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1、现代数学发展简介现代数学发展简介(1)一一. .十九世纪的数学十九世纪的数学概况概况1.十七十七-十八世纪的数学成就十八世纪的数学成就十七世纪数学的最大成就是牛顿十七世纪数学的最大成就是牛顿十七世纪数学的最大成就是牛顿十七世纪数学的最大成就是牛顿(I.Newton,(I.Newton,16421727)16421727)微积分思想诞生在英国微积分思想诞生在英国微积分思想诞生在英国微积分思想诞生在英国. .十八世纪资本主义的生产方式带来了法国的大革十八世纪资本主义的生产方式带来了法国的大革十八世纪资本主义的生产方式带来了法国的大革十八世纪资本主义的生产方式带来了法国的大革命命命命, ,数学的中心
2、也移到了法国数学的中心也移到了法国数学的中心也移到了法国数学的中心也移到了法国, ,当时的一代数学权当时的一代数学权当时的一代数学权当时的一代数学权威有威有威有威有: :拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日(J.Lagrange,17361813);(J.Lagrange,17361813);拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯(P.M.Laplace,17491827);(P.M.Laplace,17491827);勒让德勒让德勒让德勒让德(A.Legendre,17521833)(A.Legendre,17521833)蒙日蒙日蒙日蒙日(G.(G.MongeMonge,17461818),1746
3、1818) 等等等等等等等等拉格朗日拉格朗日(J.Lagrange,17361813);拉普拉斯拉普拉斯(P.M.Laplace,17491827);勒让德勒让德(A.Legendre,17521833蒙日蒙日(G.Monge,17461818)2.十九世纪的数学发展十九世纪的数学发展 十九世纪是法国与德国在数学上争雄的时代十九世纪是法国与德国在数学上争雄的时代. 1794年诞生的法国综合技术学校成为年诞生的法国综合技术学校成为19世纪世纪初的世界数学中心初的世界数学中心,以当时的两大数学家以当时的两大数学家傅傅里叶里叶(J.B.Fourier,17681830)、柯西柯西（A.Cauchy,
4、17891857)为首的调和分析和分析为首的调和分析和分析学方向是其中的代表学方向是其中的代表,他们的影响一直持续他们的影响一直持续的现在的现在.进入进入19世纪世纪,德国的格丁根大学的崛起德国的格丁根大学的崛起,数数学王子学王子高斯高斯(C.F.Gauss,17771855)称雄称雄世界世界,黎曼黎曼(G.F.B.Riemann,18261866)为人类留下了无数的数学珍宝为人类留下了无数的数学珍宝.十九世纪上半叶的数学思想和成果十九世纪上半叶的数学思想和成果纯粹数学方面纯粹数学方面:代数代数:伽罗瓦伽罗瓦(Galois,1811-1832)-新动力新动力几何几何:罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基(
5、Lobatchevski,1792-1856)鲍耶鲍耶(Bolyai,1802-1860)高斯高斯(Gauss,1777-1855)-非欧几何学非欧几何学数论数论-解析数论解析数论分析分析:严格化严格化,复变函数理论复变函数理论Cauchy,Weierstrass,Dedekind,Cantor应用数学取得伟大成就应用数学取得伟大成就18461846年英国的年英国的年英国的年英国的亚当斯亚当斯亚当斯亚当斯(J.C.Adams,1819-1892)(J.C.Adams,1819-1892)和法国的勒威耶和法国的勒威耶和法国的勒威耶和法国的勒威耶( (U.J.J.LeU.J.J.Le Verrie
6、rVerrier,1811-1877),1811-1877)分分分分别独立别独立别独立别独立 的用数学方法计算出海王星的轨道的用数学方法计算出海王星的轨道的用数学方法计算出海王星的轨道的用数学方法计算出海王星的轨道; ;高斯高斯高斯高斯在大地测量中发现了微分几何学在大地测量中发现了微分几何学在大地测量中发现了微分几何学在大地测量中发现了微分几何学; ;傅里叶分析傅里叶分析傅里叶分析傅里叶分析推动了热力学和振动理论的进一步发推动了热力学和振动理论的进一步发推动了热力学和振动理论的进一步发推动了热力学和振动理论的进一步发展展展展; ;英国的传统的应用数学大放异彩英国的传统的应用数学大放异彩英国的传
7、统的应用数学大放异彩英国的传统的应用数学大放异彩, ,哈密顿哈密顿哈密顿哈密顿的最小作用原理给了力学一崭新的面貌的最小作用原理给了力学一崭新的面貌的最小作用原理给了力学一崭新的面貌的最小作用原理给了力学一崭新的面貌; ;麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦麦克斯韦(J.C.Maxwell,1831-1879)(J.C.Maxwell,1831-1879)于于于于18641864年发年发年发年发表的电磁学方程更是人类运用数学研究自然规律表的电磁学方程更是人类运用数学研究自然规律表的电磁学方程更是人类运用数学研究自然规律表的电磁学方程更是人类运用数学研究自然规律的又一里程碑的又一里程碑的又一里程碑的又一里程碑
