《高考数学 7.2 空间几何体的表面积与体积课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 7.2 空间几何体的表面积与体积课件（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节空间几何体的表面积与体积【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)空间几何体的侧面积和表面积空间几何体的侧面积和表面积多面体的表面积多面体的表面积: :因为多面体的各面都是平面因为多面体的各面都是平面, ,所以多面体的表面积就是各个面的所以多面体的表面积就是各个面的_,_,即展开图的面积即展开图的面积, ,侧面积就是侧面展开图的面积侧面积就是侧面展开图的面积. .面积面积之和之和旋转体的侧面展开图及其表面积与侧面积旋转体的侧面展开图及其表面积与侧面积: :名称名称侧面展开图侧面展开图表面积表面积侧面积侧面积圆柱圆柱矩形矩形S=_S=_=_=
2、_S S侧侧=_=_圆锥圆锥扇形扇形S=rS=r2 2+r+rl=r(r+=r(r+l) )S S侧侧=_=_2r2r2 2+2r+2rl2r(r+2r(r+l) )2r2rlrrl名称名称侧面展开图侧面展开图表面积表面积侧面积侧面积圆台圆台扇环扇环S=_S=_S S侧侧= =_球球S=_S=_(r(r为半径为半径) )(r(r2 2+r+r2 2+r+rl+r+rl) )(r+r)(r+r)l4r4r2 2(2)(2)几何体的体积几何体的体积柱体柱体:V=_(S:V=_(S为底面面积为底面面积,h,h为高为高),),特别地特别地,V,V圆柱圆柱=_(r=_(r为底面半径为底面半径,h,h为高
3、为高););锥体锥体:V=_(S:V=_(S为底面积为底面积,h,h为高为高),),特别地特别地,V,V圆锥圆锥=_(r=_(r为底面半径为底面半径,h,h为高为高););ShShrr2 2h h台体台体:V=_(S,S:V=_(S,S分别为上、下底面面积分别为上、下底面面积,h,h为高为高),),特别地特别地,V,V圆台圆台=_;=_;球球:V=_(R:V=_(R为半径为半径).).2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)长方体的外接球长方体的外接球球心球心: :体对角线的交点体对角线的交点;半径半径:r= (a,b,c:r= (a,b,c为长方体的长、为长方体的长
4、、宽、高宽、高).).(2)(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球外接球外接球: :球心是正方体中心球心是正方体中心; ;半径半径r= (ar= (a为正方体的棱长为正方体的棱长););内切球内切球: :球心是正方体中心球心是正方体中心; ;半径半径r= (ar= (a为正方体的棱长为正方体的棱长););与各条棱都相切的球与各条棱都相切的球: :球心是正方体中心球心是正方体中心; ;半径半径r= a(ar= a(a为正方体的为正方体的棱长棱长).).(3)(3)正四面体的外接球与内切球正四面体的外接球与内切球( (正四面体可以看作是正方体的一部分
5、正四面体可以看作是正方体的一部分) )外接球外接球: :球心是正四面体的中心球心是正四面体的中心; ;半径半径r= a(ar= a(a为正四面体的棱长为正四面体的棱长););内切球内切球: :球心是正四面体的中心球心是正四面体的中心; ;半径半径r= a(ar= a(a为正四面体的棱长为正四面体的棱长).).3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :割补法与等体积转化法割补法与等体积转化法. .(2)(2)数学思想数学思想: :转化与化归、函数与方程转化与化归、函数与方程. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :台体体积公式记忆口诀台体体积公式记忆口
6、诀: :上底面、下底面上底面、下底面, ,两底积根加号两底积根加号连连, ,乘高除三体积见乘高除三体积见. .【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和多面体的表面积等于各个面的面积之和.(.() )(2)(2)锥体的体积等于底面积与高之积锥体的体积等于底面积与高之积.(.() )(3)(3)球的体积之比等于半径比的平方球的体积之比等于半径比的平方.(.() )(4)(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(.() )(5)(5)长方体既有外接球
