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1、第第17章章 勾股定理勾股定理17.1.117.1.1探索勾股定探索勾股定理理 除地球外，别的星球上有没有生命呢？ 自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别是近年来不断出现的UFO事件，更让人们相信有外星人的说法，如果真的有，那我们怎么和他们交流呢？我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形.一、创设情境 那么这到底是那么这到底是一种什么样的图形一种什么样的图形呢？它真的有那么呢？它真的有那么大的魅力吗？大的魅力吗？ 下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的
2、数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。数学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。毕达哥拉斯(公元前572-前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系ABC 我们也来观察右图的地面，你能发现A、B、C面积之间有什么数量关系吗？每块砖都是等腰直角三角形哦SA+SB=SC（图中每个小方格是1个单位面积）探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有什么数量关系吗？二、实验探究ABC图1ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积
3、）图图1-1图图1-2（1 1）观察图）观察图1-11-1 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。999你是怎样得到上面的结你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。果的？与同伴交流交流。123（2）（3）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图图1-2分分“割割” 成几个直角边为整数的三角形成几个直角边为整数的三角形（单位面积）（单位面积） 返回返回ABCABC（图中每个
4、小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图2 S SA A+S+SB B=S=SC CA A的面的面积积( (单单位面积位面积) )B B的面积的面积( (单位面单位面积积) )C C的面积的面积( (单位面单位面积积) )图图1 19918图图2 2A A，B B，C C面积关面积关系系直角三直角三角形三角形三边关系边关系448两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方2、回顾填填填你能发现图你能发现图1图图2中三个正方形中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？的面积之间有什么关系吗？ 即：两条直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方
5、形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积探究二：S SA A+S+SB B=S=SC C 在图2中还成立吗？ABC图2结论：仍然成立。A的面积是个单位面积B的面积是个单位面积C的面积是个单位面积25169 你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流（图中每个小方格是1个单位面积）ABC图图1-3ABC图图1-4分分“割割” 成几个直角边为整数的三角形成几个直角边为整数的三角形（面积单位）（面积单位）ABC图图1-3ABC图图1-4（1）观察图）观察图1-3、图、图1-4，并填写右表：并填写右表： A的面积的面积（单位面积）（单位面积） B的面积的面积（单位面积）（单位面积）
6、C的面积的面积（单位面积）（单位面积）图图1-3图图1-4169254913你是怎样得你是怎样得到表中的结到表中的结果的？与同果的？与同伴交流交流。伴交流交流。做一做做一做ABC图图1-3ABC图图1-4（2）得出结论：）得出结论： 三个正方形三个正方形A，B，C的面积之间的面积之间有的关系？有的关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等即：两条直角边上的正方形面积之和等于于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积ABC问题2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?问题4:那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是:abc至此，我们在网格中验证了:直角三角
7、形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SCa2 + b2 = c2a2 + b2 = c2问题1:去掉网格结论会改变吗？问题3:去掉正方形结论会改变吗？abc我们猜想：命题：如果直角三角形的两直角边长分命题：如果直角三角形的两直角边长分别为别为a、b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么a2+b2=c2a2 +b2 =c2用用拼拼图图法法证证明明证法一：证法一：a ab bc cc ca aa aa aa ab bb bb bb bc cc cc cc ca a、b b、c c 之间的关系之间的关系S S大正方形大正方形=(a+b)=(a+b)2 2=a=a2 2+b
8、+b2 2+2ab+2ab S S大正方形大正方形=4S=4S直角三角形直角三角形+ S+ S小正方形小正方形 =4 ab+c2 =c =c2 2+2ab+2aba a2 2+b+b2 2+2ab=c+2ab=c2 2+2ab+2aba2 +b2 =c2证法一：证法一：a2 +b2 =c2abcS大正方形大正方形c2S小正方形小正方形（b-a）2S大正方形大正方形4S三角形三角形S小正方形小正方形弦图弦图现在我们一起来探现在我们一起来探索索“弦图弦图”的奥妙吧！的奥妙吧！证法二：证法二：黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实baacab经过证明被确认正确的命题叫做
9、定理经过证明被确认正确的命题叫做定理经过证明被确认正确的命题叫做定理经过证明被确认正确的命题叫做定理. .用赵爽弦图证明勾股定理用赵爽弦图证明勾股定理cba用赵爽弦图证明勾股定理用赵爽弦图证明勾股定理ba美国总统的证明 伽菲尔德伽菲尔德 -美国美国第二十任第二十任总统总统证法三：证法三：aabbcc伽菲尔德证法（总统法）伽菲尔德证法（总统法）: a2 + b2 = c2 勾股定理勾股定理: :如果如果直角三角形直角三角形两直角边分别两直角边分别 为为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么即即 直角三角形两直角边直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方。的平方和等于斜边的平方。abc勾勾股股弦弦y
10、=0证明结论得到定理经过证明被确认正确的命题叫做经过证明被确认正确的命题叫做经过证明被确认正确的命题叫做经过证明被确认正确的命题叫做定理定理.在西方又称毕达在西方又称毕达哥拉斯定理耶！哥拉斯定理耶！ 谈谈你对勾股定理的理解谈谈你对勾股定理的理解abc 1.勾股定理揭示了直角三角形勾股定理揭示了直角三角形 之之间的关系间的关系. 2.根据勾股定理根据勾股定理,已知直角三角形已知直角三角形 边边可求可求 边边三边三边两两第三第三 勾勾2 + 股股2 = 弦弦2股股勾勾勾勾较短的直角边较短的直角边称为称为 ，股股较长的直角边较长的直角边称为称为 ，直角三角形中直角三角形中弦弦斜边斜边称为称为 。弦弦
