《2025届高考数学一轮复习专练59抛物线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025届高考数学一轮复习专练59抛物线（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。五十九抛物线(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024济南模拟)已知点(1,4)在抛物线y=ax2上,则抛物线的焦点坐标为()A.(1,0)B.(0,1)C.(0,116)D.(116,0)【解析】选C.因为点(1,4)在抛物线y=ax2上,所以4=a12,则a=4,所以抛物线的标准方程是x2=14y,则抛物线的焦点坐标为F(0,116).2.(5分)(2024眉山模拟)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为C上一点,若|MF|=6,则
2、MOF的面积为()A.43B.22C.42D.8【解析】选C.设点M(x0,y0),F(2,0),所以|MF|=x0+2=6,得x0=4,y0=42,所以MOF的面积S=12|OF|y0|=12242=42.3.(5分)(2024成都模拟)已知点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,点P(2,3),且点M为抛物线C上任意一点,则|MF|+|MP|的最小值为()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.因为点F(0,4)是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,所以p2=4,解得p=8,所以抛物线C的方程为x2=16y.由抛物线的定义知:点M到点F(0,4)的距离等于点M到准线y=-4的
3、距离,结合点P(2,3)与抛物线C的位置关系可知,|MF|+|MP|的最小值是点P(2,3)到准线y=-4的距离,故|MF|+|MP|的最小值为7.【加练备选】抛物线C:x2=8y的焦点为F,过F且倾斜角为4的直线l与抛物线C交于A,B两点,点D为抛物线C上的动点,且点D在l的右下方,则DAB面积的最大值为()A.162B.122C.82D.62【解析】选A.由C:x2=8y知F(0,2),则直线l的方程为y=x+2,设D(x,x28),则D到直线l的距离为d=|x-x28+2|2,又点D在l的右下方,所以d=|x-x28+2|2=x-x28+22,联立方程x2=8yy=x+2,消元得x2-8
4、x-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1x2=-16,所以|AB|=1+12(x1+x2)2-4x1x2=16,所以SDAB=12|AB|d=42(x-x28+2)=22(-x2+8x+16),故当x=4时,SDAB有最大值162.4.(5分)过抛物线y=x2的焦点F的一条直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与QF的长分别是p,q,则1p+1q为定值()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.抛物线x2=y的焦点F(0,14),准线方程为y=-14,显然直线PQ的斜率存在,设为k,则直线PQ的方程为y=kx+14,由y=kx+14y=x2消去x并整理得:y2-(
5、k2+12)y+116=0,显然=(k2+12)2-140,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=116,y1+y2=k2+12,而p=y1+14,q=y2+14,因此1p+1q=44y1+1+44y2+1=16(y1+y2)+816y1y2+4(y1+y2)+1=16k2+164k2+4=4,所以1p+1q为定值4.5.(5分)(多选题)(2024贵阳模拟)已知抛物线C:y=ax2的顶点为O,准线为y=-12,焦点为F,过F作直线l交抛物线于M,N两点(M在N的左边),则()A.a=12B.若直线l经过点(-1,0),则|MN|=72C.线段|MN|的最小值为2D.若FN=3MF
6、,则直线l的斜率为33【解析】选ACD.A选项,抛物线的标准方程为x2=1ay,准线为y=-12,则a0,准线方程y=-14a=-12,解得a=12,故A正确;焦点F(0,12),过F作直线l交抛物线于M,N两点,显然l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+12,联立y=kx+12,y=12x2,整理得x2-2kx-1=0,=4k2+40恒成立,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2k,x1x2=-1,|MN|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k24k2+4=2(k2+1),B选项,若直线l经过点(-1,0),则k=12,|MN|=52,故B错误;C选项,当k=0时,
