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1、实验一实验一 测量误差及实验数据处理测量误差及实验数据处理第一节第一节 误差的基本概念误差的基本概念n n一、测量及误差的定义一、测量及误差的定义n n1测量的定义及分类n n 测量就是将被测量与被定为标准的同一物理量的单位量进行比较，并确定其比值的过程。n n 根据获得测量数据途径的不同或测量条件的不同，测量可分为直接测量和间接测量、等精度测量和不等精度测量。n n直接测量:n n 是指被测量可以直接从测量仪器（或量具）上读出其数值的测量。n n 间接测量:n n 是指被测量不能用直接测量的方法得到，而是利用若干个直接测量值通过一定的函数关系计算出被测量的数值。 n n等精度测量:n n是指
2、对一被测量进行重复测量时，认为各次测量数据是在相同测量条件下得到的，也就是说在测量仪器、测量方法、测量人员及测量环境均不变的情况下对同一物理量进行重复测量，所得到的每个测量值都有相同的精度，或者说具有相同的可信赖程度。n n不等精度测量:n n就是各次测量数据的精度是不同的。n n 在以下的讨论中所涉及的测量数据均为等精度的情况。 n n2、误差的定义n n真值：物理量所具有的客观的真实数值。n n真值尽管存在，但是一个理想概念，通常不可能确切知道。n n约定真值：能够用来代替真值的称为约定真值。n n无系统误差的条件下，算术平均值、标准值、公认值、理论值可以认为是约定的真值。实际中多用算术平
3、均值。n n 测量误差:测量值与被测量真值之差。n n记为： x=xi-x0n n其中x为测量误差xi为测量值，x0为被测量真值。n n二、绝对误差和相对误差n n绝对误差: 定义式为x=xi-x0中，x就称做绝对误差。n n相对误差: 相对误差是绝对误差与真值的比值，即： E=|x | /x0n n 相对误差通常用百分数表示，故也称百分误差。n n绝对误差可表示某一测量结果的优劣,相对误差用于表示不同测量结果的优劣。第二节第二节 误差的分类及其特点误差的分类及其特点n n 测量误差的来源是多方面的，仅就其性质而言，误差可分为系统误差和随机误差两类。n n一、系统误差一、系统误差:n n 在相
4、同条件下多次测量同一物理量时，误差的大小恒定，符号总偏向一方或误差按照某一确定的规律变化，称为系统误差。n n 根据对误差的大小、方向及变化规律掌握的程度，系统误差可分为已定误差和未定系统误差。n n n n 已定系统误差:大小、方向和变化规律都已确切掌握了的误差。(还可进一步分为定值可进一步分为定值系统误差和变值系统误差系统误差和变值系统误差 )n n n n 未定系统误差:是指误差虽有确定的规律，但这一规律比较复杂或尚不确知，大小和方向不能确切掌握的误差。n n1、系统误差产生的原因及其特点n n 系统误差产生的原因有以下几个方面：仪器误差、理论和实验方法误差、实验人员的误差。n n 系统
5、误差的特点是：规律性、重现性和可修正性。n n2、发现系统误差的方法有：资料分析法、理论分析法、实验对比法、残差法等。n n3、消除或减小系统误差的方法有：消除产生系统误差的因素、修正法、抵消法、交换法、对称测量法等。n n二、随机误差二、随机误差n n1、随机误差及产生的原因n n 随机误差：是指测量中出现的大小和方向都难以预料，且变化方式不可预知的测量误差。但当测量次数足够多时，随机误差的出现和分布总是服从一定的统计规律。n n 随机误差产生的原因是由于实验过程中存在的某些不可预料或未被掌握而不能控制的偶然因素。n n2、随机误差的分布规律及特性 n n（1）正态分布规律 n n 标准化的
6、正态分布曲n n线如右图所示。图中横n n轴x表示测量值，纵轴n n表示概率密度f（x） m- m m+ Xf(x)n nm称为总体平均值。 n n称为正态分布的标准偏差，是表征测量分散性的一个重要参量。n n n n测量值落在（m，m+）区间的概率为P。由定积分计算可得出，其值P=68.3%。如将区间扩大到2倍，则x落在（m2，m+2）区间中的概率为95.4%。x落在（m3，m+3）区间中的概率为99.7%。 n n图上表现出以下几个特点：n n 有界性：绝对值特大的误差出现的机率为0n n 单峰性：小误差出现的几率比大误差大。n n 对称性：绝对值相等的误差出现几率相等。n n 抵偿性：
