《2.4.1函数的零点2．4．1 函数的零点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.4.1函数的零点2．4．1 函数的零点（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、241 函数的零点函数的零点请你先想一个问题。请你先想一个问题。已知二次函数已知二次函数y=x2x6，试问，试问x取哪些取哪些值时，值时，y=0?求使求使y=0的的x值，也就是值，也就是求二次方程求二次方程x2x6=0的所有根的所有根 .解此方程得解此方程得x1=2，x2=3。 这就是说，当这就是说，当x=2或或x=3时，这个函数时，这个函数的函数值的函数值y=0。 画出这个函数的画出这个函数的简图，从图象上可以简图，从图象上可以看出，它与看出，它与x轴相交于轴相交于两点两点(2，0)、(3，0)。 这两点把这两点把x轴分成三个区间轴分成三个区间(，2)、(2，3)、(3，+)。 当当x(，2
2、)时，时，y0；当；当x(2，3)时，时，y0.二次方程二次方程x2x6=0的根的根2，3常称作函数常称作函数y=x2x6的零点。在坐标系中表示的零点。在坐标系中表示图象与图象与x轴的公共点轴的公共点是是(2，0)、(3，0)。零点的定义零点的定义： 一般地，如果函数一般地，如果函数y=f(x)在实数在实数处的值处的值等于等于0，即，即f()=0，则，则叫做这个函数的零叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图象与点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点轴的公共点是是(，0)。我们知道，对于我们知道，对于二次函数二次函数y=ax2+bx+c：当当=b24ac0时，方程时，方程ax2+bx+c=0有两有两
3、个不相等的实数根，这时说二次函数个不相等的实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c有有两个零点两个零点；当当=b24ac=0时，方程时，方程ax2+bx+c=0有有两个相等的实数根，这时说二次函数两个相等的实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c有一个有一个二重的零点二重的零点或说有或说有二阶二阶零点零点；当当=b24ac0时，方程时，方程ax2+bx+c=0没没有实数根，这时说二次函数有实数根，这时说二次函数y= ax2+bx+c没有零点没有零点； 考虑函数考虑函数是否有零点是否有零点是研究函数性质和精是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步。确地画出函数图象的重要一步。 例如求
4、出例如求出二次函数的零点二次函数的零点及其图象的及其图象的顶点顶点坐标坐标，就能确定二次函数的一些，就能确定二次函数的一些主要性质主要性质，并能并能粗略地画出函数的简图粗略地画出函数的简图。 另外，我们还能另外，我们还能从二次函数的图象看到二次从二次函数的图象看到二次函数零点函数零点的性质：的性质： （1）当函数图象通过零点）当函数图象通过零点且穿过且穿过x轴时轴时，函函数值变号数值变号。如上例，函数。如上例，函数y= x2x6的图象在的图象在零点零点2的左边时，函数值取正号，当它通过的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点第一个零点2时，函数值由正变为负，再通时，函数值由正变为负，再通过第
5、二个零点过第二个零点3时，函数值又由负变正。时，函数值又由负变正。 （2）两个零点把）两个零点把x轴分成三个区间：轴分成三个区间： (，2)、(2，3)、(3，+)， 在每个区间上，所有函数值在每个区间上，所有函数值保持同号保持同号。例例1. 求函数求函数y=x32x2x+2的零点，并画出的零点，并画出它的图象。它的图象。解：因为解：因为x32x2x+2=x2(x2)(x2) =(x2)(x+1)(x1). 所以函数的零点为所以函数的零点为1，1，2.3个零点把个零点把x轴分成轴分成4个区间：个区间：(，1)、(1，1)、(1，2)、(2，+)。在这四个区间内，取在这四个区间内，取x的一些值，
6、以及零点，的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：列出这个函数的对应值表：x1.51 0.5 00.511.522.5y4.38 01.8821.1300.6302.63在直角坐标系内描在直角坐标系内描点连线，这个函数点连线，这个函数的图象如图所示。的图象如图所示。例例2求函数求函数f(x)=x3x的零点，并画出它的图的零点，并画出它的图象。象。 解：解：x3x=x(x+1)(x1)，令，令f(x)=0，即，即x(x+1)(x1)=0， 解得解得x1=0，x2=1，x3=1，所以函数，所以函数y=f(x)的零点有三个，为的零点有三个，为1，0，1， 这三个点把这三个点把x轴分成四个区间，轴
7、分成四个区间，(，1)、(1，0)、(0，1)、(1，+)，在这四个区间，在这四个区间中取一些中取一些x的值，列出函数的对应值表：的值，列出函数的对应值表： x1.510.500.511.5y 1.87500.37500.37501.875在直角坐标系中描在直角坐标系中描点作图得到图象。点作图得到图象。f(x)=x3x例例3若方程若方程7x2(k+13)x+k2k2=0的两的两实根分别在区间实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（内，则（ ）（A） （B）k4（C）1k1或或3k4 （D）2k1或或3k4解：函数解：函数f(x)=7x2(k+13)x+k2k2的图象的图象是开口向上的抛物线
8、，两个零点分别在是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)，(1，2)内，所以由图象可知，函数内，所以由图象可知，函数y=f(x)满满足足 ，即，即 ，解得，解得，所以所以2k1或或3k4，选，选D。例例4已知已知mR，函数，函数f(x)=m(x21)+xa恒有恒有零点，求实数零点，求实数a的取值范围。的取值范围。 解：（解：（1）当）当m=0时，时，f(x)=xa=0解得解得x=a恒恒有解，此时有解，此时aR； （2）当）当m0时，时， f(x)=0，即，即mx2+xma=0恒有解，恒有解， 1=1+4m2+4am0恒成立，恒成立， 令令g(m)=4m2+4am+1， g(m)0恒成立，恒成立， 2=16a2160，解得，解得1a1。 综上所述知，当综上所述知，当m=0时，时，aR； m0时，时，1a1。例例5方程方程x2+(m2)x+5m=0的两根都大于的两根都大于2，求实数，求实数a的取值范围。的取值范围。 解：令解：令f(x)= x2+(m2)x+5m，要使，要使f(x)=0的两根都大于的两根都大于2，则应满足，则应满足解得解得 所以所以即即5m4.
