勾股定理第1课时

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1、第十七章第十七章 勾股定理勾股定理17.1 17.1 勾股定理勾股定理( (一）一）导导 学学 探探 究究相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直直角三角形三边的某种数量关系角三角形三边的某种数量关系注意观察，你能有注意观察，你能有什么发现？什么发现？ 毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前公元前572-前前492年年),古希腊著名的哲学家、数学家、天古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。文学家。导导 学学 探探 究究换成下图你有什发现？说出你的观点换成下图你有什发现？说出你的观点.

2、 . 数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC等腰直角三角形等腰直角三角形两直角边的平方和等两直角边的平方和等于斜边的平方于斜边的平方ABC合合 作作 释释 疑疑其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表观察下边两个图并填写下表: 图1-3图1-2C的面积B的面积A的面积169254913结论：如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为斜边长为c， 那么那么拼图实验拼图实验如图，将如图，将4个非等腰的直角三角形拼成一个

3、大的正方个非等腰的直角三角形拼成一个大的正方形形.1.拼得大正方形的边长为拼得大正方形的边长为_，则它的面积是：，则它的面积是：_；大正方形的面积还可以表示为；大正方形的面积还可以表示为_+4_.2.由它们的面积关系可得由它们的面积关系可得_=_+4_，整，整理得理得_.a+b(a+b)2c2(a+b)2c2a2+b2=c2合合 作作 释释 疑疑展展 评评 互互 赏赏根据图17.1-5你能写出勾股定理的证明过程吗？ abc ab4+(b-a)=c a+b =c2ab+（b-2ab+a）=c【总结提升总结提升】勾股定理的证明勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，通过对勾股定理的证明方法很多，通

4、过对图形的割补、拼接等方法，利用图形面图形的割补、拼接等方法，利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中，通过数格子、计算或角形放在方格中，通过数格子、计算或用面积方法证明用面积方法证明. .此结论被称为“勾股定理”.在RtABC中，C=900 ，边BC、AC、AB所对应的边分别为a、b、c则存在下列关系，结论：结论：直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方. a2+b2=c2勾勾股股弦弦cabBCA合合 作作 释释 疑疑如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2 + b2 =

5、c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理勾股定理数学符号语言：数学符号语言：在在 RtABC中中CC9090 a2 + b2 = c2cabBCA合合 作作 释释 疑疑 (打打“”或或“”)(1)若若a，b，c是是ABC的三边，则的三边，则a2+b2=c2.( )(2)若若a，b，c是是Rt ABC的三边，则的三边，则a2+b2=c2.( )(3)若若a，b，c是是Rt ABC的三边，的三边，A=90，则，则a2+b2=c2.( )比比一一比比看看谁谁算算得得又又快快又又准准！求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长x

6、 x: :6 6x x101016162020x x12125 5x xX=8X=12X=13 1 1、直角、直角 ABCABC的两直角边的两直角边a=5,b=12,c=_a=5,b=12,c=_ 2、已知：C90，c=20c=20， a：b3：4，求求a a和和b b.cab13a=12 b=16诱诱 思思 启启 导导勾股定理的运用勾股定理的运用已知直角三角形的任意两条边长，已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长求第三条边长.若若C=90则则a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2诱诱 思思 启启 导导【例1】(2013佛山中考)如图，若A=60，AC=20 cm，则BC是多少？

7、诱诱 思思 启启 导导例例2：小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知已知CD2，求，求AC的长的长【解析解析】BDBDCDCD2 2，BCBC设设ABABx x，则，则ACAC2x2x，【总结提升总结提升】关于勾股定理应用的三点说明关于勾股定理应用的三点说明(1)(1)弄清应用范围弄清应用范围, ,必须在直角三角形中才能应必须在直角三角形中才能应用用. .(2)(2)分清直角边和斜边，当指代不明确时要分分清直角边和斜边，当指代不明确时要分情况讨论问题情况讨论