7、n 时，曲线完全对称，Xi=0 。n n（2）有限次测量时，单次测量值的标准差Sn n贝塞耳公式：n n（2）有限次测量时，单次测量值的标准差Sn n贝塞耳公式：n nS是从有限次测量中计算出来的对总体标准偏差的最佳估计值，称为实验标准差。其相应的置信概率接近于68.3%，但不等于68.3%。 n n三、系统误差与随机误差的联系三、系统误差与随机误差的联系三、系统误差与随机误差的联系三、系统误差与随机误差的联系n n 测量的总误差由系统误差和随机误差的共同测量的总误差由系统误差和随机误差的共同测量的总误差由系统误差和随机误差的共同测量的总误差由系统误差和随机误差的共同构成。这两类误差不是对立的
8、，甚至有时会遇到构成。这两类误差不是对立的，甚至有时会遇到构成。这两类误差不是对立的，甚至有时会遇到构成。这两类误差不是对立的，甚至有时会遇到两种误差难以严格区分的情况。两种误差难以严格区分的情况。两种误差难以严格区分的情况。两种误差难以严格区分的情况。n n举例举例举例举例: :n n n n四、精密度、正确度和准确度四、精密度、正确度和准确度 n n1、精确度n n 精密度是指对同一被测量作多次重复测量时，各次测量值之间彼此接近或分散的程度。它是对随机误差的描述，它反映随机误差对测量的影响程度。随机误差小，测量的精密度就高。n n2 2、正确度、正确度n n 正确度是指被测量的总体平均值与
9、其真值接近正确度是指被测量的总体平均值与其真值接近或偏离的程度。或偏离的程度。它是对系统误差的描述它是对系统误差的描述，它反映，它反映系统误差对测量的影响程度。系统误差小，测量系统误差对测量的影响程度。系统误差小，测量的正确度就高。的正确度就高。n n3 3、准确度、准确度n n 准确度是指各测量值之间的接近程度和其总体准确度是指各测量值之间的接近程度和其总体平均值对真值的接近程度。它包括了精密度和正平均值对真值的接近程度。它包括了精密度和正确度两方面的含义。确度两方面的含义。它反映随机误差和系统误差它反映随机误差和系统误差对测量的综合影响程度对测量的综合影响程度。只有随机误差和系统误。只有随
10、机误差和系统误差都非常小，才能说测量的准确度高。差都非常小，才能说测量的准确度高。 第三节第三节 直接测量结果的表示直接测量结果的表示 n n一、直接测量结果的表示一、直接测量结果的表示 n n直接测量结果的表示式为：n n X=x（单位）n n其中其中X X为测量结果，为测量结果，x x为被测量值，为被测量值， 为总不确定为总不确定度。此式表示被测量的真值（实际值）一般位于度。此式表示被测量的真值（实际值）一般位于（xx），（），（x + x + ）之间。）之间。 n n1、被测量值x：n n 一般取等精度多次测量的平均值。n n 需考虑已定系统分量时：n n x=平均值-已定系统误差 n
11、n2、的计算n n 总不确定度从评定方法上分为两类分量：n nA：多次重复测量时用统计方法计算的分量； n n 当n取6-10次时A=S； n nB：用非统计方法评定的分量。n n 在直接测量中B可近似取计量器具的误差限制ins，ins一般由实验室根据具体情况给定。 n n n n例题：例题：用螺旋测微计测量小钢球的直径，共测用螺旋测微计测量小钢球的直径，共测6 6次，得次，得6.995mm, 6.998mm, 6.995mm, 6.998mm, 6.997mm,6.994mm,6.993mm,6.994mm,6.997mm,6.994mm,6.993mm,6.994mm,测量前螺旋测微计零点