7、又有内切球长方体既有外接球又有内切球.(.() )【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .多面体的表面积等于侧面积与底面积之和多面体的表面积等于侧面积与底面积之和. .(2)(2)错误错误. .锥体的体积等于底面积与高之积的锥体的体积等于底面积与高之积的 . .(3)(3)错误错误. .球的体积之比等于半径比的立方球的体积之比等于半径比的立方. .(4)(4)正确正确. .简单组合体是由简单几何体拼接或截去或挖去一部分组成简单组合体是由简单几何体拼接或截去或挖去一部分组成. .(5)(5)错误错误. .长方体只有外接球长方体只有外接球, ,没有内切球没有内切球. .答案答案: :(1)(1)
8、(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)2.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(必修必修2P282P28习题习题1.3A1.3A组组T3T3改编改编) )如图如图, ,将一个长方体用过相邻三条棱将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥的中点的平面截出一个棱锥, ,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为比为. .【解析】【解析】设长方体的相邻三条棱长分别为设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,a,b,c,它截出棱锥的体积为它截出棱锥的体积为V V1 1= = 剩下的几何体的体积剩下的几何体的体积V V2 2= =所
9、以所以V V1 1V V2 2=1=147.47.答案答案: :1 14747(2)(2)(必修必修2P36T102P36T10改编改编) )一直角三角形的三边长分别为一直角三角形的三边长分别为6cm,8cm,10cm,6cm,8cm,10cm,绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为. .【解析】【解析】旋转一周所得几何体为以旋转一周所得几何体为以 cmcm为半径的两个同底面的圆锥为半径的两个同底面的圆锥, ,其其表面积为表面积为S= S= 答案答案: : cmcm2 23.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014四川高考
10、四川高考) )某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示, ,则该三棱则该三棱锥的体积是锥的体积是( () )( (锥体体积公式锥体体积公式:V= Sh,:V= Sh,其中其中S S为底面面积为底面面积,h,h为高为高) )A.3A.3B.2B.2C.C. D.1D.1【解析】【解析】选选D.D.根据所给的侧视图和俯视图根据所给的侧视图和俯视图, ,该三棱锥的直观图如图所该三棱锥的直观图如图所示示. .从俯视图可知从俯视图可知, ,三棱锥的顶点三棱锥的顶点A A在底面内的投影在底面内的投影O O为边为边BDBD的中点的中点, ,所所以以AOAO即为三棱锥的高即为三棱锥的高
11、, ,其体积为其体积为(2)(2013(2)(2013天津高考天津高考) )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. .若若球的体积为球的体积为 , ,则正方体的棱长为则正方体的棱长为. .【解析】【解析】设球半径为设球半径为R,R,因为球的体积为因为球的体积为 所以所以R= ,R= ,又由球又由球的直径与其内接正方体的体对角线相等知正方体的体对角线长为的直径与其内接正方体的体对角线相等知正方体的体对角线长为3,3,故其棱长为故其棱长为 . .答案答案: :(3)(2014(3)(2014山东高考山东高考) )一个六棱锥的体积为一个六棱锥的体积为2 ,2 ,其
12、底面是边长为其底面是边长为2 2的的正六边形正六边形, ,侧棱长都相等侧棱长都相等, ,则该六棱锥的侧面积为则该六棱锥的侧面积为. .【解析】【解析】设六棱锥的高为设六棱锥的高为h,h,斜高为斜高为h h, ,则由体积则由体积V= V= 得得:h=1,h= :h=1,h= 所以侧面积为所以侧面积为 2 2hh6=12.6=12.答案答案: :1212考点考点1 1 几何体的侧面积及表面积几何体的侧面积及表面积【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014安徽高考安徽高考) )一个多面体的三视图如图所示一个多面体的三视图如图所示, ,则该则该多面体的表面积为多面体的表面积为( () )A.
