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1、3.1 整数规划数学模型整数规划数学模型 Mathematical Model of IP3.2 整数规划的求解整数规划的求解 Solving Integer Programming 3.3 01规划的求解规划的求解 Solving Binary Integer Programming 第第3章章 整整 数数 规规 划划Integer Programming1第第3 3章整数规划章整数规划 线线性性规规划划的的决决策策变变量量取取值值可可以以是是任任意意非非负负实实数数，但但许许多多实实际际问问题题中中，只只有有当当决决策策变变量量的的取取值值为为整整数数时时才才有有意义。意义。 例例如如，产
2、产品品的的件件数数、机机器器的的台台数数、装装货货的的车车数数、完完成工作的人数等，分数或小数解显然是不合理的。成工作的人数等，分数或小数解显然是不合理的。对对某某一一个个项项目目要要不不要要投投资资的的决决策策问问题题，可可选选用用一一个个逻辑变量逻辑变量 x，当，当x=1表示投资，表示投资，x=0表示不投资。表示不投资。3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 纯整数规划纯整数规划(IP)：xj全部取整数全部取整数混合整数规划混合整数规划(MIP)：xj部分取整数部分取整数0-1整数规划整数规划(BIP)：整数变量只能取：整数变量只能取0或或1分类分类2第第3 3章整数规划章整数规划【例
3、例3-1 】某某人人有有一一背背包包可可以以装装10公公斤斤重重、0.025m3的的物物品品。他他准准备备用用来来装装甲甲、乙乙两两种种物物品品，每每件件物物品品的的重重量量、体体积积和和价价值值如如表表3-1所所示示。问问两两种种物物品品各各装装多多少少件件，才才能能使使所所装装物物品品的的总价值最大？总价值最大？表表3-13-1【解】【解】设甲、乙两种物品各装设甲、乙两种物品各装x1、x2件，则数学模型为：件，则数学模型为：(3-1)物品物品重量（公斤重量（公斤/件）件）体积（体积（m3/件）件）价值价值(元元/件件)甲甲乙乙1.21.20.80.80.0020.0020.00250.00
4、254 43 33.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 3第第3 3章整数规划章整数规划 【补充例】【补充例】投资决策问题。某公司有投资决策问题。某公司有5个项目被列入投资计划，个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益如下表各项目的投资额和期望的投资收益如下表3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 该公司只有该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到以下约束：投资受到以下约束：（1）在项目）在项目1、2和和3中必须且只有一项被选中；中必须且只有一项被选中；（2）项目）项目3和项目和项目4最多只能选中一项；最多只能选中
5、一项；（3）项目）项目5被选中的前提是项目被选中的前提是项目1必须被选中。必须被选中。如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，使投资收益最大？如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，使投资收益最大？项目投资额（万元）投资收益（万元）1210160230021031506041308052601804第第3 3章整数规划章整数规划【解】【解】设设xj为选择第为选择第j（j=1,2,3,4,5)个项目的决策个项目的决策3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 5第第3 3章整数规划章整数规划【例例3-2 】在在例例3-1中中，假假设设此此人人还还有有一一只只旅旅行行箱箱，最最大大载载重重量量为为