12、读数值（即已定测量前螺旋测微计零点读数值（即已定系统误差）为系统误差）为-0.004mm-0.004mm，螺旋测微计的示值误差限，螺旋测微计的示值误差限ins=0.004mmins=0.004mm，试写出测，试写出测量结果的表达式。量结果的表达式。n n 解解 n n步骤（步骤（1 1）n n对已定系统误差进行修正：对已定系统误差进行修正：n n n n （2 2）用贝塞尔公式求标准偏差：）用贝塞尔公式求标准偏差：n n 由于测量次数为由于测量次数为6 6次，所以次，所以A=S=0.0019mmA=S=0.0019mmn n （3 3）取）取B=ins=0.004mmB=ins=0.004mm
13、n n （4 4）总不确定度为：）总不确定度为：n n （5 5）测量结果）测量结果n n n n二、相对不确定度二、相对不确定度n n 相对不确定度相对不确定度Ur=不确定度不确定度/被测量值被测量值第四节第四节 间接测量结果的表示间接测量结果的表示n n 间接测量的结果一般也表示成：n n （单位）n n 其中X为测量结果， 为被测量的最佳估计值，为总不确定度。n n一、间接测量量的最佳估计值一、间接测量量的最佳估计值 n n n n设x=F（p、q、r.）n n则n n即只需把个直接测量量的最佳估计值代入函数表达式，就可算出间接测量量的最佳估计值 n n二、间接测量量的不确定度评定二、间
14、接测量量的不确定度评定n n p，q，r是直接测量量是直接测量量p，q，r的总不确定度，的总不确定度，x的扩展不确定度的扩展不确定度x等于各直接测量量的总不确定度与相应偏等于各直接测量量的总不确定度与相应偏导数乘积的方和根。导数乘积的方和根。 相对不确定度:一式适用于和差形式的函数，二式适用于积商形式的函数。 n n例题：例题：用流体静力法测固体密度的公式为用流体静力法测固体密度的公式为 测得测得 ，n n ， n n 求相对不确定度求相对不确定度 ， 及最后结果表达式及最后结果表达式n n解：解：n n 由由n n n n 可得：可得：n n n n n n 所以：所以：n n 而：而：n
15、n n n测量结果表达式：测量结果表达式：n n相对不确定度：相对不确定度：第五节第五节 有效数字有效数字n n一、有效数字的概念一、有效数字的概念 n n1.有效数字的定义：n n 有效数字定义为可靠数字加上可疑数字。n n 可靠数字是测量中能够准确读出的数字， n n 可疑数字是通过估计读出的数字。n n 测量误差对应在有效数字的可疑位上 n n 2. 2.几点说明：几点说明：n n （1 1）运算中，常数的有效数字一般比参与运算）运算中，常数的有效数字一般比参与运算的其它数据的有效数字位数多取的其它数据的有效数字位数多取1-21-2位。位。n n （2 2）数据中，出现在第一个非零数字右
16、边的）数据中，出现在第一个非零数字右边的“ “0 0” ”是有效数字。是有效数字。n n （3 3）有效数字的位数与单位（或小数点的位置）有效数字的位数与单位（或小数点的位置）无关。无关。n n （4 4）在科学记数法中，指数的系数部分是有效）在科学记数法中，指数的系数部分是有效数字，小数点一般放在第一位数字的后面。数字，小数点一般放在第一位数字的后面。n n3.有效数字尾数的截取法则：n n n n “4舍6入5凑偶” n n4.测量结果的表示n n n n 不确定度数字所在位应该与测量结果可疑数字所在位对齐。n n n n 不确定度一般取1-2位，当不确定度第一位数字较小时通常取2位，所以
17、，有效数字中的可疑位也与之对应取1-2位。n n二、有效数字的运算二、有效数字的运算 n n 总的规则是：可靠数字与可靠数字运算后仍为可靠数字，可疑数字与可疑数字运算后仍为可疑数字，可靠数字与可疑数字运算后为可疑数字，进位数可视为可靠数字。 n n n n 对于已经给出了不确定度的有效数字，在运算时应先计算出运算结果的不确定度，然后根据它决定结果的有效数字位数。 第六节第六节 实验数据的处理方法实验数据的处理方法n n一、列表法一、列表法一、列表法一、列表法n n基本原则：基本原则：基本原则：基本原则：n n （1 1）各栏目（纵或横）均应标明名称及单位，）各栏目（纵或横）均应标明名称及单位，