13、21+A.21+B.18+B.18+C.21C.21D.18D.18(2)(2015(2)(2015石家庄模拟石家庄模拟) )一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示, ,则该几何体的则该几何体的表面积为表面积为. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)将三视图还原为原几何体将三视图还原为原几何体, ,求各个面面积的和求各个面面积的和. .(2)(2)将三视图还原为原几何体将三视图还原为原几何体, ,可得该几何体是长方体内挖去圆柱后剩可得该几何体是长方体内挖去圆柱后剩下的部分下的部分. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.由三视图可知原几何体是一个正方由三视图可知原几
14、何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥体截去两个全等的小正三棱锥. .正方体的表面积为正方体的表面积为S=24,S=24,两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点, ,侧面是侧面是三个全等的直角边长为三个全等的直角边长为1 1的等腰直角三角形的等腰直角三角形, ,其侧面面积的和为其侧面面积的和为3,3,三棱三棱锥的底面是边长为锥的底面是边长为 的正三角形的正三角形, ,其表面积的和为其表面积的和为 , ,故所求几何体故所求几何体的表面积为的表面积为24-3+ =21+ .24-3+ =21+ .(2)(2)由三视图可知由三视图可知, ,该几何体是一
15、个长方体内挖去一个圆柱体该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体, ,如图所示如图所示. .长方体的长、宽、高分别为长方体的长、宽、高分别为4,3,1,4,3,1,表面积为表面积为4 43 32+32+31 12+42+41 12=38,2=38,圆柱的底面圆直径为圆柱的底面圆直径为2,2,母线长为母线长为1,1,侧面积为侧面积为221 11=2,1=2,圆柱的两个底面面积和为圆柱的两个底面面积和为2 21 12 2=2.=2.故该几何体的表面积为故该几何体的表面积为38+2-2=38.38+2-2=38.答案答案: :3838【易错警示】【易错警示】解答本例题解答本例题(1)(1)有两点易出错有
16、两点易出错: :(1)(1)由三视图将对应的几何体的结构特征还原错由三视图将对应的几何体的结构特征还原错, ,而误选而误选. .(2)(2)还原几何体正确还原几何体正确, ,但忽视截去三棱锥后截面是一个边长为但忽视截去三棱锥后截面是一个边长为 的正的正三角形三角形, ,其面积和为其面积和为 , ,而误选而误选C.C.【互动探究】【互动探究】把本例题把本例题(2)(2)中的三视图改为如下图形中的三视图改为如下图形, ,求该几何体的表求该几何体的表面积面积. .【解析】【解析】由三视图知由三视图知, ,这是一个底面是矩形的四棱锥这是一个底面是矩形的四棱锥, ,矩形的长和宽分别是矩形的长和宽分别是6
17、,2,6,2,四棱锥的高是四棱锥的高是4,4,所以四棱锥的表面积是所以四棱锥的表面积是2 26+26+2 2 25+65+64 4 + + 6 62 2=34+6 .=34+6 .【规律方法】【规律方法】几何体表面积的求法几何体表面积的求法(1)(1)多面体多面体: :其表面积是各个面的面积之和其表面积是各个面的面积之和. .(2)(2)旋转体旋转体: :其表面积等于侧面面积与底面面积的和其表面积等于侧面面积与底面面积的和. .计算旋转体的侧面积时计算旋转体的侧面积时, ,一般采用转化的方法来进行一般采用转化的方法来进行, ,即将侧面展开化即将侧面展开化为平面图形来解决为平面图形来解决. .(
18、3)(3)简单组合体简单组合体: :应搞清各构成部分应搞清各构成部分, ,并注意重合部分的处理并注意重合部分的处理. .(4)(4)若以三视图的形式给出若以三视图的形式给出, ,解题的关键是对给出的三视图进行分析解题的关键是对给出的三视图进行分析, ,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系, ,得到几何体的直得到几何体的直观图观图, ,然后根据条件求解然后根据条件求解. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015合肥模拟合肥模拟) )如图所示如图所示, ,某几何体的正视图和俯视某几何体的正视图和俯视图都是矩形图都是矩形, ,侧视图是平行四边
19、形侧视图是平行四边形, ,则该几何体的表面积为则该几何体的表面积为( () )【解析】【解析】选选C.C.图中所示的三视图对应的是一个横放的四棱柱图中所示的三视图对应的是一个横放的四棱柱, ,该四棱该四棱柱四个侧面都是矩形柱四个侧面都是矩形, ,上、下两个底面是平行四边形上、下两个底面是平行四边形, ,其表面积为其表面积为2 23 33+23+23 32+22+23 3 =30+6 .=30+6 .【加固训练】【加固训练】1.(20151.(2015武汉模拟武汉模拟) )已知一个几何体的三视图如图所示已知一个几何体的三视图如图所示, ,则该几何体的表面积为则该几何体的表面积为( () )A.1