6、12公公斤斤，其其体体积积是是0.02m3。背背包包和和旅旅行行箱箱只只能能选选择择其其一一，建建立立下下列列几几种种情情形形的的数数学学模模型型，使使所所装装物物品品价值最大。价值最大。（1）所装物品不变；）所装物品不变；（2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，每件物品的重量、体积和价值如下表所示每件物品的重量、体积和价值如下表所示3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 物品物品重量（公斤重量（公斤/件）件） 体积（体积（m3/件）件）价值价值(元元/件件)丙丙丁丁1.81.80.60.60.00150.00150.0020.0024
7、43 36第第3 3章整数规划章整数规划【解】【解】（1）引入）引入01变量变量yj，令，令 j=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。分别是采用背包及旅行箱装载。3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 (3-2)此问题也可以建立两个整数规划模型。此问题也可以建立两个整数规划模型。7第第3 3章整数规划章整数规划（2）由于不同载体所装物品不一样，数学模型为）由于不同载体所装物品不一样，数学模型为3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 其中其中MM为充分大的正数。为充分大的正数。当使用背包时当使用背包时(y1=1,y2=0)，式，式(b)和和(d)是多余的；是多余的；当使用旅行箱时当使用旅行
8、箱时(y1=0,y2=1)，式，式(a)和和(c)是多余的。是多余的。背包约束背包约束旅行箱约束旅行箱约束8第第3 3章整数规划章整数规划（1）右端常数是）右端常数是k个值中的一个时，类似式个值中的一个时，类似式(3-2)的约束的约束条件为条件为3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 同样可以讨论对于有同样可以讨论对于有m个条件互相排斥、有个条件互相排斥、有m（m、m）个条件起作用的情形。）个条件起作用的情形。9第第3 3章整数规划章整数规划 （2 2）对于）对于m 个（组）个（组）条件中有条件中有k（m）个（组）起）个（组）起作用时，作用时，类似式类似式(3-3)的的约束条件写成约束条件
9、写成这这里里yi=1表表示示第第i 组组约约束束不不起起作作用用（如如y1=1式式(3-3b)、(3-3d)不不起起作作用用），yi=0表表示示第第i个个约约束束起起作作用用。当当约约束条件是束条件是“”符号时右端常数项应为符号时右端常数项应为3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 10第第3 3章整数规划章整数规划【例【例3-3】试引入试引入01变量将下列各题分别表达为一般线性约变量将下列各题分别表达为一般线性约束条件束条件（1）x1+x26或或4x1+6x210或或2x1+4x220（2）若）若x15，则，则x20，否则，否则x28（3）x2取值取值0，1，3，5，7【解】【解】（1）
10、3个约束只有个约束只有1个起作用个起作用或或3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 如果要求至少一个条件满足，模型如何改变？如果要求至少一个条件满足，模型如何改变？11第第3 3章整数规划章整数规划（3）右端常数是）右端常数是5个值中的个值中的1个个（2）两组约束只有一组起作用）两组约束只有一组起作用3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 (1)(2)(3)(4)12第第3 3章整数规划章整数规划【例例3-4】企企业业计计划划生生产产4000件件某某种种产产品品，该该产产品品可可自自己己加加工工、外外协协加加工工任任意意一一种种形形式式生生产产。已已知知每每种种生生产产的的固固定定费费
11、用用、生生产产该该产产品品的的单单件件成成本本以以及及每每种种生生产产形形式式的的最最大大加加工工数数量量（件件）限限制制如如表表32所所示示，怎怎样样安安排排产产品品的加工使总成本最小。的加工使总成本最小。表表32固定成本（元）固定成本（元）变动成本变动成本（元件）（元件）最大加工数最大加工数（件）（件）本企业加工本企业加工50081500外协加工外协加工80052000外协加工外协加工6007不限不限3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 13第第3 3章整数规划章整数规划【解】【解】设设xj为采用第为采用第j（j=1,2,3）种方式生产的产品数量，）种方式生产的产品数量，生产费用为生
