重积分应用举例

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1、第四节第四节 重积分应用举例重积分应用举例一、曲面的面积一、曲面的面积v例例1 1 设一底面为矩形的柱体被一平面所截，设一底面为矩形的柱体被一平面所截，如果截面的法向量为如果截面的法向量为 底面位于底面位于面，证明截面（平行四边形）的面，证明截面（平行四边形）的与底面的面积与底面的面积有如下的关系：有如下的关系：面积面积证证 不妨设截面不妨设截面MPQR与底面与底面MNOL的位的位置关系如图所示，其中点置关系如图所示，其中点M的坐标为的坐标为。由解析几何知，截面。由解析几何知，截面MPQR有点法式方程有点法式方程将点将点P的坐标的坐标代入上式，得代入上式，得 ，即点，即点P的坐标为的坐标为又将

2、点又将点R的坐标的坐标代入上式，得代入上式，得，即点，即点R的坐标为的坐标为因而得因而得于是得截面面积于是得截面面积设曲面的方程为：设曲面的方程为：如图，如图，g go曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得解解例例2 2 求旋转抛物面求旋转抛物面位于位于之间的那一部分的面积。之间的那一部分的面积。解：解： 设设由公式知由公式知例例3 3 求半径为求半径为a a，高度为，高度为由公式得球冠的面积由公式得球冠的面积其中其中解：解：

3、设球冠的方程为设球冠的方程为的球冠的面积。的球冠的面积。二、质心和转动惯量二、质心和转动惯量1 1、质心、质心：当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.由元素法由元素法例例3 3 设一正棱锥体设一正棱锥体的底面位于的底面位于面上，底面中心为面上，底面中心为坐标原点，顶点位于正坐标原点，顶点位于正z z轴上，高度为轴上，高度为h h，求该正棱锥，求该正棱锥体的形心。体的形心。解：设解：设的形心坐标为的形心坐标为且,其中其中v v是是的体积的体积解解2 2、转动惯量、转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量解解三、引力三、引力其

4、中其中例例6 6 求半径为求半径为R R的均匀圆盘的均匀圆盘面密度为常数面密度为常数 ，对位于，对位于单位质点的引力单位质点的引力解：由圆盘的对称性及质量分布的均匀性知解：由圆盘的对称性及质量分布的均匀性知又按公式，所求引力沿又按公式，所求引力沿z z轴的分量为轴的分量为解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知所求引力为所求引力为几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）四、小结思考题思考题薄片关于薄片关于 轴对称轴对称思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案