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1、探索勾股定理探索勾股定理俄国伟大的文学家列夫俄国伟大的文学家列夫托尔斯泰在他所著的托尔斯泰在他所著的一个人需要很多土地吗？一个人需要很多土地吗？中写了一个发人深思的故事：一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地，卖地中写了一个发人深思的故事：一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地，卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天每天10001000卢布。卢布。”巴河姆觉得这个条件对自己有利，于是他付了巴河姆觉得这个条件对自己有利，于是他付了10001000卢布，太阳刚刚从地平线卢布，太阳刚刚从地平线升起就在草原上大步向前走去，他走了足足升起就在草原上大步向前走去，他走了足足 8 8
2、俄里（俄里（1 1俄里俄里1.06681.0668千米）千米）这时才朝左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯，这样又走了这时才朝左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯，这样又走了2 2俄里，这俄里，这时，他发现天色不早，而自己离清晨出发点足足还有时，他发现天色不早，而自己离清晨出发点足足还有1717俄里，于是他只得马俄里，于是他只得马上改变方向，径直朝出发点拼命跑去，最后巴河姆总算在日落前回到了出发上改变方向，径直朝出发点拼命跑去，最后巴河姆总算在日落前回到了出发点。点。8217你知道巴河姆这一天一共走了多少路？他能得到的土地面积是多少？情境引入情境引入导学目标1、用数格子的办法探索勾股定理的过程
3、，进一步发展合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。自学指导阅读课本P2-p41、你知道皮克公式吗？、你知道皮克公式吗？2、我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他、我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有星球上有没有“人人”，我们可以发射下面，我们可以发射下面的图形，如果他们是的图形，如果他们是“文明人文明人”，必定认，必定认识这种识这种“语言语言”，ABCABC（图中（图中每个小方格代表一个单位面积）每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（1）观察图）观察图1-1
4、 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B的的面积是面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。99918你是你是怎样得到上面的结怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。果的？与同伴交流交流。123（2）CABABC 正方形周边上正方形周边上的格点数的格点数a=12正方形内部的正方形内部的格点数格点数b=13利用皮克公式利用皮克公式所以，正方形所以，正方形C的的面面积为：积为： （单位面积）（单位面积） 返回返回图图1-1图图1-2ABCABC（图中（图中每个小方格代表一个单位面积
5、）每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2分割成若干个直角边分割成若干个直角边为整数的三角形为整数的三角形（单位面积）单位面积） 返回返回ABCABC（图中（图中每个小方格代表一个单位面积）每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（单位面积）（单位面积）把把C看成边长为看成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半 返回返回ABCABC（图中（图中每个小方格代表一个单位面积）每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（2）在）在图图1-2中，正中，正方形方形A，B，C中各含中各含有多少个小方格？它有多少个小方格？它们的面积各是多少？们的面积各是多少？（3）你）你能能发现图发现
6、图1-1中三个正方形中三个正方形A，B，C的面积之间有什的面积之间有什么关系吗？么关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积（3）ABC图图1-3ABC图图1-4（1）观察图）观察图1-3、图、图1-4，并填写右表：并填写右表： A的面积的面积（单位面积）（单位面积） B的面积的面积（单位面积）（单位面积） C的面积的面积（单位面积）（单位面积）图图1-3图图1-4169254913你是怎样得你是怎样得到表中的结到表中的结果的？与同果的？与同伴交流交流。伴交流交流。做一做做一做ABC图图1-3A
7、BC图图1-4分割成若干个直角边为分割成若干个直角边为整数的三角形整数的三角形（面积单位）（面积单位）ABC图图1-3ABC图图1-4（2）三个）三个正方形正方形A，B，C的面的面积之间有什积之间有什么关系？么关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积ABC图图1-3ABC图图1-4（1）你能用三）你能用三角形的边长表示角形的边长表示正方形的面积吗正方形的面积吗？（2）你能发现）你能发现直角三角形三边直角三角形三边长度之间存在什长度之间存在什么关系吗？与同么关系吗？与同伴进行交流。伴进行交流。（3）分
8、别以）分别以5厘米、厘米、12厘米为直角边作出一厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中）中的规律对这个三角形仍然成立吗？的规律对这个三角形仍然成立吗？议一议议一议勾股定理（勾股定理（gou-gugou-gu theorem) theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜斜边为边为c，那么那么即即 直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。于斜边的平方。abc勾勾股股弦弦在西方又称毕达在西方又称毕达哥拉斯定理耶！哥拉斯定理耶！例例1 如下图，如下图，A、B两点都与平面镜相距两点
