一元多项式环

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1、高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组7.1 7.1 一元多项式环一元多项式环第七章第七章 多项式环多项式环高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组一、多项式的概念 中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。例：4a+3b， 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。后来又把多项式定义为R上的函数：但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中并没有交代。高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教

2、研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组问题： 1、高等代数中采用什么观点定义多项式？ 2、多项式的形式观点与多项式的函数观点是否矛盾？定义1： 设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数形式表达式（1）其中，称为数域F上的一元多项式。常数项或零次项 首项首项系数称为i次项系数。高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义：1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。2. 系数可以是任意数域。例1是Q上多项式；是R上多项式；是C上多项式。都不是多项式

3、。高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组定义2：是两个多项式，除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。方程是一个条件等式而不是两个多项式相等。定义3： 设 非负整数n称为的次数，记为： 最高次项，亦称为首项。高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组例2零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不个多项式不是零多项式。首一多项式：首项系数为1的多项式。二、多项式的运算定义4：设 是数域F上次数分别定

4、义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组为n和m的两个多项式， 则 与 的和为：。当mn时，取 。定义5：设如上， 与 的积为高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 例3 设其中相乘积的和作为的系数。得：把 中两个系数下标之和为k的对应项高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：加法交换律：加法结合律

5、：乘法交换律：乘法结合律：乘法对加法的分配律：高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组下面证明多项式乘法满足结合律。证：设现证这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。左边中S次项的系数是：左边t次项的系数是：右边中r次项的系数是：高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组右边的t次项的系数是：左、右两边同次项的系数相等，乘法满足结合律。三、多项式的次数定理定理1：设 当 时，则 高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组证：设当 令 多项式乘法没有零因子。高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组推论1：若证：若f=0或g=0，则必有fg=0。反之，若，矛盾。乘法消去律成立。推论2：若且 则 证：由于故 高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组定义6：对多项式的加、减、乘法是否封闭？上的多项式环。对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域F