18、）各栏目（纵或横）均应标明名称及单位，）各栏目（纵或横）均应标明名称及单位，若名称用自定的符号，则需加以说明。若名称用自定的符号，则需加以说明。若名称用自定的符号，则需加以说明。若名称用自定的符号，则需加以说明。 n n （2 2）列入表中的数据主要应是原始测量数据，）列入表中的数据主要应是原始测量数据，处理过程中的一些重要中间计算结果也应列入表处理过程中的一些重要中间计算结果也应列入表中。中。n n （3 3）栏目的顺序应充分注意数据间的联系和）栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算的顺序，力求简明、齐全，有条理。计算的顺序，力求简明、齐全，有条理。n n （4 4）若是函数测量关系的数据表
19、，则应按自）若是函数测量关系的数据表，则应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列。变量由小到大或由大到小的顺序排列。n n二、作图法二、作图法二、作图法二、作图法 n n1. 1.应用：应用：n n （1 1）分析物理量之间的变化规律、验证理论或）分析物理量之间的变化规律、验证理论或找出经验公式；找出经验公式；n n （2 2）可在曲线上两点间求值也可在其延长线上）可在曲线上两点间求值也可在其延长线上求值；求值；n n （3 3）若得到的是直线，可求出直线的斜率和截）若得到的是直线，可求出直线的斜率和截距，从而获得与之相关的物理量数值；距，从而获得与之相关的物理量数值；n n （4 4）可把某些
20、曲线关系用直线表示（曲线改直）可把某些曲线关系用直线表示（曲线改直）。n n2. 2.要求：要求：n n （1 1）一定要用坐标纸。）一定要用坐标纸。n n （2 2）标明坐标轴代表的物理量名称（或符号）和单位。）标明坐标轴代表的物理量名称（或符号）和单位。一般用一般用x x轴代表自变量，用轴代表自变量，用y y轴代表因变量。轴代表因变量。n n （3 3）确定（标明）坐标轴单位长度所代表的物理量值及）确定（标明）坐标轴单位长度所代表的物理量值及坐标原点数值。坐标原点数值。n n （4 4）标出数据点。在坐标图上用）标出数据点。在坐标图上用“ “” ”或或“ “ ” ”等符号等符号标出数据点的
21、位置；同一张坐标纸上要画不同的曲线时，标出数据点的位置；同一张坐标纸上要画不同的曲线时，要用不同的符号标数据点。要用不同的符号标数据点。n n （5 5）连线。连线时应使用直尺或曲线板把点连成直线或）连线。连线时应使用直尺或曲线板把点连成直线或光滑曲线；应使曲线尽量通过大多数点，其它点应靠近曲光滑曲线；应使曲线尽量通过大多数点，其它点应靠近曲线两侧均匀分布，对个别偏离大的点应进行分析。线两侧均匀分布，对个别偏离大的点应进行分析。n n （6 6）注明绘制的曲线名称、绘制人姓名、绘制日期。）注明绘制的曲线名称、绘制人姓名、绘制日期。n n三、逐差法三、逐差法n n 当自变量与因变量之间成线性关系
22、，自当自变量与因变量之间成线性关系，自变量按等间距变化，且自变量的误差远小变量按等间距变化，且自变量的误差远小于因变量的误差时，可使用逐差法计算因于因变量的误差时，可使用逐差法计算因变量变化的平均值。变量变化的平均值。 n n 优点：优点：n n （1）保证了全部测量数据被充分利用；）保证了全部测量数据被充分利用； n n （2）计算得到的平均值减小了误差。）计算得到的平均值减小了误差。 n n四、最小二乘法四、最小二乘法n n n n 最小二乘法是一种常用的数学方法。最小二乘法是一种常用的数学方法。在实验中常常使用这种方法处理数据，以在实验中常常使用这种方法处理数据，以求得经验公式。求得经验公式。 1、 用精度为1的测量1块三棱镜的顶角A，共测8次，其测得值分别为59027， 59031， 59024， 59028， 59032， 59033， 59025， 59020。设已定系统误差为2 ，测顶角时，仪器误差限ins为2，试写出顶角A测量结果。 2、 计算间接测量结果的最佳估计值和不确定度，并写出测量结果。 已知 A=（81.30.5）cm2 B=（2.3620.003）cm2 C=（0.5530.001）cm2 D=（3712）cm2 求 （1）N=A+B-C+D (2)
