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1、西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育第6讲 MATLAB符号计算一数学软件数学软件数学软件西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育6.1 符号计算基础6.1.1 符号对象1. 建立符号变量和符号常数(1)sym函数 sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例考察符号变量和数值变量的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c)
2、;d=sym(d); %定义4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量A=a,b;c,d %建立符号矩阵AB=w,x;y,z %建立数值矩阵Bdet(A) %计算符号矩阵A的行列式det(B) %计算数值矩阵B的行列式西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例比较符号常数与数值在代数运算时的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3); % 定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 sin(pi2/3) % 计算
3、数值表达式值sqrt(k1) % 计算符号表达式值sqrt(r1) % 计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2) % 计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2) % 计算数值表达式值西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育(2)syms函数syms函数的一般调用格式为：syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育2. 建立符号表达式例用两种方法建立符号表达式。在MATLAB窗口，输入命令：U=sym(3*x2+5
4、*y+2*x*y+6) %定义符号表达式Usyms x y; %建立符号变量x、yV=3*x2+5*y+2*x*y+6 %定义符号表达式V2*U-V+6 %求符号表达式的值西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。命令如下：syms a b c;U=a,b,c;A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符号矩阵det(A) %计算A的行列式值西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例建立x,y的一般二元函数。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y;f=sym(f(x,y);西南科技大学网络教育西南科技大学网
5、络教育6.1.2 基本的符号运算1. 符号表达式运算(1)符号表达式的四则运算例符号表达式的四则运算示例。在 MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y z; f=2*x+x2*x-5*x+x3 %符号表达式的结果为最简形式f=2*x/(5*x) %符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y) %符号表达式的结果不是x2-y2，而是(x+y)*(x-y)西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育(2)因式分解与展开factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达
6、式或符号矩阵。collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例6.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。命令如下：syms a b x y;A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3;factor(A) %对A的每个元素分解因式西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例6.8 计算表达式S的值。命令如下：syms x y;s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);expand(s) %对s展开collect(s,x) %对s按变量x合并同类项(无同类项)f
7、actor(ans) % 对ans分解因式西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育(3)表达式化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。例化简命令如下：syms x y;s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;simple(s) %MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育2. 符号矩阵运算transpose(S) 返回S矩阵的转置矩阵。determ(S) 返回S矩阵的行列式值。colspace(S)
8、返回S矩阵列空间的基。Q,D=eigensys(S) Q返回S矩阵的特征向量，D返回S矩阵的特征值。西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育6.1.3 符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x
9、最近原则确定缺省变量。西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育6.2 符号导数及其应用函数的极限limit函数的调用格式为：limit(f,x,a)limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,right) 或 limit(f,x,a,left)西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例求极限。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a) %求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f) %求极限(2)limit(f,inf) %求f函数在x(包括+和-
10、)处的极限limit(f,x,inf,left) %求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right) %求极限(4)西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育6.2.2 符号函数求导及其应用MATLAB中的求导的函数为：diff(f,x,n)diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育 例求函数的导数。命令如下：syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);diff(f)
11、 %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数diff(f,x,3) %求(2)。求f对x的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求(3)。求y对x的二阶导数f=x*exp(y)/y2;diff(f,x) %求(4)。z对x的偏导数diff(f,y) %求(4)。z对y的偏导数f=x2+y2+z2-a2;zx=-d
12、iff(f,x)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。命令如下：x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定义曲线函数f=diff(y); %对曲线求导数g=f-4;solve(g) %求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育6.3 符号积分不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)in
13、t函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例求不定积分。命令如下：x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f) %求不定积分(1)f=sqrt(x3+x4);int(f) %求不定积分(2)g=simple(ans) %调用simple函数对结果化简西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育6.3.2 符号函数的定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)例求定积分。命令如下：x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2) %求定积分
14、(1)f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf) %求定积分(2)int(4*t*x,x,2,sin(t) %求定积分(3)f=x3/(x-1)100;I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求定积分(4)double(I) %将上述符号结果转换为数值西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例求椭球的体积。命令如下：syms a b c z;f=pi*a*b*(c2-z2)/c2;V=int(f,z,-c,c)V =4/3*pi*a*b*c西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。(1)符
15、号函数积分。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms x;f=6+0.3*x;m=int(f,0,10)(2)数值积分。先建立一个函数文件：function fx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在MATLAB命令窗口，输入命令：m=quad(fx,0,10,1e-6)西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。求曲线c的长度是曲线一型命令如下：syms t;x=3*t;y=3*t2;z=2*t3;f=diff(x,y,z,t) %求x,y,z对参数t的导数g=sqrt(f*f) %计算一型积分公式中的根式部分l=int(g,t,0,1
16、) %计算曲线c的长度西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育6.3.3 积分变换1. 傅立叶(Fourier)变换在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t) 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：syms x t;y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t) %求y的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x) %求Ft的傅立叶逆变换2. 拉普拉斯(Laplace)变换在MATLAB中，进行拉普拉
17、斯变换的函数是：laplace(fx,x,t) 求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育例计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.命令如下：x=sym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,t) %对函数y进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x) %对函数Ft进行拉普拉斯逆变换西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育3. Z变换对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z) 求fn的Z变换像函数F(z)iztrans(Fz,z,n) 求Fz的z变换原函数f(n)例求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。命令如下：syms n zfn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z) %求fn的Z变换f=iztrans(Fz,z,n) %求Fz的逆Z变换西南科技大学网络教育西南科技大学网络教育4. 积分变换的应用例用拉普拉斯方法解微分方程。