12、产费用为3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 其中其中kj是固定成本，是固定成本，cj是可变成本。是可变成本。设设01变量变量yj14第第3 3章整数规划章整数规划（3-4）用用WinQSB软件求解得到：软件求解得到：X(0，2000，2000)T ，Y(0，1，1)T，Z=254003.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 配合目标，使得只配合目标，使得只有选用有选用第第j 种种加工方加工方式才产生相应成本，式才产生相应成本，不选用第不选用第j 种种加工方加工方式就没有成本。式就没有成本。15第第3 3章整数规划章整数规划整数规划的一般形式：整数规划的一般形式：称线性规划模型称线性规
13、划模型（）（）(LP)为（为（）的）的松弛问题松弛问题。每一个整数规划都对应一个松弛问题，整数规划比它的松每一个整数规划都对应一个松弛问题，整数规划比它的松弛问题约束得更紧。弛问题约束得更紧。部分或全部取整3.1整数规划的数学模型整数规划的数学模型 16第第3 3章整数规划章整数规划1.整数规划模型的特征整数规划模型的特征2.什么是纯（混合）整数规划什么是纯（混合）整数规划3.01规划模型的应用规划模型的应用下一节：纯整数规划的求解下一节：纯整数规划的求解3.1 整数规划的数学模型整数规划的数学模型 本节学习要点本节学习要点19第第3 3章整数规划章整数规划 整数规划解的特点整数规划解的特点u
14、整数规划（整数规划（）的可行解集是其松弛问题（）的可行解集是其松弛问题（）的）的可行解集的子集。线性规划问题的可行解集是一个可行解集的子集。线性规划问题的可行解集是一个凸凸集集（稠密的），但整数规划的可行解集（稠密的），但整数规划的可行解集不是凸集不是凸集（离（离散型）。散型）。u如果松弛问题（如果松弛问题（）的最优解是整数解，则一定是）的最优解是整数解，则一定是整数规划（整数规划（）的最优解。）的最优解。u整数规划（整数规划（）的最优值）的最优值不会优于不会优于松弛问题（松弛问题（）的最优值。的最优值。3.2整数规划的求解整数规划的求解20第第3 3章整数规划章整数规划3.2整数规划的求解整
15、数规划的求解图图3-1点点B为最优解为最优解 X(3.57，7.14) Z35.7用图解法求解例用图解法求解例3-1的松弛问题的松弛问题整数规划问题的可行解集是图中可行域内的整数点。整数规划问题的可行解集是图中可行域内的整数点。8.3310松弛问题的最优解松弛问题的最优解X=(3.57,7.14),z=35.7x1x2oAC10B图图3-13-121第第3 3章整数规划章整数规划松弛问题的最优解松弛问题的最优解X(3.57，7.14)，Z35.7u“四舍五入四舍五入”得得X=(4,7)不是可行解；不是可行解；u用用“取取整整”法法来来解解时时，X=(3,7)虽虽属属可可行行解解，但但代代入入目
16、标函数得目标函数得Z=33,并非最优。并非最优。u该整数规划问题的该整数规划问题的最优解是最优解是X=(5,5)，最优值是，最优值是Z=35即甲、乙两种物品各装即甲、乙两种物品各装5件，总价值件，总价值35元。元。由由图图31知知，点点（5，5）不不是是LP可可行行域域的的顶顶点点，直直接接用用图图解解法法或或单单纯纯形形法法都都无无法法求求出出整整数数规规划划问问题题的的最最优优解解，因此求解整数规划问题的最优解需要采用其它特殊方法。因此求解整数规划问题的最优解需要采用其它特殊方法。3.2 整数规划的求解整数规划的求解8.3310松弛问题的最优解松弛问题的最优解X=(3.57,7.14),z
17、=35.7x1x2oAC10B图图3-13-122第第3 3章整数规划章整数规划【例【例3-5】用分支定界法求解例用分支定界法求解例3-1【解】【解】先求对应的松弛问题先求对应的松弛问题用图解法得到最优解用图解法得到最优解X（3.57,7.14）,Z0=35.73.2.1分支定界法分支定界法23第第3 3章整数规划章整数规划8.3310松弛问题松弛问题LP0的最优解的最优解X=(3.57,7.14),Z0=35.7x1x2oABC103.2.1分支定界法分支定界法241010x1x20ABCLP1LP234LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8LP2:X=(4,6.5),Z2=35.525
