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1、第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分 二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第四四章 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为: 已知求在变力试求质点的运动速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律, 加速度定义定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 如引例
2、中, 的原函数有 问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理定理1. 存在原函数 .(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2. 原函数都在函数族( C 为任意常数 ) 内 .证证: 1)又知故即属于函数族机动 目录 上页 下页 返回 结束 即定义定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号积分号; 被积函数被积函数; 被积表达式被积表达式. 积分变量积分变量;(P183)若则( C 为任意常数 )C 称为积
3、分常数积分常数不可丢不可丢 !例如,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线积分曲线 . 例例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有因此所求曲线为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 质点在距地面处以初速力, 求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻 t
4、质点所在位置为则(运动速度)(加速度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 再由此求先求由知再求于是所求运动规律为由知机动 目录 上页 下页 返回 结束 故二、二、 基本积分表基本积分表 (P186)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维利用逆向思维( k 为常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求求解解: 原式 =例例4. 求解解: 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论: 若则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求解
5、解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求求解解: 原式 =例例7. 求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 (见P 186)2. 直接积分法:利用恒等变形恒等变形, 及 基本积分公式基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 证明 2. 若(P191题4)提示提示:机动 目录 上页 下页
6、 返回 结束 提示提示:3. 若是的原函数 , 则提示提示: 已知机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 若的导函数为则的一个原函数是 ( ) .提示提示: 已知求即B?或由题意其原函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 求下列积分:提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 求不定积分解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 7. 已知已知求 A , B .解解: 等式两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P190 1 (5) , (12) , (14) , (20) , (23) , (25) , (26) ; 2 ; 3第二节 目录 上页 下页 返回 结束