8、. .十九世纪后半叶的数十九世纪后半叶的数学成果十分丰富学成果十分丰富进入十九世纪后期进入十九世纪后期,德国德国的国家实力陡增的国家实力陡增,高斯、高斯、黎曼等数学家的工作也黎曼等数学家的工作也是世人瞩目的是世人瞩目的.德国在数德国在数学上提出了明确的目标学上提出了明确的目标,要谋求世界领先的地位要谋求世界领先的地位.而执行这一使命的是数而执行这一使命的是数学大师学大师克莱因克莱因(C.F.Klein,1849-1925).克莱因克莱因-著名的几何学家著名的几何学家:1865年进入波恩大学年进入波恩大学,开始研究几何学开始研究几何学.1869年年到格丁根大学工作到格丁根大学工作,并周游欧洲诸国
9、并周游欧洲诸国.1872年任埃尔郎根大学正教授发表了年任埃尔郎根大学正教授发表了新近新近几何学几何学研究的比较考察研究的比较考察的演讲的演讲,用运动群用运动群下的不变量对几何学进行分类下的不变量对几何学进行分类,这就是著名这就是著名的埃尔郎根纲领的埃尔郎根纲领.这一几何学上划时代的工作这一几何学上划时代的工作,在此后的在此后的50年内一直处于几何研究的中心年内一直处于几何研究的中心地地位位.克莱因晚年关注应用数学和数学教育克莱因晚年关注应用数学和数学教育,开创了世界第一流数学家关心中小学数学教开创了世界第一流数学家关心中小学数学教育改革的先例育改革的先例,影响深远影响深远.1886年春年春,克
10、莱因就任格丁根大学教授克莱因就任格丁根大学教授,虽然虽然继续从事数学研究继续从事数学研究,但更多的进行行政组织、但更多的进行行政组织、数学教育、国际交流等方面的活动，目标是把数学教育、国际交流等方面的活动，目标是把格丁根大学建成世界第一流的数学中心格丁根大学建成世界第一流的数学中心.十年左右努力终有成效十年左右努力终有成效.1895年初年初,大数学家大数学家希尔伯特希尔伯特(DavidHilbert,1862-1943)到格丁到格丁根大学任教根大学任教,克莱因被授予枢密顾问官职务克莱因被授予枢密顾问官职务,格丁根大学的学术地位陡然升高格丁根大学的学术地位陡然升高.1902年年,闵闵科夫斯基科夫
11、斯基(H.Minkowski,1864-1909)也来到格也来到格丁根大学丁根大学.这三驾马车终于把格丁根大学建成这三驾马车终于把格丁根大学建成20世纪初期的世界数学中心世纪初期的世界数学中心.克莱因是当然的领袖克莱因是当然的领袖.十九世纪后期十九世纪后期十九世纪后期十九世纪后期, ,除格丁根大学之外除格丁根大学之外除格丁根大学之外除格丁根大学之外, ,柏林大学也是柏林大学也是柏林大学也是柏林大学也是当然的数学中心当然的数学中心当然的数学中心当然的数学中心, ,狄利克雷狄利克雷狄利克雷狄利克雷(G.P.L.(G.P.L.DirichletDirichlet, ,1805-1859)1805-1
12、859)在此校工作了在此校工作了在此校工作了在此校工作了2727年年年年, ,为柏林大学赢得为柏林大学赢得为柏林大学赢得为柏林大学赢得很高的很高的很高的很高的 数学声誉数学声誉数学声誉数学声誉,1854,1854年他去格丁根大学接替去年他去格丁根大学接替去年他去格丁根大学接替去年他去格丁根大学接替去世的高斯世的高斯世的高斯世的高斯; ;柏林大学的数学教授柏林大学的数学教授柏林大学的数学教授柏林大学的数学教授库默尔库默尔库默尔库默尔( (E.E.KummerE.E.Kummer,1801-1893),1801-1893)长期担任柏林大学校长长期担任柏林大学校长长期担任柏林大学校长长期担任柏林大学
13、校长, ,“ “理想数理想数理想数理想数” ”的工作成为现代代数数论的先驱的工作成为现代代数数论的先驱的工作成为现代代数数论的先驱的工作成为现代代数数论的先驱; ;克罗内特克罗内特克罗内特克罗内特(L.K.(L.K.KroneckerKronecker,1815-1891),1815-1891)在代数学、在代数学、在代数学、在代数学、数论、椭圆函数论方面成就显著数论、椭圆函数论方面成就显著数论、椭圆函数论方面成就显著数论、椭圆函数论方面成就显著, ,并有非常广泛的并有非常广泛的并有非常广泛的并有非常广泛的社会和学术关系社会和学术关系社会和学术关系社会和学术关系, ,被称为德国数学的无冕之王被称
14、为德国数学的无冕之王被称为德国数学的无冕之王被称为德国数学的无冕之王; ;而对后世影响更大是而对后世影响更大是而对后世影响更大是而对后世影响更大是魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(KarlT.W.(KarlT.W.Weierstrass,1815-1897).Weierstrass,1815-1897).3.对近代数学影响的德国的三位数学家对近代数学影响的德国的三位数学家 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(KarlT.W.Weierstrass,1815-1897).(KarlT.W.Weierstrass,1815-1897). 出身于一个政府官员家庭出身于一
