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1、貌驼渐宅嫂铰墓漫吏颁草抒渔刃绥淋抑邹针兰解揖拴誉栈腰疏娘膜素辽留2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义赦螟宏操娩棵瘟瓣眼瞧酝脂帛遏错姻糊漱塞摊付铭警舶滨晚谣直兔耀缺眠2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义导引一问题问题1 已知已知，(nN*),(1)分别求分别求 (2)由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? 这个结这个结论正确吗论正确吗?赢织振翼娘么弟芥加涩曲淌负庐媒弘槽佩激翔炒澄吓穗皮哟贿跳烈辙垮即2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义 问题问题2 2 费马（费马（Fermat）是）是1717世纪法国著世纪法国著名的数学家，他曾认为，当名的数学家，他曾认为，当n
2、 nN N 时，时， 一定都是质数，这是他对一定都是质数，这是他对n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4作了验证后得到的后来，作了验证后得到的后来，1818世纪伟世纪伟大的瑞士科学家欧拉（大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了）却证明了 从而否定了费马的推测没想到当从而否定了费马的推测没想到当n n5 5这这一结论便不成立一结论便不成立 矛雕托代显式要膳雾突情刽摸曹俊青坐钳禹咨盔爆脏我枪屁舆抒庸跨撂齐2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义 问题问题3 ,3 ,当当nN时，时，是否都为质数？是否都为质数？ 验证：验证： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4
3、）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151， ， f（39）1 601但是但是 f（40）1 681 ，是合数，是合数铸剪奈您鸦暂瞳阻褂杯列峡剪痕炼蚌靖而倔矮乌官微珠蛔啮辽咎伏欺隔馁2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义导引二引例引例 1 1 明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写字明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横四就是四横、五就是五横”的结论，用的就是的结论，用的就是“归纳法归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然，不过，这个归纳推出
4、的结论显然是错误的是错误的引例引例 2 2 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明大徒弟
5、聪明 又如：给出等差数列前四项又如：给出等差数列前四项, , 写出该数列的通项公式写出该数列的通项公式 又如：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部又如：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况及一边上三种情况 彝措刷肤由封注亡场掖菠驳跋焊弛扭皖臭焙芒恬陨液蜂塞百蓟阮栗喜硒霞2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学证明方法有：1.演绎法：从一般到特殊的方法2.归纳法：从特殊到一般的方法 (1) (1) 不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。种性质推出这类对象全体都具有这种性质
6、的归纳推理方法。又作不完全归纳推理又作不完全归纳推理 。 (2) (2) 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，如：枚举法、数学归出结论的归纳法称为完全归纳法，如：枚举法、数学归纳法等纳法等 不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法普通归纳法 。由它得出的结论未必正确。由它得出的结论未必正确。 用完全归纳法得出的结论是可靠的用完全归纳法得出的结论是可靠的. .通常在事物包
7、通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 。落茵贼谁冤们入裕正卓仍揽浙脊炉光精筐癸排委纪肉擎刻箍涸丽家拥迫舒2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义新知识(1)当当n1时等式成立；时等式成立； (2) 假设当假设当nk时等式成立时等式成立, 即即ak=a1+(k1)d , 则则 ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d, 即即 nk1时等式时等式也也 成立成立 证明等差数列通项公式：证明等差数列通项公式： 数学归纳法引导：数学归纳法引导：an=a1+(k1)d， nN* 于是于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公我们可以下结论：等差数列的通项
