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1、几何体体积常见求法二、等体积转化法：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积。三、割补法不但是立体几何中求角、 距离的常用方法， 而且也是求几何体体积的常用方法 它包括把规则的几何体割补成易求体积的几何体， 也包括把不规则的几何体割补成规则的几何体， 以便求体积一、一、直接法直接法CPAB解法一：易知AO是PA的射影，且AO是BAC的平分线。故VP-ABC=O例例1由三余弦定理而,解法二（换底法）解法二（换底法）PABCD （割体法）取AB、AC的中点M、N，解法三：连接PM、PN、MN，则P-AMN是一个棱长为1的正四面体。明显地，VP-ABC=4V
2、P-AMN故VP-ABC=MNPABCPABCOQ解法四： 明显地，P-ABC是棱长为2的正四面体，所以，VP-ABC=1/2VQ-ABC （补体法）（补体法）延长AP至点Q， 连接BQ、CQ，ABCDE练习1： 正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，将它沿EC、ED折起，使A、B重合为点P，求三棱锥P-ECD的体积。PECD例2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,求三棱锥B1AD1C的体积。ABCDA1B1C1D1变式，四面体S-ABC的三组对棱分别相等，且依次为 ， 求该四体的体积。分析：由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对的面上的对角线相等，因此可将四面体补成一个长方
3、体来解。SBDC例3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF/AB，EF垂直AE，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积( )。ABCDEF法一：分别取AB、CD的中点G、H连EG，GH，EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积 ，整个多面体的体积为 故选DABCDEFGH法三.由已知条件可知，EF平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2，将几何体变形如图，使得EG=AB，三棱锥F-BCG的体积为： 原几何体的体积为： ABCDEFG解：法三：如下图所示，连接BE、CE则四棱锥E-ABCD的体积VE-AB
4、CD= 3332=6，又整个几何体大于四棱锥E-ABCD的体积，所求几何体的体积V求VE-ABCD，ABCDEF例4.三棱锥P-ABC中，已知PABC，PA=BC=a ，EDPA ，EDBC ,ED=h, 求三棱锥的体积。PABCED求体积的求体积的常用方法常用方法所给的是非规范所给的是非规范( (或条件比较分散的规或条件比较分散的规范的范的) )几何体时几何体时, ,通过对图象的割补或体通过对图象的割补或体积变换积变换, ,化为与已知条件直接联系的规化为与已知条件直接联系的规范几何体范几何体, ,并作体积的加、减法。并作体积的加、减法。小结当按所给图象的方位不便计算时当按所给图象的方位不便计算时, ,可选可选择条件较集中的面作底面择条件较集中的面作底面, ,以便计算底以便计算底面积和高面积和高. .所给的是规范几何体所给的是规范几何体, ,且已知条件比较且已知条件比较集中时集中时, ,就按所给图象的方位用公式直就按所给图象的方位用公式直接计算体积接计算体积.换底法换底法直接法直接法割补法割补法