15、个政府官员家庭出身于一个政府官员家庭出身于一个政府官员家庭, ,父亲送他到柏林大学攻读父亲送他到柏林大学攻读父亲送他到柏林大学攻读父亲送他到柏林大学攻读法学博士学位法学博士学位法学博士学位法学博士学位,由于他不由于他不由于他不由于他不喜欢喜欢喜欢喜欢, ,未到毕业就离开了未到毕业就离开了未到毕业就离开了未到毕业就离开了, ,后来在一所神学哲学院读后来在一所神学哲学院读后来在一所神学哲学院读后来在一所神学哲学院读数学数学数学数学,通过中学教师资格通过中学教师资格通过中学教师资格通过中学教师资格的国家考试后的国家考试后的国家考试后的国家考试后, ,曾任中学曾任中学曾任中学曾任中学( (体育体育体育
16、体育) )教师达教师达教师达教师达1515年之久年之久年之久年之久. .在这期间他发表了椭圆函数在这期间他发表了椭圆函数在这期间他发表了椭圆函数在这期间他发表了椭圆函数论的重要文章论的重要文章论的重要文章论的重要文章,被破格授予被破格授予被破格授予被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位哥尼斯堡大学名誉博士学位哥尼斯堡大学名誉博士学位哥尼斯堡大学名誉博士学位. . 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯18561856年到柏林皇家综合工科学校任数年到柏林皇家综合工科学校任数年到柏林皇家综合工科学校任数年到柏林皇家综合工科学校任数学教授学教授学教授学教授,1857,1857年任柏林大学副教授
17、年任柏林大学副教授年任柏林大学副教授年任柏林大学副教授,1864,1864年升任正年升任正年升任正年升任正教授教授教授教授,1873,1873年出任柏林大学校长年出任柏林大学校长年出任柏林大学校长年出任柏林大学校长, ,成为左右德国数成为左右德国数成为左右德国数成为左右德国数学界的一位领袖人物学界的一位领袖人物学界的一位领袖人物学界的一位领袖人物. .他获得这些荣誉重要是他的学术他获得这些荣誉重要是他的学术他获得这些荣誉重要是他的学术他获得这些荣誉重要是他的学术 风格风格风格风格, ,他是他是他是他是1919世纪世纪世纪世纪末分析严格化进程的代表末分析严格化进程的代表末分析严格化进程的代表末分
18、析严格化进程的代表, ,反映了那个时代和反映了那个时代和反映了那个时代和反映了那个时代和2020世世世世纪整个数学严谨性的潮流纪整个数学严谨性的潮流纪整个数学严谨性的潮流纪整个数学严谨性的潮流. .魏尔斯特拉斯首先给出严密的实数理论魏尔斯特拉斯首先给出严密的实数理论魏尔斯特拉斯首先给出严密的实数理论魏尔斯特拉斯首先给出严密的实数理论, ,第一个明第一个明第一个明第一个明确地使用确地使用确地使用确地使用 - - 语言语言语言语言,引进引进引进引进 有界集、无界集、集的内有界集、无界集、集的内有界集、无界集、集的内有界集、无界集、集的内点、外点、极限点、连通性等概念，特别是运用一点、外点、极限点、
19、连通性等概念，特别是运用一点、外点、极限点、连通性等概念，特别是运用一点、外点、极限点、连通性等概念，特别是运用一致收敛的概念得出致收敛的概念得出致收敛的概念得出致收敛的概念得出 极限交换的定理极限交换的定理极限交换的定理极限交换的定理. .魏尔斯特拉斯终身未娶魏尔斯特拉斯终身未娶魏尔斯特拉斯终身未娶魏尔斯特拉斯终身未娶, ,他的两个妹妹也未出嫁他的两个妹妹也未出嫁他的两个妹妹也未出嫁他的两个妹妹也未出嫁, ,她们一起照顾魏尔斯特拉斯她们一起照顾魏尔斯特拉斯她们一起照顾魏尔斯特拉斯她们一起照顾魏尔斯特拉斯 的生活的生活的生活的生活, ,共度人生共度人生共度人生共度人生. .戴德金(J.W.R.
20、Dedekind,1831-1916)以有理数的连续性的以有理数的连续性的“分割分割”定义实数定义实数,对实对实数的连续性给出了严密数的连续性给出了严密而直观的叙述而直观的叙述,为数学为数学分析严密化作出了重要分析严密化作出了重要贡献贡献;同时他也奠定了同时他也奠定了代数数论的系统理论代数数论的系统理论.戴德金也是终身未娶戴德金也是终身未娶.康托康托(Cantor, (Cantor, 1845-1918)1845-1918) 集合论创始人集合论创始人, ,集合集合的势创始人的势创始人Hilbert称赞康托尔的称赞康托尔的称赞康托尔的称赞康托尔的超越数理论是超越数理论是超越数理论是超越数理论是“
21、 “数学精数学精数学精数学精神最令人惊羡的花朵神最令人惊羡的花朵神最令人惊羡的花朵神最令人惊羡的花朵, ,人类智力活动最精美的人类智力活动最精美的人类智力活动最精美的人类智力活动最精美的成果成果成果成果.”.” “没有人没有人能把我们从康托所能把我们从康托所创造的天国中赶走创造的天国中赶走!”康托尔（康托尔（G.Cantor,18451918）德国数学德国数学家家.1845年生于俄国圣彼得堡，卒于哈雷，年生于俄国圣彼得堡，卒于哈雷，是丹麦犹太商人之子是丹麦犹太商人之子.集合论的创始人，受集合论的创始人，受教于数学家库默尔、外尔斯特拉斯和克罗内教于数学家库默尔、外尔斯特拉斯和克罗内克等人克等人.