18、1010x10ACLP134LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8x1B67LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33LP2LP326x1x11010x10ACLP134LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8x1B67LP2LP3LP5LP4:X=(4,6),Z4=34LP5:X=(5,5),Z5=35此为原此为原IP最优解最优解527第第3 3章整数规划章整数规划尽管尽管LP1的解中的解中x2不为整数，但不为整数，但Z5Z1，因此，因此LP5的最优解就是原整数规划的最优解。若的最优解就是原整数规划的最优解。若Z5Z1 ，则要对，则要对LP1进行分支。进行分支。3.2.1分支定界法
19、分支定界法28第第3 3章整数规划章整数规划上述分枝过程可用下图表示上述分枝过程可用下图表示LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7LP1:X=(3,7.6)Z1=34.8LP2:X=(4,6.5)Z2=35.5x13x14LP3:X=(4.33,6)Z3=35.33x26LP4:X=(4,6)Z4=34LP5:X=(5,5)Z5=35x14x15无可行解无可行解x27最优解3.2.1分支定界法分支定界法29第第3 3章整数规划章整数规划分支定界法的步骤：分支定界法的步骤：1.求整数规划的松弛问题最优解；求整数规划的松弛问题最优解；2.若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划若松
20、弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解，否则转下一步；的最优解，否则转下一步；3.2.1分支定界法分支定界法3.任任意意选选一一个个非非整整数数解解的的变变量量xi，在在松松弛弛问问题题中中加加上上约约束束xixi及及xixi+1组组成成两两个个新新的的松松弛弛问问题题，称称为为分分支支。新新的的松松弛弛问问题题具具有有特特征征：当当原原问问题题是是求求最最大大值值时时，目目标标值值是是分分支支问问题题的的上上界界；当当原原问问题题是是求求最最小小值值时时，目目标标值值是分支问题的下界；是分支问题的下界；30第第3 3章整数规划章整数规划4.检检查查所所有有分分支支的的解解及及目目标
21、标函函数数值值，若若某某分分支支的的解解是是整整数数并并且且目目标标函函数数值值大大于于（max）等等于于其其它它分分支支的的目目标标值值，则则将将其其它它分分支支剪剪去去不不再再计计算算,若若还还存存在在非非整整数数解解并并且且目目标标值值大大于于（max）整整数数解解的的目目标标值值，需需要要继继续续分分支支，再检查，直到得到最优解。再检查，直到得到最优解。分分支支原原则则：始始终终选选Z值值大大的的，且且xi中中有有分分数数的的LP进进行行分分支。支。定定界界原原则则：满满足足取取整整要要求求，且且目目标标函函数数值值较较已已定定的的 “界界”更优，则用该目标函数值替换，重新定界。更优，
22、则用该目标函数值替换，重新定界。 3.2.1分支定界法分支定界法说明：说明： 分支定界法适用于求解分支定界法适用于求解纯整数规划和混合整数规划纯整数规划和混合整数规划31第第3 3章整数规划章整数规划设纯整数规划设纯整数规划松弛问题的最优解松弛问题的最优解3.2.2割平面法割平面法设设xi= 不为整数，不为整数，32第第3 3章整数规划章整数规划将将分离成一个分离成一个整数整数与一个与一个非负真分数非负真分数之和：之和：则有则有等式两边都为整数等式两边都为整数,并且有并且有3.2.2割平面法割平面法33第第3 3章整数规划章整数规划加入松弛变量加入松弛变量si得得此式称为以此式称为以xi行为源
23、行（来源行）的行为源行（来源行）的割平面方程割平面方程，或分数切割，或分数切割式，或式，或R.E.Gomory(高莫雷高莫雷)约束方程。约束方程。将将Gomory约约束束加加入入到到松松弛弛问问题题的的最最优优表表中中，用用对对偶偶单单纯纯形形法法计计算算，若若最最优优解解中中还还有有非非整整数数解解，再再继继续续切切割割，直直到到全全部部变量为整数。变量为整数。则则3.2.2割平面法割平面法34第第3 3章整数规划章整数规划例如，例如，x1行：行：移项：移项：加入松弛变量加入松弛变量s1得割平面方程得割平面方程同理，对于同理，对于x2行有：行有：3.2.2 割平面法割平面法35第第3 3章整
24、数规划章整数规划【例【例3-6】 用割平面法求解下列用割平面法求解下列IPIP问题问题【解】【解】 对应的松弛问题是对应的松弛问题是 3.2.2 割平面法割平面法36第第3 3章整数规划章整数规划加入松弛变量加入松弛变量x3及及x4后，用单纯形法求解，得到最优表后，用单纯形法求解，得到最优表3-3。最优解最优解X(0)(5/2，15/4),不是不是IP的最优解。的最优解。选择表中的第一行选择表中的第一行(也可以选第二行也可以选第二行)为源行为源行Cj4300bCBXBx1x2x3x443x1x210011/41/81/23/45/215/4j005/81/4表表3-33.2.2割平面法割平面法
25、37第第3 3章整数规划章整数规划分离系数后改写成分离系数后改写成加入松弛变量加入松弛变量x5得到高莫雷约束方程得到高莫雷约束方程将此式作为约束条件添加到表将此式作为约束条件添加到表33中，用对偶单纯形法计中，用对偶单纯形法计算，如表算，如表34所示所示3.2.2割平面法割平面法38第第3 3章整数规划章整数规划Cj43000bCBXBx1x2x3x4x5430x1x2x51000101/41/811/23/420015/215/42j005/81/40430x1x2x41000101/21/21/20011/43/81/2331j001/201/8最优解最优解X(1)(3，3)，最优值，最优
26、值Z21。表表343.2.2割平面法割平面法39第第3 3章整数规划章整数规划ACBx1+2x2=100DC6x1+4x2=30Ex1+x26几何意义几何意义 由约束条件得：由约束条件得：x3=30-6x1-4x2 , x4=10-x1-2x2代入割平面方程代入割平面方程-x3-2x4-2，得，得x1+x26 说说明明：利利用用割割平平面面法法求求解解整整数数规规划划问问题题时时, ,若若从从最最优优单单纯纯形形表表中中选选择择具具有有最最大大小小（分分）数数部部分分的的非非整整分分量量所所在在行行构构造造割割平平面面方方程程，往往往往可可以以提提高高“切切割割”效效率率，减减少少“切割切割”
27、次数。次数。 3.2.2割平面法割平面法不含任何不含任何整数解整数解40第第3 3章整数规划章整数规划5x15x1+9x245x2x1+x266960思考：思考： 对于两个变量的纯整数规划问题是否可采用图解法。对于两个变量的纯整数规划问题是否可采用图解法。最优解最优解x1=0, x2=53.2.3 整数规划的图解法整数规划的图解法41第第3 3章整数规划章整数规划步骤：步骤：1.1.作出松弛问题的可行域。作出松弛问题的可行域。2.2.在可行域内作出所有的整数网格。在可行域内作出所有的整数网格。3.3.作目标函数等值线，将等值线平行移动，最后接触到作目标函数等值线，将等值线平行移动，最后接触到的
28、网格点（或平行移动到松弛问题的最优解点再往回的网格点（或平行移动到松弛问题的最优解点再往回移，首先接触到的网格点），就是整数规划的最优解。移，首先接触到的网格点），就是整数规划的最优解。3.2.3 整数规划的图解法整数规划的图解法42第第3 3章整数规划章整数规划1.理解分支与定界的含义理解分支与定界的含义2.选择合适的选择合适的“枝枝”生生“枝枝”3.掌握何时停止生掌握何时停止生“枝枝”4.领会割平面法的基本原理领会割平面法的基本原理5.分离源行，求出分离源行，求出Gomory约束约束6.在最优表中增加在最优表中增加Gomory约束，用对偶单纯形法迭代约束，用对偶单纯形法迭代下一节：下一节：
29、01规划的求解规划的求解3.2 整数规划的求解整数规划的求解本节学习要点本节学习要点43第第3 3章整数规划章整数规划3.3.1 求解求解01整数规划的隐枚举法整数规划的隐枚举法隐枚举法的步骤：隐枚举法的步骤：1.找出任意一可行解，目标函数值为找出任意一可行解，目标函数值为Z02.原问题求最大值时，则增加一个约束原问题求最大值时，则增加一个约束作为作为过滤条件过滤条件。当求最小值时，上式改为当求最小值时，上式改为小于等于小于等于约束。约束。3.列列出出所所有有可可能能解解，对对每每个个可可能能解解先先检检验验是是否否满满足足过过滤滤条条件件，若若满满足足再再检检验验其其它它约约束束，若若不不满
