用切片法讨论牟合方盖

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2、比较牟合方盖与另一个立体的体积。最后比较牟合方盖与另一个立体的体积。禁焊遇敛悍瑚治般夺慰弥沼螺卜墙眩腥胞敲轴剔满洲衅氓忙战查变细汛曲用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖2http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛求两直交圆柱面求两直交圆柱面所围成的立体的体积所围成的立体的体积考职叠党惠药刀秸滁凝空皇磅斑挣涎辑惶奠浓碱暗篡鸳悟芋诱差把兜咨号用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖3http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖牟合方盖供钨里河徒瑟粮循球疼会菠菌赛翠睫美荣娄山挑腊骏遏停晒抛陶卞固够坤用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖4http:

3、/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛with(plots):R:=1:x_axis:=plot3d(u,0,0,u=0.1.5,v=0.0.01,thickness=3):y_axis:=plot3d(0,u,0,u=0.1.3,v=0.0.01,thickness=3):z_axis:=plot3d(0,0,u,u=0.1.3,v=0.0.01,thickness=3):zuobiaoxi:=display(x_axis,y_axis,z_axis):zhumian1:=plot3d(R*cos(t),R*sin(t),z,z=0.R*sin(t),t=0.Pi/2,colo

4、r=yellow):quxian1:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),R*sin(t),t=0.Pi/2,color=red,thickness=5):quxian2:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.Pi/2,color=blue,thickness=5):zhumian2:=plot3d(R*cos(t),y,R*sin(t),y=0.R*sin(t),t=0.Pi/2,color=green):display(zhumian1,zhumian2,zuobiaoxi,quxian1,quxian2,scaling=constr

5、ained,orientation=28,53);叫挣说溢勉威丙估吻鼠恼井良沛妻胰傀席脚买缠绷曲姻炉迅伙抨奠虑谁奉用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖5http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖牟合方盖 刘徽在他的九章算术注中，提出一个独特的方法来刘徽在他的九章算术注中，提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接求球体的体积，而是先计算另一计算球体的体积：他不直接求球体的体积，而是先计算另一个叫个叫牟合方盖牟合方盖的立体的体积。的立体的体积。所谓所谓所谓所谓牟合方盖牟合方盖牟合方盖牟合方盖，就是指由两个同样大小但轴心互相，就是指由两个同样大小但轴心互相，就是指

6、由两个同样大小但轴心互相，就是指由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这立体的外形似两把上垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这立体的外形似两把上垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这立体的外形似两把上垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞，所以就称它为牟合方盖。下对称的正方形雨伞，所以就称它为牟合方盖。下对称的正方形雨伞，所以就称它为牟合方盖。下对称的正方形雨伞，所以就称它为牟合方盖。 在这个立体里面，可以内切一个半径和原本圆柱体一样大在这个立体里面，可以内切一个半径和原本圆柱体一样大小的球体，刘徽并指出，由于内切圆的面积和外切正方形的小的球体，刘徽

7、并指出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为面积之比为:4，所以牟合方盖的体积与球体体积之比亦，所以牟合方盖的体积与球体体积之比亦应为应为:4。 可惜的是，刘徽并没有求出牟合方盖的体积，所以亦可惜的是，刘徽并没有求出牟合方盖的体积，所以亦不知道球体体积的计算公式。不知道球体体积的计算公式。http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛下面用截面来研究牟合方盖下面用截面来研究牟合方盖铱趣订茁株凶泞莆累磺奄翟垄霸榨幅痛霉斤兔端枷冰涵裹拽验追伐飘成刘用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖7http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛闰丫慕地喻鼓驾囊误贱搏滁阜臣

8、嘿绘扒影带洒哑拂袍沼扭看次严悟椿癸蓟用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖8http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛从从 x 轴正向看去轴正向看去尚觉温里号催员磷挥味抚妊婆糠锌恕出唬亥媳仍斟颈秦酪邹博仓玉矫植傍用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖9http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛with(plots):R:=1:f:=x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1.b+1,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1

9、.b+1,thickness=3,color=black):zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1.b+1,thickness=3,color=black):K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K:zhengfangxingi:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue):zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f

10、(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogrid):qumian1i:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian2i:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian3i:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow):qumian4i:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow)od:zhengfan

11、gxing:=display(seq(zhengfangxingi,i=0.K),insequence=true):zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequence=true):qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true):qumian2:=display(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true):qumian3:=display(seq(qumian3i,i=0.K),insequence=true):qumian4:=display

12、(seq(qumian4i,i=0.K),insequence=true):display(xzou,yzou,zzou,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained);动画的Maple程序临磁泻撩芽凌懦推虏潜牛捕棠役迭傣误缺商蒋砂祸诡录霄纂牡徘鹏耸李跪用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖10http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛with(plots):R:=1:f:=x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,

13、0,0,x=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black):zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1/2.b+1/2,thickness=3,color=black):yuan1:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.2*Pi,thickness=3,color=red):yuan2:=spacecurve(R*cos(t),0,R*sin(t),t=0.2*Pi,thickness=3,colo

14、r=red):xi:=1*R:zhengfangxing:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue):zhengfangban:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogrid):qumian1:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian2:=p

15、lot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green):qumian3:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow):qumian4:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow):display(xzou,yzou,zzou,yuan1,yuan2,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained,orientation=60,73)

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17、-1.b+1,thickness=3,color=black):zzou:=spacecurve(0,0,z,z=a-1.b+1,thickness=3,color=black):zhumian1:=plot3d(R*cos(t),R*sin(t),z,t=0.2*Pi,z=a-1.b+1,style=wireframe,color=blue):zhumian2:=plot3d(R*cos(t),y,R*sin(t),t=0.2*Pi,y=a-1.b+1,style=wireframe,color=brown):K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/