22、1867年获博士学位年获博士学位.康托尔的集合论富有革命性，其理论很康托尔的集合论富有革命性，其理论很难被立即接受难被立即接受，以致遭受一些数学家的反，以致遭受一些数学家的反对，但他的理论无疑是对十九世纪末、二十对，但他的理论无疑是对十九世纪末、二十世纪初的数学基础的研究产生了深远的影响世纪初的数学基础的研究产生了深远的影响，集合论已渗透到各数学分支，集合论已渗透到各数学分支,甚至渗入中甚至渗入中小学的数学课本小学的数学课本,成为分析理论、测度论、成为分析理论、测度论、拓扑学及数理科学中必不可缺之理论拓扑学及数理科学中必不可缺之理论. 康托尔的集合论思考与研究是从他的三角康托尔的集合论思考与研
23、究是从他的三角级数的研究级数的研究中产生的中产生的.1871年给出了集合年给出了集合的定义，定义了集合的的定义，定义了集合的交与并等交与并等.他在他在1872年利用有理数的基本序列概年利用有理数的基本序列概念定念定义了无理数，把实数的理论严格起来，并义了无理数，把实数的理论严格起来，并建立了点集建立了点集论论.1874年康托尔发表第一篇年康托尔发表第一篇关于无穷集合的文章，关于无穷集合的文章，对超越数的存在且对超越数的存在且远远多于代数数作出了集合论的证明，远远多于代数数作出了集合论的证明，轰动当时世界数学界轰动当时世界数学界.1878年引进了无穷集年引进了无穷集的的势和提出连续性的问题势和提
24、出连续性的问题.1883年给出了超限基年给出了超限基数的定义等数的定义等. 康托尔的集合论富有革命性，其理论很难康托尔的集合论富有革命性，其理论很难被立即接受以致遭受一些数学家的反对，被立即接受以致遭受一些数学家的反对，例如大数学权威克罗内克对例如大数学权威克罗内克对“小人物小人物”康康托尔的批判托尔的批判,阻止康托尔到柏林工作阻止康托尔到柏林工作,散散布对超越数的怀疑布对超越数的怀疑,对康托尔是毁灭性的对康托尔是毁灭性的打击打击.1884年康托尔患上忧郁症年康托尔患上忧郁症,经常发病经常发病,到到1899年年,集合论的悖论在他头脑里萦绕集合论的悖论在他头脑里萦绕,旧病再次复发旧病再次复发,住
25、进医院住进医院,以后一二十年以后一二十年中他断断续续在哈雷大学精神病院中度过中他断断续续在哈雷大学精神病院中度过.1918年在那里去世年在那里去世.4.其他国家数学研究其他国家数学研究在德国学派影响之下在德国学派影响之下,挪威数学家挪威数学家索芙特索芙特李李(M.S.Lie,1842-1899)创建了李群和李创建了李群和李代数理论代数理论.20世纪几乎所有的数学学科都世纪几乎所有的数学学科都和李群产生联系和李群产生联系.英国数学一向偏重于应用英国数学一向偏重于应用,19世纪仍然保世纪仍然保持这一传统持这一传统.但在十九世纪下半叶但在十九世纪下半叶,出现两出现两颗纯粹数学新星颗纯粹数学新星:西尔
26、维斯特西尔维斯特(J.J.Sylvester,1814-1897)和和凯莱凯莱(A.Cayley,1821-1895),他们共同发展了代数不变理他们共同发展了代数不变理论论,特别是线性代数中的行列式和矩阵理特别是线性代数中的行列式和矩阵理论论.这些工作在这些工作在20世纪变得十分重要和普世纪变得十分重要和普及及.俄国的十九世纪开始有了自己的数学研俄国的十九世纪开始有了自己的数学研究究,罗巴切夫斯基的工作引起国际瞩目罗巴切夫斯基的工作引起国际瞩目,切比雪夫切比雪夫(P.L.Chebyshev,1821-1894)在概率论的研究也得到世人关注在概率论的研究也得到世人关注.但与欧洲各国相比仍有差距但
27、与欧洲各国相比仍有差距.当时亚洲的国家印度、日本和中国当时亚洲的国家印度、日本和中国,十十九世纪的数学水平落后西方约有九世纪的数学水平落后西方约有200年年.19世纪下半叶能和德国数学相抗衡的只世纪下半叶能和德国数学相抗衡的只有以庞加莱为代表的法国数学有以庞加莱为代表的法国数学. 二二. . 法国数学领袖法国数学领袖-庞加莱庞加莱庞加莱庞加莱(J.H. Poincare, 1854-1912)法国数学家法国数学家,物理物理学家学家,天文学家天文学家数学方面数学方面:非非欧欧几何几何,不变理论不变理论,分分析力学析力学,概率论概率论十九世纪前期的法国十九世纪前期的法国,柯西是无可争辩的领柯西是无
28、可争辩的领袖袖.1857年柯西去世之后年柯西去世之后,世界的数学中心世界的数学中心渐渐向德国转移渐渐向德国转移,当然这也与社会经济相关当然这也与社会经济相关.在世纪之交世界数学是法德争雄的格局在世纪之交世界数学是法德争雄的格局,法法国数学有着许多骄人的成果国数学有着许多骄人的成果,其代表人物有其代表人物有:埃尔米特(C.Hermite,1822-1901):毕业毕业于巴黎综合工科学校于巴黎综合工科学校,1862年进入该校任讲年进入该校任讲师师,1867年升任教授年升任教授,分析学家分析学家.早年工作早年工作涉及椭圆函数论涉及椭圆函数论,著名工作是证明著名工作是证明e的超越的超越性性.对后来影响
29、最大的是他的复二次型的工对后来影响最大的是他的复二次型的工作作,在物理学、几何学、算子理论中在物理学、几何学、算子理论中,埃尔埃尔米特已成为米特已成为复共轭、复对称的代名词复共轭、复对称的代名词.若尔当(C.Jordan,1838-1922):(C.Jordan,1838-1922):也是巴黎综合工也是巴黎综合工也是巴黎综合工也是巴黎综合工科学校的学生科学校的学生科学校的学生科学校的学生, ,一直以工程师的身份研究数学一直以工程师的身份研究数学一直以工程师的身份研究数学一直以工程师的身份研究数学, ,同同同同时在巴黎综合工科学校和法兰西学院任教时在巴黎综合工科学校和法兰西学院任教时在巴黎综合工
30、科学校和法兰西学院任教时在巴黎综合工科学校和法兰西学院任教.1881.1881年年年年年成为法兰西科学院院士年成为法兰西科学院院士年成为法兰西科学院院士年成为法兰西科学院院士. .他在伽罗瓦的群论等方他在伽罗瓦的群论等方他在伽罗瓦的群论等方他在伽罗瓦的群论等方面作了系统研究面作了系统研究面作了系统研究面作了系统研究, ,在群和群表示理论上的开创性工在群和群表示理论上的开创性工在群和群表示理论上的开创性工在群和群表示理论上的开创性工作是后来代数发展的作是后来代数发展的作是后来代数发展的作是后来代数发展的 起点起点起点起点. .今天约当的名字更多的和分析学中约当曲线、今天约当的名字更多的和分析学中
31、约当曲线、今天约当的名字更多的和分析学中约当曲线、今天约当的名字更多的和分析学中约当曲线、矩阵中的约当标准型、积分论中的约当容量联系在矩阵中的约当标准型、积分论中的约当容量联系在矩阵中的约当标准型、积分论中的约当容量联系在矩阵中的约当标准型、积分论中的约当容量联系在一起一起一起一起. . 达布(J.G.(J.G.DarbouxDarboux,1842-1917):,1842-1917):毕业于巴黎毕业于巴黎毕业于巴黎毕业于巴黎高等师范学院高等师范学院高等师范学院高等师范学院, ,并在该校工作并在该校工作并在该校工作并在该校工作, ,他主要研究领域是他主要研究领域是他主要研究领域是他主要研究领域