8、问题. .(3)(3)勾股定理的公式是勾股定理的公式是a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，而不是，而不是(a+b)(a+b)2 2=c=c2 2, ,应用时，一定要注意应用时，一定要注意. .自自 主主 反反 馈馈1 1. .在在RtRtABC，C=90，AC=8cmAC=8cm，BC=6cm.(1)(1)求求ABC的面积；的面积；(2)(2)求斜边求斜边AB；(3)(3)求高求高CD.自自 主主 反反 馈馈2.2.在等腰在等腰ABC中，中，AB=AC=10AB=AC=10，BC=12，求，求底边底边BC上的高上的高.自自 主主 反反 馈馈3.直角三角形的三边长分别为直角三角形的三边长分

9、别为3，4，x，则，则x2等于等于（ ）A.5 B.25 C.7 D.25或或7自自 主主 反反 馈馈4.4.在在RtRtABC中，中，AA，BB，CC所对的边分别所对的边分别为为a、b、c且且a=3、b=4，则，则c等于多少？等于多少？尝尝 试试 应应 用用1、一个门框尺寸如图一个门框尺寸如图17.1-7所示，一块长所示，一块长3m，宽，宽2.2m的的薄木板能否从门框内通过？为什么？薄木板能否从门框内通过？为什么？ 在在RtABC中，根据勾股定理：中，根据勾股定理：AC2AB2+BC212+225所以，所以，AC 2.236而而AC大于木板的宽，所以木板能从门大于木板的宽，所以木板能从门框内

10、通过。框内通过。2、将长为将长为5米的梯子米的梯子AC斜靠在墙上，斜靠在墙上，BC长为长为2米，求梯子上端米，求梯子上端A到墙的底端到墙的底端B的距离的距离.CAB解：在解：在RtABC中，中，ABC=90 BC=2 ，AC=5 AB2= AC - BC = 5-2 =21 AB= （米）（米） (舍去负值）舍去负值）尝尝 试试 应应 用用2.(2012宁波中考宁波中考)勾股定理是几何中的一个重要定理，在我勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书国古算书周髀算经周髀算经中就有中就有“若勾三，股四，则弦五若勾三，股四，则弦五”的记的记载载.如图如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，

11、可以是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理用其面积关系验证勾股定理.图图2是由图是由图1放入矩形内得到的，放入矩形内得到的， BAC=90,AB=3,AC=4,点点D，E，F，G，H，I都在矩形都在矩形KLMJ的边上，则矩形的边上，则矩形KLMJ的面积为的面积为( )A.90 B.100 C.110 D.121【解析解析】选选C.C.延长延长ABAB与与KLKL相交于相交于N N，延长，延长ACAC与与MLML相交于相交于Q Q，根据勾股定理中的赵爽弦图，根据勾股定理中的赵爽弦图知：知：ABCQCGLGFNFB,ABCQCGLGFNFB,根据全根据全等三角形对应

12、边相等，得等三角形对应边相等，得ML=3+4+4=11ML=3+4+4=11，KL=3+4+3=10KL=3+4+3=10，所以矩形，所以矩形KLMJKLMJ的面积为的面积为110.110.3.如图，将如图，将Rt ABC绕其锐角顶点绕其锐角顶点A逆时针旋转逆时针旋转90得到得到Rt ADE,连接连接BE，延长，延长DE，BC相交于点相交于点F，则有，则有BFE=90，且四边形，且四边形ACFD是一个正方形是一个正方形.(1)判断判断ABE的形状，并说出理由的形状，并说出理由.(2)用含用含b的代数式表示四边形的代数式表示四边形ABFE的面积的面积.(3)说明：说明：a2+b2=c2.【解析解

13、析】(1)ABE(1)ABE是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .理由：因为理由：因为RtABCRtABC绕其锐角顶点绕其锐角顶点A A逆时针旋逆时针旋转转9090得到得到RtADE,RtADE,所以所以BAC=DAE,BAC=DAE,所以所以BAE=BAC+CAE=CAE+DAE=90BAE=BAC+CAE=CAE+DAE=90, ,又因为又因为AB=AEAB=AE，所以，所以ABEABE是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .(2)(2)因为四边形因为四边形ABFEABFE的面积等于正方形的面积等于正方形ACFDACFD的的面积面积, ,所以四边形所以四边形ABFEABFE的面积等于的面积等于b b2 2. .(3)(3)因为因为S S正方形正方形ACFDACFD=S=SBAEBAE+S+SBFEBFE, ,即：即：整理：整理：2b2b2 2=c=c2 2+(b+a)(b-a),+(b+a)(b-a),所以所以a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .