第一章第一章 集合上的数学结构集合上的数学结构（抽象空间）（抽象空间）4.4.线性赋范空间线性赋范空间一、线性赋范空间概念与性质一、线性赋范空间概念与性质二、有限维线性赋范空间二、有限维线性赋范空间有限维线性赋范空间的基本性质有限维线性赋范空间的基本性质: :有限维线性赋范空间都是完备的有限维线性赋范空间都是完备的指恩格嘛百糖窿稚云僳涎茹停箱楞李涪滇敞赐疹院馒龙而蹬靖檬伤烦插两【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间1 u一、线性赋范空间的概念和性质一、线性赋范空间的概念和性质·定义定义4.1 4.1 设设V V是数域是数域F F上的线性空间上的线性空间. . 如果如果 x x V,V,对应一个非负实数对应一个非负实数‖‖,‖‖, 即即V VR R是一泛函是一泛函, ,满足满足: : (1)(1) x x V,‖x‖≥0;‖x‖=0V,‖x‖≥0;‖x‖=0x=x= . . (2)(2) k k F,xF,x V,‖kx‖=|k|‖x‖.V,‖kx‖=|k|‖x‖. (3)(3) x,yx,y V,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,V,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖, 则称则称‖x‖(x‖x‖(x V)V)为为x x的范数的范数,V,V成为成为F F上的线性上的线性 赋范空间赋范空间. .孵啡液金坏他攘鬼丘莆脾蔓赔避喻莱控痴汀大墙朝蒲鸦该鹊耳捅练盈搞置【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间2 设设V V是线性赋范空间。
定义映射：是线性赋范空间定义映射： ：：V V V VR R，， (x,y)=‖x–y‖(x,y∈V)(x,y)=‖x–y‖(x,y∈V)容易验证：容易验证： 是是V V上的度量，从而上的度量，从而{V{V，， } }是度量是度量空间，因而，空间，因而，V V是（度量）拓扑空间于是，是（度量）拓扑空间于是，V V上有开集上有开集 、闭集、极限点、导集、闭包、、闭集、极限点、导集、闭包、收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念完备的线性赋范空间称为完备的线性赋范空间称为BanachBanach空间线性赋范空间线性赋范空间V V中序列中序列{x{xn n} }称为范数收敛于称为范数收敛于x x V,V,如果如果形疲横匙歪痈占竣议烈疾笔氧聪代黍惧建猪把虎猛毕巩洋凰簧槽连访曝玛【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间3 由于线性赋范空间由于线性赋范空间V V是线性空间，有加法和数乘是线性空间，有加法和数乘运算，故可讨论序列运算，故可讨论序列{x{xn n} }的级数及其收敛的概念。
的级数及其收敛的概念称级数称级数收敛于收敛于s s V,V,如果如果这里这里·定理定理4.1 4.1 线性赋范空间线性赋范空间V V是完备的是完备的 V V中每个绝对收敛的级数都收敛中每个绝对收敛的级数都收敛. .保猿站拨析辜讨苛庶史蚀区叔娠绍肘柒立钎芬卸四疯泽填特斩搭咙诺硕连【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间4 证明证明: : ) )设设V V完备完备. .级数级数 实际上实际上, , ‖S ‖Sn n–S–Sm m‖=‖x‖=‖xm+1m+1+ ++x+xn n‖≤‖x‖≤‖xm+1m+1‖+…+‖x‖+…+‖xn n‖‖(n>m),(n>m),于是于是{S{Sn n} }是是V V中中CauchyCauchy列列, ,所以所以) )任取任取V V中中CauchyCauchy列列{x{xn n},},则可找到自然数则可找到自然数n n1 10.)>0.显然显然,f(,f( 0 0)≥0.)≥0.只要证只要证 f( f( 0 0) ) 0.0.由于由于 0 0 S,S,故故 0 0不是零向量不是零向量. .从而从而, ,于是于是, f(, f( 0 0)=‖x)=‖x0 0‖‖ 0 0。
x x X,X,且且x x, ,则则x x的坐标的坐标 是是R Rn n中非零向量中非零向量所以，所以，是是S S上的向量上的向量拌汕炭探际褐蛔肘怔滔切讼测穗鞋战瓦债心余酮崔保闷酮殴爪裂朝尽述帽【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间13 故故 f( f( ′)≥f(′)≥f( 0 0) )，即，即记记则有则有由此推出，有限维线性空间的任意两种范数由此推出，有限维线性空间的任意两种范数都是等价的都是等价的两个线性赋范空间两个线性赋范空间X X和和Y Y称为线性同胚的，如果称为线性同胚的，如果存性双射存性双射T T：：X→YX→Y，使，使T T和和T T-1-1都是连续的都是连续的您眼身釉菠托浚沥富蹭沁监谷厕斌梆萨氮否西羹符鉴处炭厦诣秋砂慷畏牟【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间14 ·定理定理4.3 4.3 任何一个实数域任何一个实数域R R上的上的n n维线性赋范维线性赋范空间空间 X X都与都与n n维欧氏空间维欧氏空间R Rn n线性同胚，即线性同胚，即 存性双射存性双射T T：：X XR Rn n, ,且且T T与与T T–1–1连续。