11、千古第一定理千古第一定理数与形的第一定理数与形的第一定理导致第一次数学危机导致第一次数学危机数学由计算转变为证明数学由计算转变为证明是第一个不定方程是第一个不定方程毕毕达达哥哥拉拉斯斯定定理理勾勾股股（商商高高）定定理理1勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；2.勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；3.勾股定理是历史上第个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；4.勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学
12、领域也有着广泛的应用1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。商高定理：商高定理： 商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作的数学著作周髀算经周髀算经中记录着商高同周公的一段对话。中记录着商高同周公的一段对话。商高说：商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边
13、分别为那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，径隅（就是弦）则为（长边）时，径隅（就是弦）则为5 5。以后。以后人们就简单地把这个事实说成人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”，所以在，所以在我国人们就把这个定理叫作我国人们就把这个定理叫作 “商高定理商高定理”。商高定理就商高定理就是勾股定理哦！是勾股定理哦！相传这个定理是公元前相传这个定理是公元前500500多年时古希腊数学家毕达多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆
14、祝这个伟大的发现，因此勾股定的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做理又叫做“百牛定理百牛定理”毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572572前前497497），西方理），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年 “勾股定理勾股定理”在国外，尤其在在国外，尤其在西方被称为西方被称为“毕毕达哥拉斯定理达哥拉斯定理”或或“百牛定理百牛定理”勾股定理给出了直角三角形三边之间的关勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方系，即两直角
15、边的平方和等于斜边的平方cbac2=a2 + b2a2=c2b2b2 =c2-a2例题：求出下列直角三角形中未知边的长度.解：（1）在RtABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2=36+64x2=100x2=62+82x0y2+52=132y2=132-52y2=144y=12（2）在RtABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2y0A68xCB5y13CABX=10方法总结：利用勾股定理建立方程.1.1.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法方法:8 8x x171716162020x x12125 5x x
16、勾股定理的运用勾股定理的运用练习：练习：2.2.设直角三角形的两条直角边分别为设直角三角形的两条直角边分别为a a，b b，斜边长为，斜边长为c.c.(1)(1)已知已知a=6a=6，c=10c=10，求，求b.b.(2)(2)已知已知a=5a=5，c=12c=12，求，求c.c.(3)(3)已知已知c=25,b=15,c=25,b=15,求求a.a.ACBbac勾股定理的运用勾股定理的运用练习：练习： 3.在RtABC中，AB=c,BC=a,AC=b, (1)已知C=90,a=3,b=4,则c=_; (2)已知B=90,a=3,b=4,则c=_;A AB BC CA AC CB B3 34
17、43 34 454.已知RtABC中，a=3,b=4,则c=_;本节课从知识、能力方面你本节课从知识、能力方面你有哪些收获？有哪些收获？ 直角三角形两直角边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方和等于斜边的平方. .勾股定理：勾股定理：结论结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S72.11美丽的勾股树美丽的勾股树S Sa a+S+Sb b=S=Sc c以直角三角形三边为半径作半圆，这以直角三角形三边为半径作半圆，这3个半圆的面积之间有什么关系？个半圆的面积之间有什么关系？以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子。你能做
18、到吗？试试看。赵爽拼图证明法：c c小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.图1黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实图2c c黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实b a MNP剪、拼过程展示：“赵爽弦图”黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实c ca ab b2、如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？4米3米3、求下列直角三角形中未知边的长.6x101213x1) 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=_a2+b22) 在RTABC中C=90, 若若a=4,b=3,则则c=_ 若
19、若c=13,b=5,则则a=_ 若若 c=17,a=8,则则b=_51215一 填空题：（3 ） 等边三角形的边长为等边三角形的边长为12，则它的高为则它的高为_（4) 在直角三角形中在直角三角形中,如果有两边如果有两边 为为3,4,那么另一边为那么另一边为_5或一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5，那么它的宽是（ ） A B C D 二 选择题：如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么直角三角形的其它两边长是（ ）A 1， B 1 ，3 C 1， D 1 ,5 如图，在RTABC中，中，C=90,B=45,AC=1,则则AB=( ) A 2, B 1, C , D ACB
20、ABC、如图、如图, ,一个高一个高3 3 米米, ,宽宽4 4 米的大门米的大门, ,需在相需在相对角的顶点间加一个加固木条对角的顶点间加一个加固木条, ,则木条的长为则木条的长为 ( )( )A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米CCBA.基础练习基础练习之之出谋划策出谋划策一个长方形零件（如图）一个长方形零件（如图）, ,根据所给的尺寸根据所给的尺寸( (单位单位mm),mm),求两孔中心求两孔中心A A、B B之间的距离之间的距离. .AB901604040C解：解： 过过A作铅垂线，过作铅垂线，过B作水平线，两线交于点作水平线，两线交于点C，则，则ACB=90，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm)由勾股定理有：由勾股定理有：AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2)AB0,AB=130(mm)答：两孔中心答：两孔中心A，B的距离为的距离为130mm.4.应用知识应用知识之学海无涯学海无涯