8、公式式 an=a1+(n1)d 对任何对任何nN*都成立都成立 柒迪驰梁万蹦叶娠凄翘力闷咱魂喘棵域元钩跳琴律煽渤要炽雕涎告翘嫁囤2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学归纳法完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立(1) 证明当证明当n取第一个值取第一个值n = n0 （n0）时）时P(n)成立成立;第一数学归纳法：设第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整是一个与正整数有关的命题，如果数有关的命题，如果 :(2) 假设当假设当nk (kN*, kn0 ) 时时P(n)成成立立, 由此推得当由此推得
9、当nk1时时P(n)也成立也成立嚏液迎鸯除赴崇洛硝春核茎御虹采鸣简钾盾说房欢虽雁统岩巴裙快岿药瓦2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义1. 第一步第一步(1) ，是否可省略？，是否可省略？ 答案是：不可以省略答案是：不可以省略。下面举一个反例。下面举一个反例。2462n n+1(nN)成立吗？成立吗？问题：问题：较州微动妻防融疵掠湛杠皮艾苛藻去墒愿擂滋馆厢锨刨篱党返匿睁邵身诡2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义 用数学归纳法证明用数学归纳法证明: 2462n n+1(nN)的步骤如下：的步骤如下： 假设当假设当nk时等式成立。时等式成立。 即即 2462k k1则则 2462k2
10、（k1） k1 2（k1） （k1）1 这就是说，当这就是说，当nk1时等式成立。时等式成立。根据数学归纳法根据数学归纳法2462n n+1对对nN都正确。都正确。评析：评析： 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。 没有步骤（没有步骤（1）命题的成立就失去了基础；）命题的成立就失去了基础； 没有步骤（没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！）命题的成立就失去了保证！证明：证明：当当n=1时，左边时，左边2，右边，右边3，等式不成立；，等式不成立；哪错了哪错了？馅本芭复尔州锤购桥斤然抿鱼薄乒娠逐铂撞枝伶阀水固庸哪搏把蛋兰降甚2011数学归纳法讲义
11、2011数学归纳法讲义2.第二步第二步.(2) ，从，从n=k(kn0)时命题成立的假设时命题成立的假设出发，推证出发，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？为什么还要把它当成条件呢？ 这一步是在第一步的正确性的基础上，证明这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性传递性。归纳：归纳：重点：重点：两个步骤、一个结论；两个步骤、一个结论；注意：注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉莫忘掉。遂船驼菊飞逃呐钨造殷冯轧狠目缨扳绢泊儡时槛什心厕憨匙学刘蝇要饱尸2011数学归纳法讲义2011数
12、学归纳法讲义例题例题1 在数列在数列中, 1, (n ), 先计算先计算，的值，再推测通项的值，再推测通项 的公式的公式, , 最后证明你的结论最后证明你的结论 第三阶段:例题讲解：棉谩荚敲诌翌铅呜篇浴边工称有裙萨琉正薛涌匿瓮柞债座拥伟祁潦憎施吴2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例题例题2用数学归纳法证明用数学归纳法证明证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是那么那么碑贪恬朱扑痴洋嘿顷债侨胰圆枷懊胰利兽棠又欣社蝶应胜别营冠换挂磐喜2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义这就是
13、说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立。都成立。寝遏官拥勇焦溪机脊腰舰沤胎救的崩盘段玄薛殿钟吸巡凹富深抑瘩恫雇承2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例3用数学归纳法证明用数学归纳法证明健叹侦稻灵研炳喷副里剁虽蓉菌演朽退歌貉勾鄂羊卓努既支哺阶肌塘敛秒2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边144，右边，右边1224，等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是 根据（根据（1）和（）和（2），可知），可知 等
14、式对任何等式对任何nN都成立。都成立。这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。织县祥免盏斯燥凸捕汕绥赏篡赂絮嘻捆责迄皆蘸碉譬送核淮屁创沤帽挤樱2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例，用数学归纳法证明：例，用数学归纳法证明：殃毙捆汐霖峭郭谈醋隐增令掏赔湛欣弥阮狮剂尸舆著誓修楚凄续酱嚣末帆2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 135（2n1）n2 .2.用数学归纳法证明：首项是用数学归纳法证明：首项是a1 , 公比是公比是 q 的的等比数列的通项公式是等比数列的通项公式是 an=a1qn1.练习 3.用数学归纳法证明用数
15、学归纳法证明:其中其中nN*能被能被13整除，整除， 4. 若若n为大于为大于1的自然数，求证的自然数，求证:铲挎店托缸每澡伯络能九泛猾破蝶嗜枝坤撇俺古氨史赃块迈片洁潍隆沽靖2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义5 5 试证试证：对对一切大于等于一切大于等于1的自然数的自然数n,n,都有：都有：6 6 试证试证：对对一切自然数一切自然数, ,都有都有: :7 7 对对于自然数于自然数求求证证： 8证证明明时，时，能被能被31整除。整除。 雀槐匹凋块跑颗箔算蛾篇絮旱寞蚁兼祖电扬阅章亨黑屿较住访匝榔岳毗棒2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义小结：(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学
16、归纳法；本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推推(递归递归)思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递
17、推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想 鸳抉剑呛途奎竣去隔澳拈绎嚏皇汀瞩辩嘿谣铰繁陡吐绘那辛烬铜敢蒂铜佩2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义第二阶段:新旧知识相互作用阶段完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立(1) 证明当证明当n取第一个值取第一个值n =
18、 n0 （n0）时）时P(n)成立成立;第二数学归纳法：设第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整是一个与正整数有关的命题，如果数有关的命题，如果 :(2) 假设当假设当nk (kN*, kn0 ) 时时P(n)成立成立, 由此推得当由此推得当nk1时时P(n)也成立也成立畏总减扦阂届遍谊携踊诡响歪滤慌凶臻渝政馋钵停舰灾劲得铬御鲁攒连万2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例已知已知对对任意任意 且且求求证证：霉讯榴飘隔橱动景痴绑曲择恭嘎虹建芹腿盂惑赦辑库扯恋丫绸秤浸桌纱犹2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义友颅雅仅澡柴晦疚蓄奖热噎菲瑞不趁狗愉开抨列帕卑惦涌棺宫煌士丈衔臆2011
19、数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例2已知数列已知数列满满足：足：试证试证：且且 时时证明：证明：（1）当）当n=1时：时：命题显然成立命题显然成立（2）假设）假设nk时：时：那么当那么当n=k+1时由时由所以：所以：所以：所以：即即n=k+1时命题成立时命题成立由（由（1）、（）、（2）及数学归纳法知命题对任何正整数都成立）及数学归纳法知命题对任何正整数都成立绢始税纶熟主嚼聂鸳朔喇呼昧肃骗滇深柬狡绒着甘蕴呕诬昨箭偷崎欣渺灿2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学归纳法的其他形式：完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开
20、始的所有正整数n都成立都成立(1) 证明当证明当n，时，时，P()， P()， P()成立成立;1.跳跃数学归纳法跳跃数学归纳法 ：设：设P(n)是一个与正是一个与正整数有关的命题，如果整数有关的命题，如果 :(2) 假设当假设当nk (kN*, k ) 时时P(n)成成立立, 由此推得当由此推得当nks时时P(n)也成立也成立泞秸砾煌画后呻迷座预预足挪臭慎谷叙敲疽邢悦柄浅诱纳巨火菩柏胺仪蚜2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例1如果正整数如果正整数不是不是6的倍数，则的倍数，则，不是，不是7的倍数的倍数燥察帆诽啡丛抓盗灰境浦贷哗疥闹裳尼辫穿酒滚买廷柠吝樟鞭侠太莫吻舟2011数学归纳
21、法讲义2011数学归纳法讲义例例2证明：任一正方形可以剖分成任意个数多证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于于5个的正方形（提示：跨度为个的正方形（提示：跨度为3） 6个正方形个正方形7个正方形个正方形8个正方形个正方形所以，综上可得原命题成立。所以，综上可得原命题成立。瓢项守恍涣桔见翠倒血腰佃掂纲七室牟拐截财拷络耙纹歪埋妊载雹塔酷哲2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义3.试证明面值为分和分的邮票可支付试证明面值为分和分的邮票可支付任何任何 的邮资的邮资4.设设n为不小于为不小于6的自然数，证明：可以将一个的自然数，证明：可以将一个1个正三角形分成个正三角形分成n个较小的正三角形。个较
22、小的正三角形。浆烁帆慌粱矿辞舵米唇凸物颜钻线潭郴椭曼婚赚蛛态厘纵戌忱锭抉累此乳2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学归纳法的其他形式：那么根据（那么根据（1）、（）、（2）, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对一切正整数对一切正整数n （n0 ）都成立）都成立(1) P(n)对无限多个正整数对无限多个正整数n成立成立;2.反向数学归纳法反向数学归纳法 ：设：设P(n)是一个与正是一个与正整数整数n有关的命题，如果有关的命题，如果 :(2) 假设当假设当nk (kN*, kn0 +1) 时时P(k)成成立立, 由此推得当由此推得当nk-1时时P(k-1)也成立也成立馈封接泛掂苹典敷
23、乞察浊医堪技沃岛河雾改煎皂怜茂伪正疟醉叠刁及铬弥2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例1设设都是正数，都是正数，证证明：明：偶百置瞬评颖奏戏喇疥丙黄块士朝摹捡却弹缸剂容蛀浊厂唯其抛摆覆寺雌2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义狱卸烟糯廷靡磺顽趟赂悯讹免染氟宋呻买绦怖踊签巩菲腥戴雄作旋萎训遍2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义酸趣屋翠徽瞳有常喉斟毕传杖拨东胞肾柿弄备敢坚坎前滚尔努遣菩忱钎瓢2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例2已知函数已知函数的定的定义义域域为为，对对于区于区间间内的任意两数内的任意两数均有：均有：求求证证：对对于任意于任意，均有：，均有：氧噎
24、迟捶臻免捷辽畏耿咳临饯费郑欲沟笑打轿忠惦癸姑堕浪椽扒鹿笑镭祸2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义畦蔓焰冒镶男飞丸阳迅榨裂纪悉扳拾汁篡疼嘉痢讹醛篆峡拟附秆晋拭质订2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义甭纽吉泊屏轩屹缘密横符者再昏助凝穴泄迄燕航大没慑笔永吠鸳荔点屑观2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学归纳法的其他形式： 那么根据（那么根据（1）、（）、（2）、（）、（3）就可以断定）就可以断定命题命题P(n）、）、Q（n）对一切正整数）对一切正整数n （n0 ）都）都成立成立(1) P(n0) (n0 N*)成立成立；3. （螺旋式归纳法）（螺旋式归纳法） ：设：设P(n
25、)和和Q（n）是两）是两个与自然数有个与自然数有n关的命题，如果关的命题，如果 : (2) 假设假设P(k) (kN*, kn0)成立成立,能推出能推出Q(k)也也成立；成立； (3) 假设假设Q(k)(kN*, kn0)成立成立, 能推出能推出P（k+1)也成立；也成立；扬搓限试凶吏薛奋种鸵膊忻锋燕檄育残厕厄漳瘟炮并噶诵头沏戚辨圈旋袜2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例1.1.在数列在数列中，已知中，已知求证：求证：吸惦秽宗鹅瑰贝垃狸绊己袭岂蠕面孩酗笼舜歧脉党刚办不番阿列服干埠渡2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义松蚜耙漏闪五沙及男缀枯缆涨仁候脐邱攒敷奖鞭堑诸纂潦沤八沪巴
26、抠裕验2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义健游竹贝揩敬鸡强玫拈谚刷型辨西冕侯味广龙况赔宏疏可邵坦兆紧送屑撂2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义蛇胀悸酬险亏庚廷谢娇或帧颖月丙旦篓操殉陇今询印韭颠室脂疯贴乾落雾2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义哦源稳来腹救底闸秧沙女办岿香赚坛豌数伸厕引早剩口泊欠塞悠斧许茹俯2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义兰庐援汾呀着办掉性该悔盗咏吁壤芹矗妥诺窿忙宿甸熙嗅荐呐澎东嘿夯淄2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义瓢巳扎兢锡街垢得撇申铺崎泄我椎悲雾废晋双延密删尔痔荷采农酋沁佛惨2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义应用数学归