32、是微分几何微分几何微分几何微分几何. .他详细研究曲面理论、曲线坐标、曲线他详细研究曲面理论、曲线坐标、曲线他详细研究曲面理论、曲线坐标、曲线他详细研究曲面理论、曲线坐标、曲线和曲面的变形等基本问题和曲面的变形等基本问题和曲面的变形等基本问题和曲面的变形等基本问题. .同样达布的影响不限几同样达布的影响不限几同样达布的影响不限几同样达布的影响不限几何何何何, ,他在积分论中研究黎曼可积的充分必要条件时他在积分论中研究黎曼可积的充分必要条件时他在积分论中研究黎曼可积的充分必要条件时他在积分论中研究黎曼可积的充分必要条件时给出的现在称为达布上和下和上积分下积分等概念给出的现在称为达布上和下和上积分
33、下积分等概念给出的现在称为达布上和下和上积分下积分等概念给出的现在称为达布上和下和上积分下积分等概念已经成为经典的理论已经成为经典的理论已经成为经典的理论已经成为经典的理论. .19世纪末期法国更着重于经典问题世纪末期法国更着重于经典问题的刻画的刻画,注意几何、分析上的严注意几何、分析上的严密化密化,解决解决一些悬而未决的问题一些悬而未决的问题.而德国学派更注意新方向和新思想而德国学派更注意新方向和新思想的开拓的开拓,这样法国数学的发展似乎这样法国数学的发展似乎过分拘谨了过分拘谨了.然而庞加莱的出现然而庞加莱的出现,使法国数学出使法国数学出现了新的转机现了新的转机.l l18541854年年年
34、年4 4月月月月2929日，法国数学家亨利日，法国数学家亨利日，法国数学家亨利日，法国数学家亨利 庞加莱生于南庞加莱生于南庞加莱生于南庞加莱生于南锡锡锡锡.1912.1912年年年年7 7月月月月1717日卒于巴黎日卒于巴黎日卒于巴黎日卒于巴黎. .l l庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林都居住在法国东部的洛林都居住在法国东部的洛林都居住在法国东部的洛林. .l l庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源庞加莱从小就显出超常的智
35、力，他智力的重要来源庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源之一是遗传之一是遗传之一是遗传之一是遗传. .他的双亲智力都很高，他的双亲又可追他的双亲智力都很高，他的双亲又可追他的双亲智力都很高，他的双亲又可追他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父溯到他的祖父溯到他的祖父溯到他的祖父. .他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，部队医院供职，部队医院供职，部队医院供职，18171817年在鲁昂定居，先后生下两个年在鲁昂定居，先后生下两个年在
36、鲁昂定居，先后生下两个年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂儿子，大儿子莱昂儿子，大儿子莱昂儿子，大儿子莱昂 庞加莱即为庞加莱的父亲庞加莱即为庞加莱的父亲庞加莱即为庞加莱的父亲庞加莱即为庞加莱的父亲. .l l庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授医学院教授医学院教授医学院教授. .他的母亲是一位善良、才华出众、很有他的母亲是一位善良、才华出众、很有他的母亲是一位善良、才华出众、很有他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾
37、注到教育和照料孩教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上子身上子身上子身上. .l l叔父是国家官员叔父是国家官员叔父是国家官员叔父是国家官员, ,庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙的著名人物：雷蒙的著名人物：雷蒙的著名人物：雷蒙 庞加莱是曾出任总理兼外交部长庞加莱是曾出任总理兼外交部长庞加莱是曾出任总理兼外交部长庞加莱是曾出任总理兼外交部长, ,1913-19201913-1920年任法国第九任
38、总统年任法国第九任总统年任法国第九任总统年任法国第九任总统; ;吕西吕西吕西吕西 庞加莱曾庞加莱曾庞加莱曾庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作. .庞加莱童年生活很不幸庞加莱童年生活很不幸,5岁患白喉岁患白喉,运动神运动神经功能不协调经功能不协调,加上视力不好加上视力不好,上课全凭耳朵上课全凭耳朵听听.但是这种训练使得他以后能在头脑中完成但是这种训练使得他以后能在头脑中完成数学计算和撰写论文数学计算和撰写论文.他他15岁进入巴黎综合工科学校岁进入巴黎综合工
39、科学校,原打算做原打算做一一名工程师名工程师,但一有空就研究数学但一有空就研究数学.1878年年,他向法兰西学院提交有关他向法兰西学院提交有关微分方微分方程的一般解程的一般解的论文的论文,次年次年8月月1日即获得数日即获得数学博士学位学博士学位.1880年他成为巴黎大学的教授年他成为巴黎大学的教授,讲授力学和实验物理的课程讲授力学和实验物理的课程.庞加莱的写作时期开始于庞加莱的写作时期开始于1878年，直至他年，直至他1912年逝世年逝世这正是他创造力的极盛时期这正是他创造力的极盛时期.他是一位博学家，在数学、数学物理、天体力他是一位博学家，在数学、数学物理、天体力学和哲学方面都有很深的造诣学
40、和哲学方面都有很深的造诣.他一生的主要他一生的主要研究成就是方法论，他是第一个发现混沌确定研究成就是方法论，他是第一个发现混沌确定系统的人，并为现代混沌理论打下了基础系统的人，并为现代混沌理论打下了基础.在狭义相对论方面他的论文在狭义相对论方面他的论文1905年年6月发表的月发表的“论电子动力学论电子动力学”摘要比爱因斯坦的论文早了摘要比爱因斯坦的论文早了一个多月一个多月.在不长的在不长的34年科学生涯中，他发表了将近年科学生涯中，他发表了将近500篇科学论文和篇科学论文和30本科学专著，这些论著囊括了本科学专著，这些论著囊括了数学、物理学、天文学的许多分支，这还没有数学、物理学、天文学的许多
41、分支，这还没有把他的科学哲学经典名著和科普作品计算在内把他的科学哲学经典名著和科普作品计算在内.主要著作有主要著作有科学与假设科学与假设、科学的价值科学的价值、科学的方法科学的方法等等.1904年，亨利年，亨利庞加莱提出了这样一个庞加莱提出了这样一个猜想：在一个封闭的三维空间，假如每猜想：在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间一定是一个圆球间一定是一个圆球.庞加莱的仅仅两行庞加莱的仅仅两行字，成为数学界字，成为数学界100多年未能证明的难多年未能证明的难题题.关于关于庞加莱猜想庞加莱猜想的证明是的证明是2006年基年基本完成本完成 .
