第5讲 基本不等式[课程标准]1.理解基本不等式≤(a>0，b>0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题．1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最大值．(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2(a>0，b>0)．(2)ab≤(a，b∈R)．(3)≤(a，b∈R)．(4)＋≥2(a，b同号)．(5)≤(a>0，b>0)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.2．轮换对称不等式3．三元基本不等式≤，其中a>0，b>0，c>0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．1．(2024·海口调研)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为( )A．9 B．18C．36 D．81答案 A解析 因为x>0，y>0，且x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立，故的最大值为9.2．下列命题正确的是( )A．若a，b∈R，则＋≥2＝2B．若x>0，则x＋>2C．若x<0，则x＋≥－2＝－4D．若x∈R，则2x2＋≥2＝2答案 D解析 A项必须保证a，b同号；B项应含有等号，即若x>0，则x＋≥2；C项应该为“≤”．故选D.3．(人教A必修第一册习题2.2 T1改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝ ( )A．1＋ B．1＋C．3 D．4答案 C解析 因为x>2，所以f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故a＝3.4．(人教A必修第一册习题2.2 T5改编)设x>0，则3－3x－的最大值是( )A．3 B．3－2C．－1 D．3－2答案 D解析 因为x>0，所以y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．故选D.5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．答案 2解析 ∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2＝2·＝2，当且仅当x2＝2y2，xy＝1时，等号成立．多角度探究突破考向一 利用基本不等式求最值角度 利用配凑法求最值例1 (1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为( )A. B.C．2 D．2答案 D解析 因为4a2＋b2＝7，则a＝×(2a)＝≤×＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，取得最大值．故选D.(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．答案 2＋2解析 y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．利用基本不等式求最值的条件和配凑方法提醒：注意配凑过程要进行等价变形；明确目标，即配凑出和或积为定值． (2023·烟台三模)当x＞0时，的最大值为________．答案 解析 当x＞0时，＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，即的最大值为.角度 利用常数代换法求最值例2 (1)(2023·茂名模拟)已知正实数m，n满足m＋2n＝1，则＋的最小值为________．答案 17解析 正实数m，n满足m＋2n＝1，则＋＝＋＋1＝(m＋2n)＋1＝9＋＋≥9＋2＝17，当且仅当m＝2n＝时，等号成立．所以＋的最小值为17.(2)(2023·东北师大附中模拟)已知正实数x，y满足x＋y＝，则＋的最小值为________．答案 9解析 设x＋y＝m(3x＋y)＋n(x＋2y)＝(3m＋n)x＋(m＋2n)y，可得所以m＝，n＝，所以5x＋5y＝3x＋y＋2(x＋2y)＝1，＋＝[3x＋y＋2(x＋2y)]＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即时，等号成立，则＋的最小值为9.常数代换法求最值的适用情境及解题通法(1)适用情境有两个代数式，其中一个是整式ax＋by，另一个是分式＋，其中a，b，m，n为常数，通常均为正数．(2)解题通法利用(ax＋by)＝am＋bn＋＋≥am＋bn＋2得到结果． (2024·南宁模拟)已知m>0，n>0，命题p：2m＋n＝mn，命题q：m＋n≥3＋2，则p是q的____________条件．答案 充分不必要解析 因为m>0，n>0，由2m＋n＝mn，得＋＝1，则m＋n＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即m＝＋1，n＝2＋时取等号，因此p⇒q；因为m>0，n>0，由m＋n≥3＋2，可取m＝1，n＝10，则2m＋n＝12，mn＝10，此时2m＋n≠mn，因此qp，所以p是q的充分不必要条件．角度 利用消元法、换元法求最值例3 (1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2ab－，则( )A．a> B．a＋b≥3C．ab≥ D.＋≥答案 BCD解析 对于A，取a＝，b＝，满足a＋b＝2ab－，但不满足a>，故A错误；对于B，因为a＋b＝2ab－，所以2ab＝a＋b＋≤，即[(a＋b)－3][(a＋b)＋1]≥0，所以a＋b≥3，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故B正确；对于C，a＋b＝2ab－≥2，令＝t(t>0)，所以4t2－4t－3≥0，即(2t＋1)(2t－3)≥0，所以t≥，即≥，所以ab≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C正确；对于D，＋＝＝＝2－，令ab＝m，由C项可知，m≥，而函数y＝2－在上单调递增，所以2－≥，当且仅当m＝，即a＝b＝时，等号成立，所以＋≥，故D正确．故选BCD.(2)(2023·湖南省级示范名校联考)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．答案 1解析 ∵正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，∴z＝x2－3xy＋4y2，∴＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2，∴＋－＝＋－＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时取等号，即＋－的最大值是1.利用消元法、换元法求最值的方法(1)消元法根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．(2)换元法求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解． 1.(2024·聊城一中月考)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )A．1 B．3C．6 D．12答案 B解析 ∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝＋≥2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号．故选B.2．(2024·咸阳调研)已知a，b均是正实数，则＋的最小值为________．答案 2－2解析 设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y，且x，y均为正实数，所以＋＝＋＝＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当＝，即x＝y时，等号成立．所以＋的最小值为2－2.考向二 利用基本不等式求参数的值或取值范围例4 (2023·广州模拟)若对任意实数x>0，y>0，不等式x＋≤a(x＋y)恒成立，则实数a的最小值为( )A. B.－1C.＋1 D.答案 D解析 由题意可得，a≥对于任意实数x>0，y>0恒成立，则只需求的最大值即可，＝，设＝t(t>0)，则＝，再设1＋t＝m(m>1)，则＝＝＝＝≤＝＝，当且仅当m＝⇒＝－1时取等号，所以a≥，即实数a的最小值为.故选D.利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法(1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围．(2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解． (2024·徐州一中质检)若关于x的不等式＋≥4对任意x>2恒成立，则正实数a的取值范围为( )A．[1，4] B．(0，4)C．(0，4] D．(1，4]答案 C解析 由题意可得＋≥4－对任意x>2恒成立，由a>0，x－2>0，可得＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝2＋时取等号，则4－≤，解得0－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝( )A．9 B．7C．5 D．3答案 B解析 因为x>－1，所以x＋1>0，所以y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，所以y的最小值b＝1，此时x＝a＝2，所以2a＋3b＝7.3．(2024·扬州宝应中学检测)若x<，则f(x)＝3x＋1＋有( )A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3答案 C解析 因为x<，所以3x－2<0，f(x)＝3x－2＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时取等号．4．(2024·重庆模拟)已知x>2，y>1，(x－2)·(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(。