9、都与平面镜相距4米，且米，且A、B两点相距两点相距6米，一束光线由米，一束光线由A射向平面镜反射向平面镜反射之后恰巧经过射之后恰巧经过B点点.求求B点到入射点的距离点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出解：作出B点关于点关于CD的对称点的对称点B，连结，连结AB，交，交CD于点于点O，则，则O点就是光的入射点点就是光的入射点.因为因为BD=DB.所以所以BD=AC.BDO=OCA=90，B=CAO所以所以BDOACO(SSS)则则OC=OD=AB=6=3米米.连结连结OB，在，在RtODB中，中，OD2+BD2=OB2所以所以OB2=3
10、2+42=52，即，即OB=5(米米).所以点所以点B到入射点的距离为到入射点的距离为5米米. 小小明的明的妈妈买了一部妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘厘米）的电视机。小明量了电视机的屏米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有幕后，发现屏幕只有58厘米长和厘米长和46厘厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的我们通常所说的29英寸或英寸或74厘米的电视厘米的电视机，是指其荧屏对角机，是指其荧屏对角线的长度线的长度售货员没搞错售货员没搞错想想一一想想荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为74厘米厘米小结小
11、结说说这节课你有说说这节课你有什么收获？什么收获？内容总结：探索直角三角形两直角边的内容总结：探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；利用勾股定理平方和等于斜边的平方；利用勾股定理解决实际问题。解决实际问题。方法总结：方法总结：数方格看图找关系，利用面积不数方格看图找关系，利用面积不变的方法；变的方法；用直角三角形三边表示三个正方形面积用直角三角形三边表示三个正方形面积观察归纳发现勾股定理观察归纳发现勾股定理任意画一个直角三任意画一个直角三角形，再验证自己的发现。角形，再验证自己的发现。延伸拓展1、情境引入中的、情境引入中的“围地围地”问题。问题。2、如图，一艘船在、如图，一艘船在A处要
12、到达小岛处要到达小岛B处，但处，但AB之间有暗礁，之间有暗礁，为了行船安全，船先向正西方向行驶了为了行船安全，船先向正西方向行驶了400海里，再向正南方海里，再向正南方向行驶了向行驶了300海里便到达了小岛海里便到达了小岛B，请你计算请你计算A与与B之间的直线之间的直线距离是多少？距离是多少？3、高速公路上有、高速公路上有A、B两站相距两站相距25km，C、D为两个小集镇，为两个小集镇，DAAB与与A，CBAB与与B,已知已知DA15km，CB10km，现在要在公路现在要在公路AB边上建设一个土特产收购站边上建设一个土特产收购站E，使得使得C、D两两镇到镇到E站的距离相等，则站的距离相等，则E
13、站应建在距站应建在距A站多少千米处？站多少千米处？B BA AD DB BA AE EC C作业作业一、一、P P6 6 习题习题1.1 1.1 第第1 1、2 2、3 3、4 4题题二、准备二、准备4 4张全等的直角三角形纸片张全等的直角三角形纸片abc怎样寻找勾股数：怎样寻找勾股数：1、牢记几组常用的勾股数、牢记几组常用的勾股数3、4、5； 6、8、10； 5、12、13；2、利用公式来推导、利用公式来推导X=m2-n2 y=2mn z=m2+n2(m、n是任意两个正整数，且是任意两个正整数，且mn)下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙
14、那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.检测检测图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？图中（1）（2）的面积之和是多少？图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.图中（1）（2）面积之和为a2+b2
15、.图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个RtABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.检测检测解：根据题意得：RtADERtAEFAFE=90,AF=10cm,EF=DE设CE=xcm，则DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6cm
16、CF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x)2=x2+426416x+x2=x2+16x=3(cm),即CE=3cm勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理：ABC直角三角形中，两直角直角三角形中，两直角边边a、b的平方和等于斜的平方和等于斜边边c的平方的平方即即+ = 在中国古代大约是战国时期西汉在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作的数学著作周髀算经周髀算经中记录着中记录着商商高高同周公的一段对话。商高说：同周公的一段对话。商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高这段话的意思就是说：当直角商高这段话的意思
17、就是说：当直角三角形的两条直角边分别为三角形的两条直角边分别为3 3（短边）（短边）和和4 4（长边）时，径隅（就是弦）则（长边）时，径隅（就是弦）则为为5 5。以后人们就简单地把这个事实。以后人们就简单地把这个事实说成说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。故称之为。故称之为“勾股定理勾股定理”或或“商高定理商高定理”在西方，希腊数学家欧几里德（在西方，希腊数学家欧几里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右的人）在编著是公元前三百年左右的人）在编著几何原本几何原本时，认为这个定理是毕达时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流，以后就流传开了。传开了。 毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年商高晚出生五百多年 相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有祭神，由此，又有“百牛定理百牛定理”之称。之称。再见再见