42、 美国美国科学科学杂志杂志2006年年12月月21日公布了该刊评选出的日公布了该刊评选出的2006年度年度十大科学进展，其中科学家证明庞加莱十大科学进展，其中科学家证明庞加莱猜想被列为头号科学进展猜想被列为头号科学进展.由庞加莱开创新领域有由庞加莱开创新领域有: 1.自守函数论自守函数论:自守函数是通常的三角函数、自守函数是通常的三角函数、椭圆函数的推广椭圆函数的推广.它的引入使得微分方程、它的引入使得微分方程、代数几何、代数几何、代数数论找到了新的立足点代数数论找到了新的立足点.如果说如果说18世纪是微分学的世纪，那么世纪是微分学的世纪，那么19世世纪则是函数论的世纪纪则是函数论的世纪.庞加
43、莱是因发明自庞加莱是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本人也因此在数学界崭露头角本人也因此在数学界崭露头角.2.整函数的整函数的“亏理论亏理论”:他第一个研究整函他第一个研究整函数数“亏数亏数”和函数增长的关系和函数增长的关系,为整函数为整函数和亚纯函数理和亚纯函数理论的研究打开了道路论的研究打开了道路. 3.有理数域上的代数几何学有理数域上的代数几何学:1901年的一篇年的一篇论文开创了代数方程有理数解的研究论文开创了代数方程有理数解的研究,成为成为代数数论的一项开创性工作代数数论的一项开创性工作.4.微分方程的定性理论微分方程的定性理论:这门崭
44、新的学科研这门崭新的学科研究微分方程解在奇点附近的状态究微分方程解在奇点附近的状态,来判断解来判断解的稳定性的稳定性.5.动力系统理论动力系统理论:开创动力系统理论研究开创动力系统理论研究,完完成了现在称为成了现在称为“庞加莱回归定理庞加莱回归定理”的工作的工作.动力系统理论研究是现在数学理论和应用动力系统理论研究是现在数学理论和应用研究活跃的方向研究活跃的方向.庞加莱在这个领域中的最庞加莱在这个领域中的最杰出贡献是微分方程定性理论它是在其创杰出贡献是微分方程定性理论它是在其创造者手中立即臻于完善的造者手中立即臻于完善的. 6.三体问题三体问题:在三体中两个物体的质量比另在三体中两个物体的质量
45、比另一个小的多的情况下一个小的多的情况下,得到了三体问题的得到了三体问题的周期解周期解.引进渐近展开的方法引进渐近展开的方法,得出了严格得出了严格的天体力学的计算方法的天体力学的计算方法.7.组合拓扑学组合拓扑学:即即“位置分析位置分析”.在在20世纪世纪获得长足发展的代数拓扑学完全是按照庞获得长足发展的代数拓扑学完全是按照庞加莱的思想展开的加莱的思想展开的.庞加莱最先系统而普遍庞加莱最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论，人们公地探讨了几何学图形的组合理论，人们公认他是代数拓扑学的奠基人认他是代数拓扑学的奠基人.可以毫不夸可以毫不夸张地说，庞加莱在这个课题上的贡献比在张地说，庞加莱在这个
46、课题上的贡献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽垂不朽.8.对狭义相对论的创立做出了的贡献对狭义相对论的创立做出了的贡献.此外，庞加莱还在非欧几何、渐近级数、概此外，庞加莱还在非欧几何、渐近级数、概率论率论(例如，他最先使用了例如，他最先使用了“遍历性遍历性”的概念，的概念，这成为统计力学的基础这成为统计力学的基础)等数学分支中也有所等数学分支中也有所建树建树.庞加莱在物理学、天体力学、科学哲学方面庞加莱在物理学、天体力学、科学哲学方面的工作请见的工作请见世界著名科学家传记世界著名科学家传记物理学物理学家家.除了这些开拓新领域的工作以外除了这些开拓
47、新领域的工作以外,庞加莱还庞加莱还有许多原创性的成果有许多原创性的成果,对多复变函数、对多复变函数、Lie群、群、Lie代数、代数、Dirichlet问题、问题、Laplace算子特征算子特征值问题等的研究都有关键性的推进工作值问题等的研究都有关键性的推进工作.1911年，庞加莱觉得身体不适、精力减退，年，庞加莱觉得身体不适、精力减退，他预感到自己活在世上的日子不会很长了他预感到自己活在世上的日子不会很长了.可可是，他不愿放下手头的工作去休息，他头脑是，他不愿放下手头的工作去休息，他头脑蕴育的新思想太多了，他不愿让它们和自己蕴育的新思想太多了，他不愿让它们和自己一起埋葬一起埋葬.在索尔维会议之
48、后，他投身于量子论的研究，在索尔维会议之后，他投身于量子论的研究，并撰写论文，发表讲演并撰写论文，发表讲演.同时，他还在思考一个新的数学定理，即把同时，他还在思考一个新的数学定理，即把狭义三体问题的周期解的存在问题归结为平狭义三体问题的周期解的存在问题归结为平面的连续变换在某些条件下不动点的存在问面的连续变换在某些条件下不动点的存在问题题.临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立大会上发表了最后一次公开讲演大会上发表了最后一次公开讲演大会上发表了最后一次公开讲
49、演大会上发表了最后一次公开讲演. .他说：他说：他说：他说：“ “人生就是持续的斗争人生就是持续的斗争人生就是持续的斗争人生就是持续的斗争” ”，“ “如果我们偶尔如果我们偶尔如果我们偶尔如果我们偶尔享受到相对的宁静，那正是因为我们先辈顽强斗争享受到相对的宁静，那正是因为我们先辈顽强斗争享受到相对的宁静，那正是因为我们先辈顽强斗争享受到相对的宁静，那正是因为我们先辈顽强斗争的结果的结果的结果的结果. .假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻，我假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻，我假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻，我假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻，我们就会失去先辈们为我们赢得的斗争成果们就会
