《第二章控制系统的数学模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章控制系统的数学模型（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2.1 数学模型基础数学模型基础2.2 线性系统的微分方程线性系统的微分方程2.3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数2.4 系统的结构图系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式End End 本章作业本章作业1 1.1.定定义义：数数学学模模型型(mathematical model)是是指指出出系系统统内内部部物物理量（或变量）之间动态关系的表达式。理量（或变量）之间动态关系的表达式。2.1 2.1 数学模型基础数学模型基础2.52.2.建立数学模型的目的建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工
2、作建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。征，研究其内在的共性运动规律。2.22.32.423.3.建模方法建模方法微分方程微分方程(differential equation)（或差分或差分di
3、fference方程方程）传递函数传递函数(transfer function) （或结构图或结构图block diagram ）频率特性频率特性(frequency characteristics) 状态空间表达式状态空间表达式（或状态模型或状态模型state space model ）5.5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性4.4.常用数学模型常用数学
4、模型32.2.1微分方程的列写微分方程的列写2.2 2.2 线性系统的微分方程线性系统的微分方程R1C1i1(t)ur(t)uc(t)q微分方程的列写步骤微分方程的列写步骤 1 1）确定系统的输入、输出变量；）确定系统的输入、输出变量； 2 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；的物理定理写出各微分方程； 3 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4 4）变换成标准形式。）变换成标准形式。2.52.12.32.42.2.22.2.32.2.4动
5、画演示动画演示4RLCi(t)ur(t)uc(t) 试列写质量试列写质量m在外力在外力F作用下位移作用下位移y(t)的运动方程。的运动方程。例例2.1图为机械位移系统。图为机械位移系统。F y(t)k fm例例2.2 如图如图RLC电路，试列写以电路，试列写以ur(t)为输入量为输入量，uc(t)为输出为输出量的网络微分方程。量的网络微分方程。整理得整理得:解解:阻尼器的阻尼力阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力弹簧弹性力:解解:返回动画演示动画演示5非线性非线性(nonlinear)系统：用非线性微分方程描述。系统：用非线性微分方程描述。2.2.2微分方程的类型微分方程的类型线性定常系统：用线性微分方
6、程描述线性定常系统：用线性微分方程描述,微分方程的系数是常数。微分方程的系数是常数。线性系统的线性系统的重要性质重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即：如果输入如果输入r1(t)输出输出y1(t)，输入输入r2(t)输出输出y2(t)则输入则输入ar1(t)+b r2(t)输出输出a y1(t)+by2(t) 线性线性(linear)系统：用线性微分方程描述。系统：用线性微分方程描述。线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间而变化的。随时间而变化的。2.2.12.2.32.2.462.2.3
7、非线性元件微分方程的线性化非线性元件微分方程的线性化小偏差线性化小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。一、一、假设假设：x,y在平衡点在平衡点（x0,y0)附近变化，即附近变化，即x=x0+x,y=y0+y二、二、近似处理近似处理略去高阶无穷小项略去高阶无穷小项:严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。作
8、范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。三、三、数学方法数学方法2.2.12.2.42.2.27求解方法：经典法、拉氏变换法。求解方法：经典法、拉氏变换法。2.2.4线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解拉氏变换法求解步骤：拉氏变换法求解步骤： 1. 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量变换，得到变量s的代数方程；的代数方程； 2. 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输
9、出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。表达式，即为所求微分方程的解。2.2.12.2.32.2.28R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例例2.3已知已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求，求uc(t)解：解：在零初始条件下取拉氏变换：在零初始条件下取拉氏变换：动画演示动画演示92.3.1传递函数的定义传递函数的定义2.3 2.3 传递函数传递函数 线性定常系统在线性定常系统在零初始条件零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。量的拉氏变换之比，称为传递函数。2.52.12.42.22.3.22.3.32