30、满足足约约束束，则则不不可可行行，若若所所有约束都满足，且目标值超过有约束都满足，且目标值超过Z0,则应更换过滤条件。则应更换过滤条件。4.4.目标函数值最大（最小）的解就是最优解。目标函数值最大（最小）的解就是最优解。3.3 01规划的求解规划的求解44第第3 3章整数规划章整数规划【例例3-7】用隐枚举法求解下列用隐枚举法求解下列BIPBIP问题问题3.3 01规划的求解规划的求解(1)(2)(3)(4)45第第3 3章整数规划章整数规划jX(1)(2)(3)(4)ZjjX(1)(2)(3)(4)Zj1(0,0,0,0) 9(1,0,0,0) 2(0,0,0,1)10(1,0,0,1)3(
31、0,0,1,0) 11(1,0,1,0)4(0,0,1,1)12(1,0,1,1)5(0,1,0,0) 13(1,1,0,0)6(0,1,0,1) 14(1,1,0,1)7(0,1,1,0) 15(1,1,1,0)8(0,1,1,1)16(1,1,1,1)表表35最优解：最优解：X(1,0,1,1)T，最优值，最优值Z143.3 01规划的求解规划的求解 z53 27510616z119z14813118z846第第3 3章整数规划章整数规划 长长江江综综合合商商场场有有5000m2营营业业面面积积招招租租，拟拟吸吸引引以以下下5类类商商店店入入租租。已已知知各各类类商商店店开开设设一一个个店
32、店铺铺占占用用的的面面积积，在在该该商商场场内内最最多多与与最最少少开开设设的的个个数数，以以及及每每类类商商店店开开设设不不同同个个数数时时每每个个商商店店的的每每月月预预计计利利润润见见表表。商商场场除除按按租租用用面面积积每每月月收收取取100元元/m2租租金金外外，还还按按利利润润的的10%按按月月收收取取屋屋业业管管理理费费。问问该商场应招租上述各类商店各多少个，使预期该商场应招租上述各类商店各多少个，使预期收入为最大？收入为最大？代号代号商店商店类别类别一个铺面一个铺面面积面积(m2)开设数开设数开设不同数时一个店铺开设不同数时一个店铺利润利润(万元万元)最少最少最多最多1231服
33、装服装250139872鞋帽鞋帽35012109-3百货百货600132720204书店书店300021610-5餐饮餐饮40013171512思思 考考 商商 场场 招招 租租59第第3 3章整数规划章整数规划代号代号商店商店类别类别开设不同个数店铺开设不同个数店铺1231服装服装x11x12x132鞋帽鞋帽x21x22x233百货百货x31x32x334书店书店x41x42x435餐饮餐饮x51x52x53思思 考考 商商 场场 招招 租租60maxZ=100(250y1+350y2+600y3+300y4+400y5)+10%(9x11+82x12 +73x13+10x21+92x22+
34、12 3x53)x11+2x12+3x13=y1x21+2x22+3x23=y2x31+2x32+3x33=y3x41+2x42+3x43=y4x51+2x52+3x53=y5x11+x12+x13=1x21+x22+x23=1x31+x32+x33=1x41+x42+x431x51+x52+x53=1x23=0x43=0250y1+350y2+600y3+300y4+400y55000xij=0 或或1（i=1,2,3,4,5;j=1,2,3), yi0 (i=1,，5）61第第3 3章整数规划章整数规划用用LINDO软件计算，得最优解软件计算，得最优解 x12=x22=x33=x42=x53=1，其余其余xij=0 最优值最优值Z=63（万元）（万元）最优方案：最优方案：招租服装店招租服装店2个，鞋帽店个，鞋帽店2个，百货店个，百货店3个，书店个，书店2个，餐个，餐饮店饮店3个，预期收入最大，为个，预期收入最大，为63万元万元思思 考考 商场招租商场招租62第第3 3章整数规划章整数规划1.用隐枚举法求用隐枚举法求0-1规划的最优解规划的最优解2.用分枝隐枚举法求解用分枝隐枚举法求解0-1规划的最优解规划的最优解TheEndofChapter33.3 01规划的求解规划的求解本节学习要点本节学习要点63