50、失去先辈们为我们赢得的斗争成果们就会失去先辈们为我们赢得的斗争成果们就会失去先辈们为我们赢得的斗争成果.”.”庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生. .19121912年春天，庞加莱再次病倒了，年春天，庞加莱再次病倒了，年春天，庞加莱再次病倒了，年春天，庞加莱再次病倒了，7 7月月月月9 9日作了第二日作了第二日作了第二日作了第二次手术；次手术；次手术；次手术；7 7月月月月l7l7日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在日在穿衣服
51、时，突然因血栓梗塞，在日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅巴黎逝世，终年仅巴黎逝世，终年仅巴黎逝世，终年仅5858岁岁岁岁! !当时他正处在科学创造的高当时他正处在科学创造的高当时他正处在科学创造的高当时他正处在科学创造的高峰时期峰时期峰时期峰时期. .沃尔泰拉沃尔泰拉沃尔泰拉沃尔泰拉(V.(V.VolterraVolterra) )中肯地评论道：中肯地评论道：中肯地评论道：中肯地评论道：“ “我们确信，我们确信，我们确信，我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息庞加莱一生中没有片刻的休息庞加莱一生中没有片刻的休息庞加莱一生中没有片刻的休息. .他永远是一位朝气蓬他永远是一位朝气蓬他永
52、远是一位朝气蓬他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士，直至他的逝世勃的、健全的战士，直至他的逝世勃的、健全的战士，直至他的逝世勃的、健全的战士，直至他的逝世.”.” 庞加莱是约定主义的代表人物庞加莱是约定主义的代表人物,认为科学认为科学公理是为了人们的表达方便而共同约定公理是为了人们的表达方便而共同约定的的,约定可以选择约定可以选择,但要有实验事实为依但要有实验事实为依据据,避免出现矛盾避免出现矛盾.在数学基础上持直觉在数学基础上持直觉主义观点主义观点,反对罗素的逻辑主义、希尔伯反对罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义，不承认实无限特的形式主义，不承认实无限,只认可潜只认可潜无限无限.庞加莱主要是一
53、个数学家庞加莱主要是一个数学家,但或许在物理但或许在物理学和哲学上的工作更为一般人所知学和哲学上的工作更为一般人所知.关于关于他的哲学思想他的哲学思想,列宁曾说他是列宁曾说他是“一位伟大一位伟大的物理学家，渺小的哲学家的物理学家，渺小的哲学家”.作为直觉主义者的庞加莱作为直觉主义者的庞加莱,在发表论著时也在发表论著时也许没有达到当时某些数学家所要求的严密许没有达到当时某些数学家所要求的严密性性.但是历史证明庞加莱做的是对的但是历史证明庞加莱做的是对的.如果为如果为了追求不十分必要的严密性了追求不十分必要的严密性,而把重要的拓而把重要的拓扑学思想丢弃将对数学的进展扑学思想丢弃将对数学的进展是多大
54、的损是多大的损失失!由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉，也受到英国、俄国、能给予的一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏瑞典、匈牙利等国政府的奖赏.由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、给予的一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏匈牙利等国政府的奖赏.早在早在33岁那年，他就被选为法国科学院院士，岁那年，他就被选为法国科学院院士，1906年当选为院长；年当选为院长；1908年，他被选为法兰年，他被选为法兰西学院院士，这是法国科学家所
55、能得到的最西学院院士，这是法国科学家所能得到的最高荣誉高荣誉.庞加莱被公认是庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人具有全面知识的最后一个人.三三. .新世纪的序幕新世纪的序幕-Hilbert的的23个问题个问题进入进入进入进入19001900年年年年, ,人们都人们都人们都人们都把目光放到未来把目光放到未来把目光放到未来把目光放到未来. .这年的这年的这年的这年的8 8月月月月6 6日第二届国际数学家代日第二届国际数学家代日第二届国际数学家代日第二届国际数学家代表大会在巴
56、黎表大会在巴黎表大会在巴黎表大会在巴黎. .年方年方年方年方3838岁岁岁岁德国著名数学家大卫德国著名数学家大卫德国著名数学家大卫德国著名数学家大卫 希尔希尔希尔希尔伯特伯特伯特伯特(DavidHilbert,1862-(DavidHilbert,1862-1943)1943)于于于于19001900年年年年8 8月月月月8 8日在日在日在日在 大会作了题为大会作了题为大会作了题为大会作了题为数学问题数学问题数学问题数学问题的希尔伯特著名演说的希尔伯特著名演说的希尔伯特著名演说的希尔伯特著名演说. . 演讲是这样开始演讲是这样开始演讲是这样开始演讲是这样开始: :“我们当中有谁不想揭开末来的我
