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1、 数列的前数列的前n n项和的求法项和的求法yyyy年年M月月d日星期日星期1 1 数列的前数列的前n n项和的求法项和的求法( (一一) )公式法：公式法：即直接利用等差数列与等比数列的前即直接利用等差数列与等比数列的前n n项和公项和公式进行求和。式进行求和。 注意：注意： ( (加法结合律加法结合律) ) 例例1 (1)1 (1)求和：求和： (2) (2)求和：求和：v (1)(1)求和：求和：分析：分析： (1)(1)中每一项是两项的差，被减数依次构成等差中每一项是两项的差，被减数依次构成等差数列，减数依次构成等比数列数列，减数依次构成等比数列解：解：(1)(1)原式原式v(2)(2
2、)求和：求和： 分析：分析：(2)(2)中每一项不是两项和中每一项不是两项和( (或差或差) )的形式，这怎么求和呢的形式，这怎么求和呢? ?能能不能把每一项不能把每一项( (即通项即通项) )变换形式，变换形式，“拆一下拆一下”呢呢? ?解：解：通项通项原式原式2 2 数列前数列前n n项和的求法项和的求法( (二二) )倒序相加法：倒序相加法： 先求先求等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式 利用了倒序相利用了倒序相加法在公式的推导过程中，利用了等差数列的一个重加法在公式的推导过程中，利用了等差数列的一个重要性质，即要性质，即 例例2 2 求分母为求分母为3 3，包含在正整数，包含
3、在正整数2 0042 004与与2 0082 008之之间的所有不可约分数的和间的所有不可约分数的和解：满足题意的数构成以下数列：解：满足题意的数构成以下数列： 共共8 8项，它既非等差也非等比数列但与首末两端等距项，它既非等差也非等比数列但与首末两端等距离的项的和都是离的项的和都是(2 004+2 008)(2 004+2 008)，所以可以用等差数列，所以可以用等差数列的求和方法的求和方法倒序相加法设和为倒序相加法设和为S S，则，则3 3 数列前数列前n n项和的求法项和的求法( (三三) )裂项相消法裂项相消法 在求非等差、非等比数列的前在求非等差、非等比数列的前n n项和时，将每一项
4、项和时，将每一项( (即通项即通项) )拆成若干项，在做加法时，中间的项拆成若干项，在做加法时，中间的项“全部全部抵消抵消”，只剩下首、末的有限项，从而得到和，只剩下首、末的有限项，从而得到和( (此法此法叫做裂项相消法叫做裂项相消法) ) 例例3 3 求和：求和：分析：分析： 利用裂项法，使得裂项后有诸多项能相互抵消利用裂项法，使得裂项后有诸多项能相互抵消 解：解： (1) (1)原式原式解：解：原式原式 例例4 4 已知各项不为零的等差数列已知各项不为零的等差数列 an n ，求证：，求证： 证明：证明： 左边左边得证得证4 4 数列前数列前n n项的求法项的求法( (四四) )错位相减法
5、错位相减法错位相减法适用于求数列错位相减法适用于求数列 an nbn n 的前的前n n项和，其中项和，其中 an n 是是等差数列，等差数列， bn n 是等比数列是等比数列例例5 求和求和解：当解：当a=1时，时，当当a1时，在上式两边同乘以时，在上式两边同乘以 得得 与与 两式相减，两式相减，得得即即综上得综上得数数 列列 综综 合合 题题例例1已知数列已知数列an中，中， 且且(I)设设 证明：证明：bn是等比数列；是等比数列；(II)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(III)若若a3是是a6与与a9的等差中项，求的等差中项，求q的值，并证明：对任的值，并证明：对任意的意的nN
6、，an是是an+3与与an+6的等差中项的等差中项解解: (I)由题设由题设 得得 即即 又又 所以所以bn是首项为是首项为l，公比为，公比为q的等比数列的等比数列(II)由由(I)知，知，将以上各式相加，得将以上各式相加，得所以当所以当n2时，时，上式对上式对n=1时显然成立时显然成立 (III)由由(II)知，当知，当q=1时，显然时，显然a3不是不是a6与与a9的等差中项，的等差中项，故故q1 由由 可得可得由由q0得得 整理得整理得解得解得 或或 (舍去舍去)于是于是另一方面另一方面由由可得可得所以对任意的所以对任意的nN*,an是是an+3与与an+6的等差中项的等差中项例例2等差数列等差数列an的各项均为正整数，的各项均为正整数，a1=3，前，前n项和项和为为Sn，等比数列，等比数列bn中，中，b1=1，且，且b2S2=64,b 是公比是公比为为64的等比数列的等比数列 (1)求求an与与bn； (2)证明：证明：解解:(1)设设an的公差为的公差为d，bn的公比为的公比为q，则，则d为正整数，为正整数，依题意有依题意有 由由(6+d)q=64知知q为正有理数，又由为正有理数，又由 知，知，d为为6的因的因子子1，2，3，6之一，之一，解解得得 d=2, q=8，故故(2) 由由(1)知知所以所以
