关系）可测函数与简单
14、函数的关系）可测函数与简单函数的关系）思路：构造一个递增的简单函数列逼近思路：构造一个递增的简单函数列逼近思路：构造一个递增的简单函数列逼近思路：构造一个递增的简单函数列逼近f(x).f(x).即：如何用简单函数来即：如何用简单函数来即：如何用简单函数来即：如何用简单函数来“ “近似近似近似近似” ”表示出表示出表示出表示出f(x)f(x)，使得使得使得使得“ “近似近似近似近似” ”的效果越来越好（定义域细分的方法）的效果越来越好（定义域细分的方法）的效果越来越好（定义域细分的方法）的效果越来越好（定义域细分的方法）. .编辑pptMmMmMmn0编辑ppt证明：令证明：令证明：令证明：令编
15、辑ppt下面讨论下面讨论一般一般可测函数可测函数可测函数可测函数与非负与非负与非负与非负可测函数的可测函数的可测函数的可测函数的关系关系关系关系。定义定义4：设设f(x)是集合是集合E上的广义实函数，上的广义实函数，编辑ppt定理定理3（一般（一般可测函数与简单函数的关系）可测函数与简单函数的关系）可测函数与简单函数的关系）可测函数与简单函数的关系）l若若f(x)是是E上的可测函数上的可测函数,则则f(x)总可表示成一列简单函数总可表示成一列简单函数的极限的极限 ，而且还可办到，而且还可办到证明：证明：编辑ppt编辑ppt推论：推论：f( x)是可测函数当且仅当是可测函数当且仅当f(x)可以表
16、示为一个简单函数列的极限。可以表示为一个简单函数列的极限。编辑ppt例例例例5 5：设：设：设：设f(x)f(x)是是是是R R上上上上连续函数连续函数连续函数连续函数，g(x)g(x)是是是是E E上上上上可测函数可测函数可测函数可测函数，则，则，则，则f( f( g(x)g(x)是可测函数。是可测函数。是可测函数。是可测函数。【分】：思路【分】：思路1：利用可测函数的定义直接证明。：利用可测函数的定义直接证明。要证要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意是可测函数，只要证对任意a，Ef ga=x| f( g(x)a可测即可可测即可,x| f( g(x)a= (f g)-1(a,+) =
17、g-1(f-1(a,+)f-1(a,+)=f(x)f(x)是是是是R R上上上上连续函数，由连续函数，由连续函数，由连续函数，由p49p49习题习题习题习题8 8知，开集的原像是开集：知，开集的原像是开集：知，开集的原像是开集：知，开集的原像是开集：思路思路2：利用可测函数的相关结论（等价条件、其：利用可测函数的相关结论（等价条件、其运算规则等）间接证明。运算规则等）间接证明。要证要证h(x)=f( g(x)是可测函数当且仅当是可测函数当且仅当h(x)可以表示可以表示为一个简单函数列的极限。为一个简单函数列的极限。编辑ppt注：注：注：注：f(x)f(x)是是是是R R上可测函数，上可测函数，
18、上可测函数，上可测函数，g(x)g(x)是是是是R R上连续函数，上连续函数，上连续函数，上连续函数，f( g(x)f( g(x)不一定不一定不一定不一定是可测函数是可测函数是可测函数是可测函数（参见：实变函数，周民强，（参见：实变函数，周民强，p141例例3)证法证法1：要证：要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意是可测函数，只要证对任意a， (Ef ga)=x| f( g(x)a可测即可可测即可,由于由于f在在R上连续，故上连续，故f-1(a,+) 为为R中的开集中的开集，再由再由g可测，可知可测，可知(Ef ga)=x| f( g(x)a= (f g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+) （*）f-1(a,+)=故，故，（*）=编辑ppt例例例例5 5 ：设：设：设：设f(x)f(x)是是是是R R上上上上连续函数连续函数连续函数连续函数，g(x)g(x)是是是是E E上上上上可测函数可测函数可测函数可测函数，则，则，则，则f f( g(x)( g(x)是可测函数。是可测函数。是可测函数。是可测函数。注：注：证法证法2：若：若g(x)是是E上的可测函数上的可测函数,则则g(x)总可表示成总可表示成一列一列简单函数简单函数 的极限的极限因为因为f(x)连续，故连续，故所以所以f( g(x)是简单函数列的极限，故为可测函数是简单函数列的极限，故为可测函数编辑ppt