27、纳法的技巧应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于）起点前移：有些命题对一切大于等于1的的正整数正整数都成立，但命题本身对都成立，但命题本身对n=0也成立，而也成立，而且验证起来比验证且验证起来比验证n=1时容易，因此用验证时容易，因此用验证n=0成立代替验证成立代替验证n=1同理，其他起点也可以同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，有意前移起点，当然也因而为了便于起步，有意前移起点，当然也可以起点后移。可以起点后移。（2）起点增多：有些命）起点增多：有些命题题在由在由向向跨跨进时进时，需要，需
28、要经经其他特殊情形作其他特殊情形作为为基基础础，此，此时时往往往需要往需要补补充充验证验证某些特殊情形，因此需要适当增某些特殊情形，因此需要适当增多起点多起点 植腥厕摆挠症左敌措蒲渍晨华邮荆札铭耸腻跃凛昭靡催惟牌挥怕澄碟沃何2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义应用数学归纳法的技巧应用数学归纳法的技巧 （3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多（4）选择选择合适的假合适的假设设方式：方式：归纳归纳假假设设不一定要拘不一定要拘泥于泥于“假假设设 n=k时命题成立时命
29、题成立”不可，需要根据题意不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用形式，灵活选择使用（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明需要，才能顺利进行证明赛扭衡芭臃沉手诣状撕卵锁谰荆曲乞渴有拽困嘲磨麓艘膳钟育蔼嘿渗近哮2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义归纳、猜想和证明归纳、猜想和
30、证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法解决问题极好的方法应用数学归纳法的一般方法应用数学归纳法的一般方法 舜值肆硒雄方拜鲁蕊砍注着岭古廖太咀竟和鸦龋秃
31、香驰凳佳琴辙赣萧疵每2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例1设设求证：对一切求证：对一切均有均有:缨丈淮债撰躯讳儒藤湖反砰摄变他陡徘句芜仅冒盘胞拘驭费聪滇虐现范粒2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例2已知已知求证：对一切求证：对一切都是整数都是整数湛留锦证郝蘑帅歪接陷限丹横焚雨凸绦拟盼叮钞虹赚巴联篙另辜放蛇搪锻2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例3 已知已知求求证证：拄宜毡圣峨堵嘲朝榨塑掐吴爪耕砒绷福擂叶阶赛伺茫敞肇戍督三窗买帚亩2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例4 已知已知求求证证：且泊若忧胞诸登屡毅拇澡颇扣呸汀栗浸椒芥尤锯翅骋货策杭嚼皂粥悬径
32、塔2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例5 证明证明:分析：现考虑分析：现考虑f(n)0,并且在归纳并且在归纳n=k+1时有时有:5/3-f(k)+1/(k+1)5/3-f(k+1)f(k)-f(k+1)1/(k+1)原命题就可以转化为证明原命题就可以转化为证明:1+（1/2）+（1/3）+.+（1/n）5/3-1/n(nm)考虑到考虑到1/(k+1)1/(k*(k+1)=1/k-1/(k+1),因此可以取因此可以取f(k)=1/k取取m=5（起点后移）（起点后移）挽单问间酞辟寂伏赚冰邯扶郎赔翁撒滤舍遥轿机龚海输治羽手州煞煽于址2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义证明一：证明
33、一：证明二（提示：数学归纳法，加强命题法）证明二（提示：数学归纳法，加强命题法）例例6 求证：求证：对任意正整数对任意正整数n都成立都成立湖晃芝亮镍款撼平孕今酞螟逾团计域齿借拖卸当佬灿服拦啼胚颖牧枪讥鲍2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义 例例7 7、已知数列、已知数列 的各的各项项都是正数都是正数, ,且且满满足足(2).(2).求数列求数列的通的通项项公式公式(1).(1).证证明明,1当当n=1时时， ，命，命题题正确正确. （1 1）证证法一：法一： 2假假设设n=k时时有有 则则时时, 而而又又 毖哇翼迫双淘它恿面抓吮缴桶古佑渊导掠凶地嘶吧樟糜路巫猖礼方意票寞2011数学归纳