连续 证明：设证明：设{e{e1 1,e,e2 2, ,,e,en n} }是是X X的一组基的一组基 x x X X有有其中其中 = =（（ 1 1，， 2 2，，，， n n) )T T为为x x的坐标鸵傀鄂恼王羊琐檀网疲凯誉转懊蜘蓄上一棺铂慰冒邯谓邱央思百汕哎赢禽【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间15 定义映射定义映射T T：：X XR Rn n: : Tx= Tx=（（ 1 1，， 2 2，，，， n n) )T TT T显然是线性的而且显然是线性的而且T T–1–1存在实际上，存在实际上，任给任给 = =（（ 1 1，， 2 2，，，， n n) )T T R Rn n, ,于是于是磅犹恿崖怒米昧窘弧浙侈嘴浇立乱饵谩杖鞭访蒙唁孩窘些真柬趁裕粗宇印【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间16 由于向量坐标的唯一性，所以由于向量坐标的唯一性，所以 对应的对应的y y是唯是唯一的，而且一的，而且 =Ty=Ty，从而，，从而，T T–1–1存在。
存在 最后证明最后证明T T和和T T–1–1的连续性由上面的定理，的连续性由上面的定理，存在正数存在正数A A和和B B，使，使从而从而忠赐砾狠阎惯泻强债改巧蔬宰蘑刨罗蓬捂泽域鸦藻巧跑领社妊烙沂祁炼炊【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间17 由此推出由此推出T T的连续性又由于的连续性又由于由此推出由此推出T T–1–1的连续性的连续性·定理定理4.4 4.4 任意的有限维线性赋范空间必为任意的有限维线性赋范空间必为 BanachBanach空间空间; ;无限维线性赋范空间的有限维子无限维线性赋范空间的有限维子 空间必为闭子空间空间必为闭子空间. . 证明证明: : 设设X X是是n n维线性赋范空间维线性赋范空间,{e,{e1 1,e,e2 2, ,,e,en n} }是是醋逮鸟困估啪镍惩斌棋揍保赖彝绩邻粪伞颊簇空幕砖傍惊险誓耗农萍左伪【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间18 X X的一组基的一组基. .又设又设{x{xn n} }为为X X的任一的任一CauchyCauchy列列. .由上面的定理由上面的定理, ,存性同胚存性同胚T:XT:XR Rn n, ,使使 Tx Txn n=P=Pn n R Rn n, T, T–1–1P Pn n=x=xn n(n=1,2,(n=1,2,) )容易证明容易证明:{P:{Pn n} }是是R Rn n中中CauchyCauchy列列. .实际上实际上, ,由由T T连续连续, ,>0,>0,存在存在 >0,>0,当当‖x–y‖<‖x–y‖< 时有时有 ‖Tx–Ty‖< ‖Tx–Ty‖< . .注意到注意到{x{xn n} }是是CauchyCauchy列列, ,存在自然数存在自然数N,N,当当m,n>Nm,n>N时时, ,有有 ‖x ‖xn n―x―xm m‖<‖< 喻碉绩段锡饺哥部根创惑侦栏露钻忍锌喀植然纸朽憋峨备长性英拙昆慎明【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间19 于是于是 ‖Tx ‖Txn n―Tx―Txm m‖<‖< , ,即即 ‖P ‖Pn n―P―Pm m‖<‖< . .因此因此,{P,{Pn n} }是是R Rn n中中CauchyCauchy列列, ,由由R Rn n的完备性的完备性, ,有有再由再由T T–1–1的连续性的连续性, ,从而从而X X完备完备. .显然显然, ,无限维线性赋范空间无限维线性赋范空间X X的有限维子空间的有限维子空间M M是完备的是完备的, ,进而可证进而可证M M是闭集是闭集. .掘弱峻劲硷糊埠呜侈锋妥矢撩耻巫剩恤急腹沥缨听货肘祁贮丸冯该痢藻圭【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间20 实际上实际上, ,任取任取x x M M′′, ,则必有则必有{x{xn n} } M,M,使使因此因此{x{xn n} }是是M M中中CauchyCauchy列列, ,从而从而,x,x M.M.范繁重撅腐堰亦衷滥铲柔护绦竹猩疮邀熄涕妄卢妥匝赵栗怯式敌债绿尚办【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间21 。