20、0+96A.10+96B.9+96B.9+96C.8+96C.8+96D.9+80D.9+80【解析】【解析】选选C.C.图中所示的三视图对应的是一个由一个圆柱和一个正方图中所示的三视图对应的是一个由一个圆柱和一个正方体构成的简单组合体体构成的简单组合体, ,其表面积为其表面积为S=6S=64 44+24+21 14=96+84=96+8. .2.2.某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,该几何体的表面积是该几何体的表面积是. .【解析】【解析】由几何体的三视图可知由几何体的三视图可知, ,该几何体是底面为直角梯形的直四该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱棱柱( (如图所示如图所
21、示).).在四边形在四边形ABCDABCD中中, ,作作DEAB,DEAB,垂足为垂足为E,E,则则DE=4,AE=3,DE=4,AE=3,则则AD=5.AD=5.所以其表所以其表面积为面积为2 2 (2+5)(2+5)4+24+24+44+45+45+45+45+44=92.4=92.答案答案: :9292考点考点2 2 几何体的体积几何体的体积知知考情考情空间几何体的体积计算是近几年高考考查空间几何体的一个重要空间几何体的体积计算是近几年高考考查空间几何体的一个重要考向考向, ,常与空间几何体的三视图、空间的平行、垂直关系等知识综合常与空间几何体的三视图、空间的平行、垂直关系等知识综合,
22、,主要以选择、填空题的形式出现主要以选择、填空题的形式出现. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:根据几何体的直观图计算体积根据几何体的直观图计算体积【典例【典例2 2】(2014(2014山东高考山东高考) )三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC中中,D,E,D,E分别为分别为PB,PCPB,PC的中点的中点, ,记三棱锥记三棱锥D-ABED-ABE的体积为的体积为V V1 1,P-ABC,P-ABC的体积为的体积为V V2 2, ,则则 = =. .【解题提示】【解题提示】本题考查了空间几何体的体积本题考查了空间几何体的体积, ,可以由底面积和高的比可以由底面积和高的比值求出体积的比值值求出
23、体积的比值. .【规范解答】【规范解答】分别过分别过E,CE,C向平面向平面PABPAB作高作高h h1 1,h,h2 2, ,由由E E为为PCPC的中点得的中点得 由由D D为为PBPB的中点得的中点得S SABDABD= S= SABPABP, ,所以所以V V1 1VV2 2= = 答案答案: :命题角度命题角度2:2:根据几何体的三视图计算体积根据几何体的三视图计算体积【典例【典例3 3】(2014(2014重庆高考重庆高考) )某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,则该几何体则该几何体的体积为的体积为( () )( (本题源于教材必修本题源于教材必修2P29B2P2
24、9B组组T1)T1)A.12A.12B.18B.18C.24C.24D.30D.30【解题提示】【解题提示】直接根据三视图还原为几何体直接根据三视图还原为几何体, ,然后求出该几何体的体然后求出该几何体的体积积. .【规范解答】【规范解答】选选C.C.由三视图可知由三视图可知, ,该几何体为如图所示该几何体为如图所示的一个三棱柱上面截去一个三棱锥得到的的一个三棱柱上面截去一个三棱锥得到的. .三棱柱的体三棱柱的体积为积为 3 34 45=30,5=30,截去的三棱锥的体积为截去的三棱锥的体积为 3 33 34=6,4=6,所以该几何体的体积为所以该几何体的体积为24.24.悟悟技法技法计算几何
25、体体积的常见类型及解题策略计算几何体体积的常见类型及解题策略常见类型常见类型解题策略解题策略球的体积球的体积问题问题直接利用球的体积公式求解直接利用球的体积公式求解, ,在实际问题中要根据题意作出图形在实际问题中要根据题意作出图形, ,构构造直角三角形确定球的半径造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的锥体、柱体的体积问题体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高根据题设条件求出所给几何体的底面积和高, ,直接套用公式求解直接套用公式求解常见类型常见类型解题策略解题策略以三视图为以三视图为载体的几何体载体的几何体体积问题体积问题将三视图还原为几何体将三视图还原为几何体, ,利用空间几何体的体积