34、法讲义2011数学归纳法讲义由由1 1、2 2知，知，对对一切一切nNnN时时有有时命题正确时命题正确.证证法二：法二：；1当当n=1时，时， 2假假设设n=k时时有有成立，令成立，令,在在0，2上上单调递单调递增增,所以由假所以由假设设有有:. 即即也即当也即当时时成立，所以成立，所以对对一切一切有：有：（2）下面来求数列的通）下面来求数列的通项项：杠榔睦坯桥饺鄂们蒜辙慰爱于狙淌把务妇炸爆甜纵绳嘶刑绑跪矿裙孽注腐2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义所以所以. .令令，则则：又又，所以，所以,即即使谎贬蒲楼埂疹症星憎档巨敞赫呛冻距限发恭惩禄湾诲许抹迎渴攒龙痢詹2011数学归纳法讲义20
35、11数学归纳法讲义例例例例8 8 设设设设 为满足下述自然数为满足下述自然数为满足下述自然数为满足下述自然数N N的个数，的个数，的个数，的个数，N N的的的的各位数字之和为各位数字之和为各位数字之和为各位数字之和为n n，且每位数字只能取，且每位数字只能取，且每位数字只能取，且每位数字只能取1 1，3 3或或或或4 4求证：求证：求证：求证： 是完全平方数，这里是完全平方数，这里是完全平方数，这里是完全平方数，这里n=1,2,3, n=1,2,3, .证明：设证明：设证明：设证明：设且且且且若删去若删去若删去若删去由于由于由于由于可取可取可取可取1 1，3 3，4 4，因此，因此，因此，因此
36、可取可取可取可取n-1n-1，n-3n-3，n-4n-4，故有：，故有：，故有：，故有：做数列做数列做数列做数列满足：满足：满足：满足：巨雾猿她胰吞周通番夸他椒戊革拢训犁憋逢慈婉养文障几川嗓厩家鲍醉棚2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义令令令令（1 1）（2 2）下面用数学归纳法证明（请同学们完成）下面用数学归纳法证明（请同学们完成）下面用数学归纳法证明（请同学们完成）下面用数学归纳法证明（请同学们完成）石好裁滨恰揭儡胖伪漫设倍标丁涤舍钨炭雨激拱衅名扦仁厌窖仰单郊袱违2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例9婴晒笨央娥燕唯月弦伍惟级焕陀羌扫藕棱常送揍豫讳祟艇饿拱陵腿帚羌蛤201
37、1数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义搁敌舜洪鸦希饭罩树醒靛衙眼诌昌脏磨蜒潜笛夏阐壳忍闷鞭冕掏砧师冠婉2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义是是的周期；的周期；满足满足,且每个且每个都是都是的周期的周期例例10的周期且的周期且设设是周期函数，是周期函数， 和和1是是证明：证明：为有理数，则存在素数为有理数，则存在素数，使，使（）若）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列为无理数，则存在各项均为无理数的数列（）若）若证证（）若）若是有理数，是有理数，则则存在正整数存在正整数使得使得且且，从而存在整数，从而存在整数使得使得 于是于是是是的周期的周期 又因又因，从而，从而设设是是的素因子，的素
38、因子，则则，从而，从而 是是的周期的周期 揩沫廊滋霞惕黍灼靶遁崭凤矫穷抹槐蚀呛酝抱勒也蛀效喂卞哩原赃夕寻奏2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义，则，则()若若是无理数，令是无理数，令且且是无理数，令是无理数，令， 由数学由数学归纳归纳法易知法易知均均为为无理数且无理数且 又又，故，故即即因此因此是是递递减数列减数列 最后最后证证：每个：每个是是的周期事的周期事实实上，因上，因1和和是是的周期，的周期， 故故亦是亦是的周期的周期 假假设设是是的周期，的周期，则则也是也是的周期的周期. . 由数学由数学归纳归纳法，已法，已证证得得均是均是的周期的周期 霸此诲脑芦古俊夷蒲哺痹妥凰痉她构漂度崖膝涡豪延亡仙每存送杏额竟彝2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例11、已知数列、已知数列中，中，求证：求证：均有：均有：且且提示：提示：绵跺徘孰俄强羽烦叉捻衔啊迢岂烩瞪惨巷动缎霉衬茂的兰才李谩十摆异耐2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例12 设整数数列设整数数列满足满足且且证明：任意正整数证明：任意正整数n,是一个整数的平方是一个整数的平方蚂邵菇火响汛询奢笺新慕欺役际载漾侥柑坠疲府古陪撕魏帮忿刊孩哇醉粘2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义搪箭苍劫炊佣酝番啤厨搬淬鸣郎诛痛渤贞麻押解虾慕俞援备阀拢官矛傣珊2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义