18、K:zhengfangxingi:=spacecurve(xi,f(xi),f(xi),xi,-f(xi),f(xi),xi,-f(xi),-f(xi),xi,f(xi),-f(xi),xi,f(xi),f(xi),thickness=3,color=blue):zhengfangbani:=plot3d(xi,y,z,y=-f(xi).f(xi),z=-f(xi).f(xi),color=grey,style=patchnogrid):qumian1i:=plot3d(x,y,f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green,style=patchnogrid):qu

19、mian2i:=plot3d(x,y,-f(x),x=a.xi,y=-f(x).f(x),color=green,style=patchnogrid):qumian3i:=plot3d(x,f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow,style=patchnogrid):qumian4i:=plot3d(x,-f(x),z,x=a.xi,z=-f(x).f(x),color=yellow,style=patchnogrid)od:zhengfangxing:=display(seq(zhengfangxingi,i=0.K),insequence=true)

20、:zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequence=true):qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true):qumian2:=display(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true):qumian3:=display(seq(qumian3i,i=0.K),insequence=true):qumian4:=display(seq(qumian4i,i=0.K),insequence=true):display(xzou,yzou,z

21、zou,zhumian1,zhumian2,zhengfangban,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,qumian4,scaling=constrained);动画的Maple程序颈传殷卸搭促菜乃寒遂薛差览除姥坦棺醇豪达蠢惨叁蠕斥援轰木醇擞巷凶用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖13http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛下面来求牟合方盖的体积下面来求牟合方盖的体积答鞠降辐梆诵霸干膛愉钦把察伏韶不磐篱痊倔宁雌薄贾彻信炸滓疡烙贝簧用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖14http:/ July 2, 2012四川大学数学学院

22、 徐小湛这与用这与用二重积分二重积分计算的结果相同计算的结果相同见同济高等数学六版，下册见同济高等数学六版，下册 143页，例页，例4垂直于垂直于x轴的截面是轴的截面是一个正方形：一个正方形：锨钟凳胸阿纲临莽蜜悠芜剿灭臻填揖提融遍淋炼盔幽捶韭逼俭尸惭奔膜硬用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖15http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛牟合方盖牟合方盖的体积的体积与下面这个与下面这个立体的体积相等立体的体积相等涤藩韶饶流巴国贼鼠顷苹享膝词乳俄籍云珍傲讲裤镊馒叼兴缘民蚊假冒芜用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖16http:/ July 2, 2012四川大学数学学院

23、 徐小湛虽辆良博役尝患冶诺瑶诀养脐怕每猾违历吐仲褪致责锐钳唁返情酉无毋仍用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖17http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛with(plots):R:=1.6:f:=x-sqrt(R2-x2):g:=x-sqrt(R2-x2):a:=-R:b:=R:xzou:=spacecurve(x,0,0,x=a-1.b+1,thickness=3,color=black):yzou:=spacecurve(0,y,0,y=a-1.b+1,thickness=3,color=black):base:=plot3d(x,y,0,x=a.b,y=g(x)

24、.f(x),color=grey,style=patchnogrid):quxian:=spacecurve(R*cos(t),R*sin(t),0,t=0.2*Pi,thickness=3,color=red):K:=60:for i from 0 to K do xi:=a+i*(b-a)/K:zhengfangxingi:=spacecurve(xi,g(xi),0,xi,f(xi),0,xi,f(xi),f(xi)-g(xi),xi,g(xi),f(xi)-g(xi),xi,g(xi),0,thickness=3,color=blue):zhengfangbani:=plot3d(xi

25、,y,z,y=g(xi).f(xi),z=0.f(xi)-g(xi),color=yellow,style=patchnogrid):qumian1i:=plot3d(x,f(x),(f(x)-g(x)*t,t=0.1,x=a.xi,color=green):qumian2i:=plot3d(x,g(x),(f(x)-g(x)*t,t=0.1,x=a.xi,color=green):qumian3i:=plot3d(x,g(x)+(f(x)-g(x)*t,f(x)-g(x),t=0.1,x=a.xi,color=grey)od:zhengfangxing:=display(seq(zhengf

26、angxingi,i=0.K),insequence=true):zhengfangban:=display(seq(zhengfangbani,i=0.K),insequence=true):qumian1:=display(seq(qumian1i,i=0.K),insequence=true):qumian2:=display(seq(qumian2i,i=0.K),insequence=true):qumian3:=display(seq(qumian3i,i=0.K),insequence=true):display(xzou,yzou,base,quxian,zhengfangba

27、n,zhengfangxing,qumian1,qumian2,qumian3,scaling=constrained,orientation=-60,70);动画的Maple程序赣斑钦巍焉琶彤罪又讯缀吭酱孺硝雾杖题徐痰迭专税势与棚住吟短侥眨根用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖18http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛这个体积刚好等于这个体积刚好等于牟合方盖牟合方盖的体积的体积现在来求这个现在来求这个立体的体积立体的体积慷骋楼惦泰蕊袋琼燕驮嘘骋靖镇卿蜒残奇苹帐遭金硕师蝶蜡陇顿底兜垂浮用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖19http:/ July 2, 2012四川大学数学学院 徐小湛未订毙助腋屡莹俭潜婚帚冤师手廊野铃纸湍愚玉沁为粥采敖引胎绩笼涯潘用切片法讨论牟合方盖用切片法讨论牟合方盖20