10、.3.410试列写网络传递函数试列写网络传递函数Uc(s)/Ur(s).例例2.4如图如图RLC电路，电路，参见解解:1)零初始条件下取拉氏变换：零初始条件下取拉氏变换：传递函数：传递函数：2) 2) 变换到复频域来求，如右图。变换到复频域来求，如右图。LsR1/sCI(s)Ur(s)Uc(s)R1C1i1(t)ur(t)uc(t)11 1) 1) 传递函数是传递函数是复变量复变量s的有理真分式函数，分子多项式的的有理真分式函数，分子多项式的次数次数m 低于或等于分母多项的次数低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数；所有系数均为实数； 2) 2) 传递函数传递函数只取决于只取决于系统和元
11、件的结构系统和元件的结构, ,与与输入信号无关输入信号无关; ; 3) 3) 传递函数与微分方程有传递函数与微分方程有相通性相通性, ,可经简单置换而转换；可经简单置换而转换； 4) 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应脉冲响应。 5) 5) 传递函数是在传递函数是在零初始条件零初始条件下定义的，它只反应系统的零下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。状态特性；零初始条件含义要明确。 传递函数的性质传递函数的性质1213求求零零状状态态条条件件下下阶阶跃跃响响应应uc(t)；2)uc(0)=0.1v，ur(t)=1(t)，求求uc(t);3）
12、求脉冲响应求脉冲响应g(t)。例例2.5已知已知R1=1，C1=1F，1）对上式进行拉氏反变换：对上式进行拉氏反变换：3）解解:1）2）R1C1i1(t)ur(t)uc(t)14传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。2.3.2传递函数的零点传递函数的零点(zero)和极点和极点(pole)0 j S平面平面零、极点分布图。零、极点分布图。传递函数分子多项式与分母多传递函数分子多项式与分母多项式也可分解为如下形式：项式也可分解为如下形式：传递
13、函数分子多项式的根传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项式称为传递函数的零点；分母多项式的根的根pj称为传递函数的极点。称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。称为传递系数或根轨迹增益。2.3.32.3.42.3.1首首1 1型型尾尾1 1型型15例例2.6 具有相同极点不同零点的两个系统具有相同极点不同零点的两个系统 , ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为 极点极点决定系统响应形式（模态），决定系统响应形式（模态），零点零点影响各模态在响应影响各模态在响应中所占比重。中所占比重。 2.3.3传递函数的零点和极点对输出的影响传递
14、函数的零点和极点对输出的影响2.3.22.3.42.3.116比例环节比例环节: :G(s)=K积分环节积分环节:G(s)=1/s微分环节微分环节:G(s)=s2.3.4典型环节的传递函数典型环节的传递函数惯性环节惯性环节:一阶微分环节一阶微分环节:振荡环节振荡环节:2.3.22.3.32.3.1动画演示动画演示172.4.1结构图的组成和绘制结构图的组成和绘制2.4 2.4 系统的结构图系统的结构图R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(- -) 信号线：信号线：表示信号传递通路与方向。表示信号传递通路与方向。 方方 框：框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或子系表示对信号进行的数
15、学变换。方框中写入元件或子系统的传递函数。统的传递函数。 相加点：相加点：对两个以上的信号进行加减运算。对两个以上的信号进行加减运算。“+”+”表示相加，表示相加，“-”-”表示相减。表示相减。 引出点：引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。值和性质完全相同。 系统的结构图是描述系统各组成元部系统的结构图是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的件之间信号传递关系的数学图形数学图形。2.52.12.22.32.4.2引例引例1 1 结构图由许多对信号进行单向运算的结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组
16、成，它包括：方框和一些信号流向线组成，它包括：引例引例2 2引例引例3 318例例2.7 绘出绘出RC电路的结构图。电路的结构图。Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(- -)解：解：绘出网络对应的复频域图，可得：绘出网络对应的复频域图，可得：R1C1i1(t)ur(t)uc(t)19例例2.8 绘出图示双绘出图示双RC网络的结构图。网络的结构图。uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s) Uo(s)(d)(- -)IC(s)U(s)(c) IC(s)I1(s)I2(s)(- -)(b)Ui(s)I1(s) U(s)(- -)(a)I2(s) Uo(s)(e)Ui(s
17、)Uo(s) I2(s) U(s)IC(s) I1(s)(- -)(- -)(- -)(f)返回解：解：绘出网络对应的复频域图，可得：绘出网络对应的复频域图，可得：动画演示动画演示20串联方框的简化串联方框的简化( (等效等效) )：R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)2.4.2结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化C(s)G2(s)G1(s)V(s)R(s)(a)(a) 变变换换前前 R(s) C1(s)C3(s) C2(s)(- -) G1(s) G2(s) G3(s) C(s)C(s) G2(s)G1(s)R(s)(b) G1(s)+G2(s)- -G3(s)(b) 变变换换后