26、公式求解利用空间几何体的体积公式求解不规则几何不规则几何体的体积问题体的体积问题常用分割或补形的思想常用分割或补形的思想, ,若几何体的底不规则若几何体的底不规则, ,也需采用同样的方法也需采用同样的方法, ,将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形, ,易易于求解于求解通通一类一类1.(20141.(2014浙江高考浙江高考) )某几何体的三视图某几何体的三视图( (单位单位:cm):cm)如图所示如图所示, ,则该几何则该几何体的体积是体的体积是( () )A.72cmA.72cm3 3 B.90cm B.90cm3 3
27、C.108cmC.108cm3 3 D.138cm D.138cm3 3【解析】【解析】选选B.B.由三视图可知由三视图可知, ,原几何体是一个长方体和一个三棱柱的原几何体是一个长方体和一个三棱柱的组合体组合体, ,如图所示如图所示: :所以其体积为所以其体积为V=3V=34 46+ 6+ 3 34 43=90.3=90.2.(20142.(2014新课标全国卷新课标全国卷)正三棱柱正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的底面边长为的底面边长为2,2,侧棱侧棱长为长为 ,D,D为为BCBC中点中点, ,则三棱锥则三棱锥A-BA-B1 1DCDC1 1的体积为的体积为( ()
28、 ) 【解析】【解析】选选C.C.因为因为B B1 1C C1 1BD,BD,所以所以BDBD面面ABAB1 1C C1 1, ,点点B B和和D D到面到面ABAB1 1C C1 1的距离的距离相等相等, ,所以所以 3.(20153.(2015北京模拟北京模拟) )某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,当当a+ba+b取最大值时取最大值时, ,这个几何体的体积为这个几何体的体积为( () )【解析】【解析】选选D.D.由题意知由题意知, ,该几何体的直观图如图所示该几何体的直观图如图所示, ,且且AC= ,BD=1,BC=b,AB=a.AC= ,BD=1,BC=b,AB=a
29、.设设CD=x,AD=y,CD=x,AD=y,则则x x2 2+y+y2 2=6,x=6,x2 2+1=b+1=b2 2, ,y y2 2+1=a+1=a2 2, ,消去消去x x2 2,y,y2 2得得a a2 2+b+b2 2=8 =8 所以所以a+b4,a+b4,当且仅当当且仅当a=b=2a=b=2时等号成立时等号成立, ,此时此时x= ,y= ,x= ,y= ,所以所以4.(20154.(2015大连模拟大连模拟) )某一几何体的三视图如图所示某一几何体的三视图如图所示, ,则该几何体的体则该几何体的体积为积为. .【解析】【解析】依题意依题意, ,可知题中的几何体是从一个棱长为可知题
30、中的几何体是从一个棱长为2 2的正方体中挖去的正方体中挖去一个圆锥一个圆锥, ,其中该圆锥的底面半径是其中该圆锥的底面半径是1,1,高是高是2,2,因此该几何体的体积等因此该几何体的体积等于于2 23 3- - 1 12 22=8- .2=8- .答案答案: :8-8-考点考点3 3 空间几何体的外接球、内切球问题空间几何体的外接球、内切球问题【典例【典例4 4】(1)(2014(1)(2014湖南高考湖南高考) )一块石材表示的几何体的三视图如图一块石材表示的几何体的三视图如图所示所示, ,将该石材切削、打磨将该石材切削、打磨, ,加工成球加工成球, ,则能得到的最大球的半径等于则能得到的最
31、大球的半径等于( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4(2)(2015(2)(2015西安模拟西安模拟) )四面体四面体ABCDABCD的四个顶点都在球的四个顶点都在球O O的球面上的球面上,AB,AB平面平面BCD,BCDBCD,BCD是边长为是边长为3 3的等边三角形的等边三角形. .若若AB=2,AB=2,则球则球O O的表面积的表面积为为( () )A. B.12 C.16 D.32A. B.12 C.16 D.32【解题提示】【解题提示】(1)(1)先由三视图画出直观图先由三视图画出直观图, ,判断这个几何体是底面是边判断这个几何体是底面是边长为长为6,8,106
32、,8,10的直角三角形的直角三角形, ,高为高为1212的水平放置的直三棱柱的水平放置的直三棱柱, ,底面的内切底面的内切圆的半径就是得到的最大球的半径圆的半径就是得到的最大球的半径. .(2)(2)将四面体将四面体ABCDABCD补形成正三棱柱补形成正三棱柱, ,转化为正三棱柱的外接球问题求解转化为正三棱柱的外接球问题求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.由三视图画出直观图如图由三视图画出直观图如图, ,判断判断这个几何体是底面是边长为这个几何体是底面是边长为6,8,106,8,10的直角三角形的直角三角形, ,高高为为1212的水平放置的直三棱柱的水平放置的直三棱柱,