7、|MN|的最小值为2,故C正确;D选项,由FN=3MF,得-3x1=x2,又x1x2=-1,x10,解得x1=-33,x2=3,又因为x1+x2=2k,所以k=33,故D正确.6.(5分)(多选题)(2022新高考卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|C.|AB|4|OF|D.OAM+OBM2p=4|OF|,C正确;对于D,OAOB=(3p4,6p2)(p3,-6p3)=3p4p3+6p2(-6p3)=-3p240,则AOB为钝角,又MAM
8、B=(-p4,6p2)(-2p3,-6p3)=-p4(-2p3)+6p2(-6p3)=-5p260,则AMB为钝角,又AOB+AMB+OAM+OBM=360,则OAM+OBM0,当直线斜率不存在时(如图中虚线所示),可知|AF|=|BF|=1,此时4|AF|+|BF|=5;当直线斜率存在时,可设直线方程为y=k(x-12),显然k0,联立直线和抛物线方程y=k(x-12)y2=2x,消去y整理可得k2x2-(k2+2)x+14k2=0,利用根与系数的关系可知x1x2=14,又利用焦半径公式可知|AF|=x1+12,|BF|=x2+12,所以可得4|AF|+|BF|=4(x1+12)+x2+12
9、=4x1+x2+5224x1x2+52=92,当且仅当4x1=x2,即x2=1,x1=14时,等号成立.综上可得,4|AF|+|BF|的最小值是92.9.(10分)(2024遂宁模拟)直线y=kx-2交抛物线y2=2px(p0)于A,B两点,线段AB中点的横坐标为2,抛物线的焦点到y轴的距离为2.(1)求抛物线方程;(2)设抛物线与x轴交于点D,求ABD的面积.【解析】(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F(p2,0),因为抛物线的焦点到y轴的距离为2,则p2=2,可得p=4,所以,抛物线的方程为y2=8x.(2)若k=0,则直线AB与抛物线y2=8x只有一个交点,不符合题意,则k0,设点
10、A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx-2y2=8x,可得k2x2-(4k+8)x+4=0,=(4k+8)2-16k2=64k+640,解得k-1,因为线段AB中点的横坐标为2,所以4k+8k2=4,整理可得k2-k-2=0,又因为k-1,解得k=2,易知抛物线y2=8x交x轴于点D(0,0),则有4x2-16x+4=0,可得x2-4x+1=0,由根与系数的关系可得x1+x2=4,x1x2=1,由弦长公式可得|AB|=1+22|x1-x2|=5(x1+x2)2-4x1x2=542-4=215,原点D到直线AB:2x-y-2=0的距离为d=222+(-1)2=255,所以,SABD=1
11、2|AB|d=12215255=23.【能力提升练】10.(5分)(多选题)(2024深圳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,M(x0,y0)是抛物线C上一个动点,点A(0,2),则下列说法正确的是()A.若|MF|=5,则y0=4B.过点A与抛物线C有一个公共点的直线有3条C.连接M,F并延长与抛物线交于点N,若M,N的中点Q(1,1),则|MN|=4D.点M到直线x-y+3=0的最短距离为22【解析】选BC.由抛物线C:y2=4x的方程可得焦点F(1,0),准线方程x=-1,A中,由抛物线的性质|MF|=x0+1=5,则x0=4,代入抛物线的方程可得y0=4,所以A不正确;B中,将A
12、点的坐标代入:2240,可得A点在抛物线的外面,所以过A有两条直线与抛物线相切,还有一条平行于x轴的直线与抛物线有一个公共点,所以有3条直线与抛物线有一个公共点,B正确;C中,|MN|=x0+xN+p=2xQ+2=4,所以C正确;D中,点M到直线x-y+3=0的距离d=|x0-y0+3|2=|y024-y0+3|2=|(y0-2)2+8|42842=2,所以d的最小值为2,D不正确.11.(5分)(多选题)(2023新高考卷)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则()A.p=2B.|MN|=83C. 以MN为直径的圆
13、与l相切D.OMN为等腰三角形【解析】选AC.A选项:直线y=-3(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F(1,0),所以p2=1,p=2,2p=4,则A选项正确,且抛物线C的方程为y2=4x.B选项:设M(x1,y1),N(x2,y2),由y=-3(x-1),y2=4x消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0,解得x1=3,x2=13,所以|MN|=x1+x2+p=3+13+2=163,B选项错误.C选项:设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d=12(d1+d2)=12(|MF|+|NF|)=12|MN|,即A到直线l的距离等于MN的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,C选项正确.D选项:直线y=-3(x-1),即3x+y-3=0,O到直线3x+y-3=0的距离为d=32,所