18、后 R(s) C(s)反馈连接方框的简化反馈连接方框的简化(等效等效) ：并联方框的简化并联方框的简化(等效等效) ：E(s)=R(s)H(s)C(s)C(s)=G(s)E(s)=G(s)R(s)H(s)C(s) 例例2.4.1等效规则等效规则等价关系演示等价关系演示(1)(1)21例例2.9求下图所示系统的传递函数。求下图所示系统的传递函数。G4(s)(- -)G2(s)G6(s)(- -)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)解：解：根据串联、并联及反馈连接的等效方法，可得：根据串联、并联及反馈连接的等效方法，可得：练习练习1 122相加点和引出点的移动相加点和引出点的移动： 等效
19、原则：等效原则：前向通道和反馈通道传递函数都不变。前向通道和反馈通道传递函数都不变。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)C(s)C(s)R(s) G(s)R(s)C(s)R(s) G(s)C(s)R(s)R(s)2.2.引出点后移引出点后移 1.1.引出点前移引出点前移 C(s)=G(s)R(s)等价关系演示等价关系演示(2)(3) 引出点的移引出点的移动动231.1.相加点前移相加点前移G(s)(- -)B(s)C(s)R(s)G(s)B(s)C(s)R(s)(- -)C(s)R(s)G(s)(- -)B(s)C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(- -)R(s)V1(s)V
20、2(s)E1(s)C(s)(- -)V2(s)V1(s)(- -)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(- -)或或相加点的移动相加点的移动3.交换或合并相加点交换或合并相加点 2.2.相加点后移相加点后移C(s)=G(s)R(s)-B(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s)= G(s)R(s)-G(s)B(s)C(s)=E1(s)+V2(s)= R(s)-V1(s)+V2(s)= R(s)+V2(s)-V1(s)等价关系演示等价关系演示(4)(5)等效规则等效规则练习练习2 224例例2.10结构图化结构图化简简(1) (1) 结构图化简方案结构图化简方案 RH2+G3H1
21、G1G2G3H2G4(- -)Y(a)G4G3H2Y R(b)G4Y R(c)返回2.4.22.4.1动画演示动画演示H1H2G1G2G3G4(- -)(- -)RY25(3) (3) 结构图化简方案结构图化简方案(2) (2) 结构图化简方案结构图化简方案H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(- -)RY(a)H2/G3G4RY(b)G1G2G3H1/G1G4RY(- -)(a)G4G1G2G3YR(- -)(b)原电路26例例2.11 双双RCRC网络的结构图简化。网络的结构图简化。Ui( (s) )R1 1(-)(-)(-)(-)(-)(-)Uo( (s) )(b)(b) R1C2
22、sUi(s)Uo(s)(-)(e)返回返回(d)(d)Ui( (s) )R1 1C2 2s(-)(-)Uo( (s) )(-)(-)U Ui i( (s s) )(-)(-)(-)(-)(-)(-)I I1 1(s)(s)I IC C(s)(s)U(s)U(s)I I2 2(s)(s)U Uo o(s(s) )(a)(a)动画演示动画演示Ui i( (s) )(-)(-)(-)(-)Uo( (s) )R1 1(c)(c)271.1.等效为单位反馈系统等效为单位反馈系统其它等价法则其它等价法则R(s)(- -)C(s)G(s) H(s)G(s)H(s)(- -)C(s)R(s)G(s)H(s)R
23、(s)C(s)- -1E(s)C(s)R(s)G(s)-H(s)E(s)2.2.负号可在支路上移动负号可在支路上移动 E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)Cs)=R(s)+-H(s)C(s)实际应用举例实际应用举例练习练习3 328q信号流图中常用的名词术语：信号流图中常用的名词术语：源节点源节点（输入节点）：（输入节点）： 在源节点上，只有信号输出支在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。代表系统的输入变量。q信号流图的信号流图的基本性质基本性质基本性质基本性质：1) 1) 节点节点标志系统的变量，
24、用标志系统的变量，用“O”表示。变量是所有流向该节点信号的代数和表示。变量是所有流向该节点信号的代数和; ; 2) 2) 信号信号在支路上沿箭头单向传递；在支路上沿箭头单向传递； 3) 3) 支路支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号; ; 4) 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。对一个给定系统，信号流图不是唯一的。1+R1C1s x2x5x4x6-1x3x7I(s) R21/R1x12.5信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式信号流图信号流图( (signalflowdiagram) )是由节点和支路组成
25、的一种信号传递网络。是由节点和支路组成的一种信号传递网络。阱节点阱节点（输出节点）：（输出节点）： 在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。系统的输出变量。2.12.22.32.42.5.22.5.12.5.3动画演示动画演示29混合节点混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。2.5.1信号流图的绘制信号流图的绘制 1. 1. 由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图 1 1）将微分方程通过拉氏变换，得到关
