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1、高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 第一章 第十节函数的连续与间断函数的连续与间断一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期一、函数的连续性一、函数的连续性函数的增量函数的增量设函数设函数在在内有定义内有定义, ,称为自变量相对于点称为自变量相对于点的增量的增量. .称为函数称为函数相对于相对于的的增量增量. .自变量自变量x的增量的增量.函数函数f(x)的增量的增量.高等数学高等数学 化学化学141、142 2014201
2、5学年第一学期学年第一学期连续的定义连续的定义定义定义1如果当如果当自变量的增量自变量的增量趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数的增量对应的函数的增量设函数设函数在在内有定义内有定义, ,也趋向于零也趋向于零, ,即即或或那么就称函数那么就称函数在点在点处处连续连续, ,称为称为的的连续点连续点. .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定义定义2. 在在x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 则称函数则称函数f(x)在在x0处连续处连续设函数设函数 y = f(x)如果如果连续的定义连续的定义高等数学高等数学 化学化学141、142 201420
3、15学年第一学期学年第一学期定义定义3设函数设函数在在内有定义内有定义, ,若若使当使当时时, ,恒有恒有那么就称函数那么就称函数在点在点处处连续连续. .连续的定义连续的定义高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期在在x0=0点不连续点不连续高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期在在x0=0点不连续点不连续高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 1 试证函数试证函数在在处连续处连续. .证证又又由由定义定义2知，知， 函数函数在在处连续处连续. .高等数学高等
4、数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期注意注意1 函数函数 y = f(x)在在x0处连续蕴含以下处连续蕴含以下三个条件，缺一不可三个条件，缺一不可:(1) f(x)在点在点x0即即 f(x0) 存在；存在；(2) 极限极限(3)存在存在 ;有定义有定义 ,注意注意2函数函数 y = f(x)在在x0处连续意味着极限处连续意味着极限运算与函数可以交换顺序运算与函数可以交换顺序.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期左连续左连续定义定义 (f(x)在在x0处处左左连续、连续、右右连续连续)右连续右连续定理定理 f(x)在
5、在 x0 处连续处连续f(x)在在 x0处即左连续又右连续处即左连续又右连续.二、左右连续二、左右连续高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 2讨论函数讨论函数在在和和处的连续性处的连续性.解解因为因为但是但是高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 2讨论函数讨论函数在在和和处的连续性处的连续性.解解但是但是故故在在处不连续处不连续. .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 2讨论函数讨论函数在在和和处的连续性处的连续性.解解在在处：处：所以所以不存
6、在，不存在，在在处不连续处不连续. .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 3已知函数已知函数在点在点处连续，处连续， 求求的值的值.解解因为因为点点处连续，处连续， 则则即即高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期三、连续函数与连续区间三、连续函数与连续区间在区间内每一点都连续的函数在区间内每一点都连续的函数, ,叫做在该区间叫做在该区间内的连续函数内的连续函数, ,或者说函数在该或者说函数在该区间内连续区间内连续. .如果函数在开区间如果函数在开区间(a,b)内连续内连续,并且在左端点并且在左端点x
7、 = a处右连续处右连续,在右端点在右端点x=b处左连续处左连续,则称函则称函数数f(x)在在闭区间闭区间a,b上连续上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .(1)(2)高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例如：例如：高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 4证证即函数即函数对任意对任意都是连续的都是连续的.证明函数证明函数在区间在区间内连续内连续.当当时，时，高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期四、函数的
8、间断点四、函数的间断点函数函数在点在点处连续必须满足的三个条件处连续必须满足的三个条件:在点在点处有定义处有定义;存在存在;若上述三个条件中有一个不满足若上述三个条件中有一个不满足, 则称函数则称函数f(x)在点在点处处不连续不连续(或或间断间断),连续点连续点(或或间断点间断点).并称点并称点为为 的的不不高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期四、函数的间断点四、函数的间断点(1) 函数函数f (x) 在点在点x0(2) 函数函数f (x) 在点在点x0不存在不存在;(3) 函数函数f (x) 在点在点x0存在存在 ,但但 不连续不连续 :设设f(