33、,直角三角形的内切圆的直角三角形的内切圆的半径为半径为r= =2,r= =2,这就是得到的最大球的半径这就是得到的最大球的半径. .(2)(2)选选C.C.将四面体将四面体ABCDABCD补形成正三棱柱补形成正三棱柱, ,则其外接球的球心为上、下则其外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点底面的中心连线的中点, ,底面底面BCDBCD的外接圆半径为的外接圆半径为 , ,所以外接球所以外接球的半径的半径R= =2,R= =2,球球O O的表面积的表面积S=4RS=4R2 2=16.=16.【规律方法】【规律方法】空间几何体与球接、切问题的求解方法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)(1)求解
34、球与棱柱、棱锥的接、切问题时求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时, ,一般过球心及接、切点作截一般过球心及接、切点作截面面, ,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题, ,再利用平面几何知再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解识寻找几何中元素间的关系求解. .(2)(2)若球面上四点若球面上四点P,A,B,CP,A,B,C构成的三条线段构成的三条线段PA,PB,PCPA,PB,PC两两互相垂直两两互相垂直, ,且且PA=a,PB=b,PC=c,PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素一般把有关元素“补形补形”成为一个球内接长方体成为一个球内接长方
35、体, ,利利用用4R4R2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2求解求解. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015郑州模拟郑州模拟) )已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的四个顶点均在半的四个顶点均在半径为径为3 3的球面上的球面上, ,且且PA,PB,PCPA,PB,PC两两互相垂直两两互相垂直, ,则三棱锥则三棱锥P-ABCP-ABC的侧面积的的侧面积的最大值为最大值为. .【解析】【解析】如图所示如图所示, ,因为因为PA,PB,PCPA,PB,PC两两互相垂直两两互相垂直, ,所以三棱锥所以三棱锥P-ABCP-ABC的的外接球就是以外接球就是以PA,PB,PCPA
36、,PB,PC为棱长的长方体的外接球为棱长的长方体的外接球. .设设PA=a,PB=b,PC=c,PA=a,PB=b,PC=c,则有则有a a2 2+b+b2 2+c+c2 2=4=43 32 2=36,=36,而三棱锥而三棱锥P-ABCP-ABC的侧面积为的侧面积为S= ab+ bc+ ac.S= ab+ bc+ ac.又又 ( (当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号),), ( (当且仅当当且仅当b=cb=c时取等号时取等号),), ( (当且仅当当且仅当a=ca=c时取等号时取等号),),所以所以S (S (当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号).).答案答案: :
37、1818【加固训练】【加固训练】1.(20151.(2015吉林模拟吉林模拟) )已知直三棱柱已知直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的的6 6个顶个顶点都在球点都在球O O的球面上的球面上, ,若若AB=3,AC=4,ABAC,AAAB=3,AC=4,ABAC,AA1 1=12,=12,则球则球O O的半径为的半径为 ( () )【解析】【解析】选选C.C.由题意知由题意知, ,三棱柱的底面三角形三棱柱的底面三角形ABCABC为直角三角形为直角三角形, ,其外其外接圆的圆心接圆的圆心O O为其斜边为其斜边BCBC的中点的中点, ,连接连接OA,OOOA,OO,O,OA,
38、A,由勾股定理得由勾股定理得,OA,OA2 2=O=OO O2 2+O+OA A2 2. .其中其中OA=R,OO= AAOA=R,OO= AA1 1=6,OA= BC= ,=6,OA= BC= ,所以球所以球O O的半径为的半径为2.(20152.(2015西安模拟西安模拟) )如图如图, ,已知球已知球O O是棱长为是棱长为1 1的的正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的内切球的内切球, ,则平面则平面ACDACD1 1截球截球O O的截面面积为的截面面积为( () )【解析】【解析】选选C.C.平面平面ACDACD1 1截球截球O O的截面为的截