26、于）将微分方程通过拉氏变换，得到关于s s的代数方程；的代数方程； 2 2）每个变量指定一个节点；）每个变量指定一个节点； 3 3）将方程按照变量的因果关系排列；）将方程按照变量的因果关系排列； 4 4）连接各节点，并标明支路增益。）连接各节点，并标明支路增益。 前向通路：前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。路，叫前向通路。 前向通路上各支路增益之乘积称前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益前向通路总增益，一般用，一般用Pk表示。表示。 回路：回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不
27、多于一次的闭合通起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益回路增益，一般用，一般用La表示。表示。 不接触回路：不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。2.5.22.5.330上式拉氏变换上式拉氏变换 C1 ui R1 R2 uo i1i例例2.12 信号传递流程：信号传递流程：Ui(s)Ui(s)- -Uo(s)Uo(s)Uo(s) uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1动画演示动画演示31 1) 1) 用小圆圈标
28、出传递的信号，得到节点。用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。注意信号流图的节点只表示变量的相加。注意信号流图的节点只表示变量的相加。 G(s) C(s) R(s)G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(- -)(a)结构图结构图(节点节点)C(s)R(s) G(s)(节点节点) (支路支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b)信号流图信号流图2. 2. 由系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号
29、流图32例例2.13绘制结构图对应的信号流图绘制结构图对应的信号流图(1)。U Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )I I2 2( (s s) )U U( (s s) )I IC C( (s s) )I I1 1( (s s) )(-)(-) (-) (-) (-) (-)U Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )U Uo o( (s s) )U U( (s s) )I I2 2( (s s) )I IC C( (s s) )-1-1-1-1-1-11/1/R R1 11/1/C C1 1s s1/1/C C2 2s s1/1/R R2 22.5.22.5
30、.12.5.3动画演示动画演示例例2.14绘制结构图对应的信号流图绘制结构图对应的信号流图(2)。34特征式特征式：所有单独回路增益之和；所有单独回路增益之和；在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和；个回路增益乘积和；在在所所有有互互不不接接触触的的单单独独回回路路中中，每每次次取取其其中中三三个回路增益的乘积之和。个回路增益的乘积之和。梅逊公式梅逊公式为为：余因子式余因子式，即在信号流图中，把与第，即在信号流图中，把与第K条前向通路条前向通路相接触的回路去掉以后的相接触的回路去掉以后的值。值。2.5.2梅逊增益公式梅逊增益公式(Mas
31、onsgainformula)其中其中：n从输入节点到输出节点之前向通路总数。从输入节点到输出节点之前向通路总数。Pk从输入节点到输出节点的第从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益条前向通路总增益。2.5.12.5.3动画演示动画演示例例 题题35，与所有回路不接触：，与所有回路不接触：，没有与之不接触的回路：，没有与之不接触的回路：前向通路有两条：前向通路有两条：解：解：三个回路：三个回路：RG1G2G3H2-H2-H1CG4例例2.15已知系统信号流图，求传递函数已知系统信号流图，求传递函数。无互不接触的回路，则：无互不接触的回路，则：参见36f求传递函数求传递函数X4/X1及及X2/
32、X1。例例2.16已知系统信号流图，已知系统信号流图，解解：三个回路，三个回路，有两个互不接触回路。有两个互不接触回路。37 1.1.输入信号作用下的闭环输入信号作用下的闭环传递函数传递函数( (N( (s)=0) )=0) 2.5.3闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数R(s)E(s)N(s)C(s)H(s)G2(s)G1(s)B(s)(- -) 2.2.扰动作用下的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数 ( (R( (s)=0) )=0) 3.3.输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出输入信号和扰动信号同时作用时，系统的输出 4.4.闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数 定义误差定义误差 E( (s)=)=R( (s)-)-B( (s)2.5.2例例2.5.138本本章章作作业业 P662-2(c)(d)2-62-7(a)(c)2-12(用梅逊公式)2-13(a)2-14(a)(b)39