9、x)在点在点x0的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点x0之一函数之一函数 f (x) 在点在点x0虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 无定义无定义 ;高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期函数的间断点分类函数的间断点分类第一类间断点第一类间断点 设点设点为为的间断点的间断点.但左极限但左极限及右极限及右极限都存在都存在, 则称则称为为的的第一类间断点第一类间断点.当当时时, ,间断点间断点. .当当定义定义, ,则称点则称点为为的的可去间断点可去间断点. .称为称为
10、的的跳跃跳跃或或在点在点处无处无高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例如例如高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期跳跃间断点跳跃间断点例例 符号函数符号函数 -跳跃间断点跳跃间断点 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期第二类间断点第二类间断点 如果如果在点在点处的左、右极处的左、右极限至少有一个不存在限至少有一个不存在, , 则称点则称点为函数为函数的的第二类间断点第二类间断点. .函数的间断点分类函数的间断点分类例例为振荡间断点为振荡间断点 .为无穷间断点为
11、无穷间断点 .常见的第二类间断点有常见的第二类间断点有无穷间断点无穷间断点和和震荡间断点震荡间断点高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 5处的连续性，若是间断点请判断其类型处的连续性，若是间断点请判断其类型.解解讨论函数讨论函数在在为函数的为函数的跳跃间断点跳跃间断点.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 6解解讨论函数讨论函数在在处的连续性处的连续性.为函数的为函数的可去间断点可去间断点.注：注：则则若修改定义若
12、修改定义在在处连续处连续. .若是间断点请判断其类型若是间断点请判断其类型. .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例 7处的连续性，若是间断点请判断其类型处的连续性，若是间断点请判断其类型. .解解讨论函数讨论函数在在为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点(无穷间断点无穷间断点).高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例8求下列函数的间断点求下列函数的间断点,并判断其类型并判断其类型.去间断点去间断点 ,试补充或修改定义后使其为连续点试补充或修改定义后使其为连续点 .及及解解 因为因为在在处无定义
13、处无定义 ,所以所以是是的间断点的间断点 .又因又因若为可若为可高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期解解 又因又因所以所以为为的第一类间断点的第一类间断点(跳跃间跳跃间在在处有定义处有定义 ,但是但是为为所以所以的的无穷间断点无穷间断点 .在在处有定义处有定义 ,而且而且断点断点) .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期解解 又因又因所以所以为为的第一类不可去间断点的第一类不可去间断点(跳跃间跳跃间为为所以所以的无穷间断点的无穷间断点 .在在处有定义处有定义 ,而且而且断点断点) .但是但是可去间断点可
14、去间断点 ,若令若令则则在在处连续处连续 .故故为为的的高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期内容小结内容小结1. 连续的概念连续的概念(1) 函数函数在一点在一点处连续的等价定义：处连续的等价定义：使当使当时，时，恒有恒有(2) 左右连续：左右连续：高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期内容小结内容小结1. 连续的概念连续的概念(2) 左右连续：左右连续：(3) 闭区间闭区间上的连续函数：上的连续函数：一个内点连续且在左端点右连续，一个内点连续且在左端点右连续， 在右端点左连续在右端点左连续.2. 函数的
15、间断点函数的间断点即使函数不连续的点即使函数不连续的点.的的每每指该函数在指该函数在内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期内容小结内容小结1. 连续的概念连续的概念2. 函数的间断点函数的间断点3. 间断点的分类与判别：间断点的分类与判别：间断点间断点第一类间断点：可去型，跳跃型第一类间断点：可去型，跳跃型第二类间断点：无穷型，振荡型第二类间断点：无穷型，振荡型注注: : 第一类间断点特征第一类间断点特征 :都存在都存在 . 第一类的间断点统称为第二类间断点第一类的间断点统称为第二类间断点 .不是不是内容小结内容小结高等数学高等数学
16、化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期1.取何值时，取何值时，在在处连续处连续. .解解要使要使必须必须故当且仅当故当且仅当时，时， 函数函数处连续处连续. .在在课堂练习课堂练习高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期课堂练习课堂练习2. 设设时时提示提示:f(x)为连续函数为连续函数.0高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期3. 讨论函数讨论函数x = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,课堂练习课堂练习高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期4设函数设函数在在 x = 0 连续连续 , 则则 a = , b = .解解:考研题考研题高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期作业作业P73 习题习题1.10 4 (1)(3) 6 7