39、面为ACDACD1 1的内切圆的内切圆. .因为正方体的棱长为因为正方体的棱长为1,1,所以所以AC=CDAC=CD1 1=AD=AD1 1= ,= ,所以内切圆的半径所以内切圆的半径r= ,r= ,所以所以S=rS=r2 2= = 巧思妙解巧思妙解8 8 巧用补形法解决立体几何问题巧用补形法解决立体几何问题【典例】【典例】(2015(2015唐山模拟唐山模拟) )如图如图:ABC:ABC中中,AB=8,BC=10,AB=8,BC=10,AC=6,DBAC=6,DB平面平面ABC,ABC,且且AEFCBD,BD=3,FC=4,AE=5.AEFCBD,BD=3,FC=4,AE=5.则则此几何体的
40、体积为此几何体的体积为. .【常规解法】【常规解法】如图如图, ,取取CM=AN=BD,CM=AN=BD,连接连接DM,MN,DN,DM,MN,DN,用用“分割法分割法”把原几把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥. .所以所以V V几何体几何体=V=V三棱柱三棱柱+V+V四棱锥四棱锥. .由题知三棱柱由题知三棱柱ABC-NDMABC-NDM的体积为的体积为V V1 1= = 8 86 63=72.3=72.四棱锥四棱锥D-MNEFD-MNEF的体积为的体积为: : 则几何体的体积为则几何体的体积为:V=V:V=V1 1+V+V2 2=72+24=96.=7
41、2+24=96.答案答案: :9696【巧妙解法】【巧妙解法】用用“补形法补形法”把原几何体补成一个直三把原几何体补成一个直三棱柱棱柱, ,使使AA=BB=CC=8,AA=BB=CC=8,所以所以V V几何体几何体= V= V三棱柱三棱柱= = S SABCABCAA= AA= 24248=96.8=96.答案答案: :9696【方法指导】【方法指导】(1)(1)补形法的应用思路补形法的应用思路: :“补形法补形法”是立体几何中一种常是立体几何中一种常见的重要方法见的重要方法, ,在解题时在解题时, ,把几何体通过把几何体通过“补形补形”补成一个完整的几何补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的
42、几何体中体或置于一个更熟悉的几何体中, ,巧妙地破解空间几何体的体积等问巧妙地破解空间几何体的体积等问题题, ,常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形, ,对于还原补形对于还原补形, ,主要涉及台体中主要涉及台体中“还台为锥还台为锥”. .(2)(2)补形法的应用条件补形法的应用条件: :当某些空间几何体是某一个几何体的一部分当某些空间几何体是某一个几何体的一部分, ,且求解的问题直接求解较难入手时且求解的问题直接求解较难入手时, ,常用该法常用该法. .【类题试解】【类题试解】如图所示如图所示, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中,AB=
43、2DC=2,DAB=60,AB=2DC=2,DAB=60,E,E为为ABAB的中点的中点, ,将将ADEADE与与BECBEC分别沿分别沿ED,ECED,EC向上折起向上折起, ,使使A,BA,B重合重合, ,则形则形成的三棱锥的外接球的表面积为成的三棱锥的外接球的表面积为. .【常规解法】【常规解法】由已知条件知由已知条件知, ,平面图形中平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折折叠后得到一个正四面体叠后得到一个正四面体. .作作AFAF平面平面DEC,DEC,垂足为垂足为F,FF,F即为即为DECDEC的中心的中心. .取取E
44、CEC的中点的中点G,G,连接连接DG,AG,DG,AG,过球心过球心O O作作OHOH平面平面AEC,AEC,则垂足则垂足H H为为AECAEC的的中心中心. .所以外接球半径可利用所以外接球半径可利用OHAGFAOHAGFA求得求得. .因为因为AG= ,AF=AG= ,AF= AH= , AH= ,在在AFGAFG和和AHOAHO中中, ,根据三角形相似可知根据三角形相似可知 外接球的表面积外接球的表面积S S球球= = 答案答案: : 【巧妙解法】【巧妙解法】由已知条件知由已知条件知, ,平面图形中平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体折叠后得到一个正四面体. .如图所示如图所示, ,把正四面体放在把正四面体放在正方体中正方体中, ,显然显然, ,正四面体的外接球就是正方体的外接正四面体的外接球就是正方体的外接球球. .因为正四面体的棱长为因为正四面体的棱长为1,1,所以正方体的棱长为所以正方体的棱长为 , ,所以外接球直径所以外接球直径2R= 2R= 所以所以R= ,R= ,所以外接球的表面积所以外接球的表面积S S球球= = 答案答案: :
