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1、习题课习题课一、一、 重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法1. 计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标原式2.2.把积分把积分化为三次积分,其中由曲面提示提示: 积分域为原式及平面所
2、围成的闭区域 .3 .3 .计算积分计算积分其中是两个球 ( R 0 )的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =利用“先二后一先二后一” 计算方便 .4.计算三重积分其中是由 xoy平面上曲线所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标原式绕 x 轴旋转而成的曲面与平面补充题补充题补充题补充题. .计算积分其中D 由所围成 .提示提示: :如图所示连续,所以二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性或重心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号4. 利用重积分换元公式证明:提示提示: 左端积分区域如图,交换积分
3、顺序即可证得.1.2.其中是所围成的闭区域 .提示提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 由球面3. 3. 在均匀的半径为在均匀的半径为R R的圆形薄片的直径上的圆形薄片的直径上 , , 要接上一要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?提示提示: 建立坐标系如图.由对称性知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上 ,例例例例4.4. 计算二重积分计算二重积分其中:(1) D为圆域(2) D由直线解解: (1) 利用对称性.围成 .(2)(2) 积分域如图积分域如图: :将D 分为添加辅助线利用对称
4、性 , 得例例例例2. 2. 计算二重积分计算二重积分其中D 是由曲所围成的平面域 .解解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标例例例例5. 5. 计算二重积分计算二重积分在第一象限部分. 解解: (1)两部分, 则其中D 为圆域把与D 分成作辅助线(2) (2) 提示提示提示提示: : 两部分 说明说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线将D 分成例例例例6. 6. 如图所示交换下列二次积分的顺序:解解:例例例例7.7.解解: 在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中 三、重积分的应用三、重积分的应用1. 几何方面面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面3. 其它方面例例例例1 1 1 1. .证明证证: :左端= 右端例例2.设函数 f (x) 连续且恒大于零, 其中(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, (03考研)解解: (1) 因为 两边对 t 求导, 得(2) 问题转化为证 即证 故有因此 t 0 时, 因利用“先二后一”计算.例例例例3. 3. 试计算椭球体试计算椭球体的体积 V.解法解法1* *解法解法解法解法2 2利用三重积分换元法. 令则