57、们当中有谁不想揭开末来的帷幕帷幕,看一看今后的世纪里我们这看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢门科学发展的前景和奥秘呢?我我们的下一代的主要数学思潮将追们的下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果会带来什么样的新方法和新成果？”希尔伯特在讲演的前言和结束语中希尔伯特在讲演的前言和结束语中,对对各类数学问题的意义、源泉及研究方各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了许多精辟的见解法发表了许多精辟的见解.他根据他根据19世纪数学研究的成果和发展世纪数学研究的成果和
58、发展趋势而提出了数学研究和发展的趋势而提出了数学研究和发展的23个个问题问题,这些问题涉及现代数学的许多重这些问题涉及现代数学的许多重要领域要领域.一个世纪以来一个世纪以来,这些问题一直激发着数这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣学家们浓厚的研究兴趣.Hilbert问题中近一半巳经解决或基本解决问题中近一半巳经解决或基本解决.大数学家大数学家韦尔韦尔(Weyl)在在Hilbert去世时的悼词中去世时的悼词中曾说曾说:“Hilbert就象穿杂色衣服的风笛手就象穿杂色衣服的风笛手,他他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠,跟着他跟着他跳进了数学的深河跳进了数学的深河
59、.”中国数学家在第中国数学家在第8和第和第16问题上作出了贡献问题上作出了贡献.从从1936年至年至1974年年,被誉为数学诺贝尔被誉为数学诺贝尔(Nobel)奖的菲尔兹国际数学奖的奖的菲尔兹国际数学奖的20名获奖人名获奖人中中,至少有至少有12人的工作与希尔伯特问题有关人的工作与希尔伯特问题有关.1976年美国数学会评审的年美国数学会评审的1940年以来十大数年以来十大数学成就就有三项是希尔伯特问题的学成就就有三项是希尔伯特问题的(1)、(5)、(10)等三个问题的解决等三个问题的解决.希尔伯特希尔伯特生于东普鲁士哥尼斯堡生于东普鲁士哥尼斯堡生于东普鲁士哥尼斯堡生于东普鲁士哥尼斯堡( (前苏
60、联加里宁格前苏联加里宁格前苏联加里宁格前苏联加里宁格勒勒勒勒) )附近的韦劳，中学时代他就是一名勤奋好学的附近的韦劳，中学时代他就是一名勤奋好学的附近的韦劳，中学时代他就是一名勤奋好学的附近的韦劳，中学时代他就是一名勤奋好学的学生学生学生学生, ,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣, ,善善善善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容. .他与他与他与他与1717岁便拿下数学
61、大奖的著名数学家闵可夫斯基岁便拿下数学大奖的著名数学家闵可夫斯基岁便拿下数学大奖的著名数学家闵可夫斯基岁便拿下数学大奖的著名数学家闵可夫斯基（爱因斯坦的老师）结为好友，同进于哥尼斯堡大（爱因斯坦的老师）结为好友，同进于哥尼斯堡大（爱因斯坦的老师）结为好友，同进于哥尼斯堡大（爱因斯坦的老师）结为好友，同进于哥尼斯堡大学，最终超越了他学，最终超越了他学，最终超越了他学，最终超越了他. .18801880年年年年, ,他不顾父亲让他学法律的意愿他不顾父亲让他学法律的意愿他不顾父亲让他学法律的意愿他不顾父亲让他学法律的意愿, ,进入哥尼进入哥尼进入哥尼进入哥尼斯堡大学攻读数学斯堡大学攻读数学斯堡大学攻
62、读数学斯堡大学攻读数学, ,并于并于并于并于18841884年获得博士学位年获得博士学位年获得博士学位年获得博士学位, ,后后后后留校取得讲师资格和升任副教授留校取得讲师资格和升任副教授留校取得讲师资格和升任副教授留校取得讲师资格和升任副教授.18931893年他被任年他被任年他被任年他被任命为正教授命为正教授命为正教授命为正教授, ,18951895年转入格廷根大学任教授年转入格廷根大学任教授年转入格廷根大学任教授年转入格廷根大学任教授, ,此后此后此后此后一直在数学之乡格廷根生活和工作一直在数学之乡格廷根生活和工作一直在数学之乡格廷根生活和工作一直在数学之乡格廷根生活和工作. .他于他于他
63、于他于19301930年退年退年退年退休休休休. .在此期间在此期间在此期间在此期间, ,他成为柏林科学院通讯院士他成为柏林科学院通讯院士他成为柏林科学院通讯院士他成为柏林科学院通讯院士, ,并曾获得施并曾获得施并曾获得施并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖. .19301930年获得年获得年获得年获得瑞典科学院的米塔格瑞典科学院的米塔格瑞典科学院的米塔格瑞典科学院的米塔格- -莱福勒奖莱福勒奖莱福勒奖莱福勒奖, ,19421942年成为柏林科年成为柏林科年成为柏林科年成为柏林科学院荣誉院士学
64、院荣誉院士学院荣誉院士学院荣誉院士. .希尔伯特是一位正直的科学家希尔伯特是一位正直的科学家希尔伯特是一位正直的科学家希尔伯特是一位正直的科学家, ,第一次世界大战前第一次世界大战前第一次世界大战前第一次世界大战前夕夕夕夕, ,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的告文明世界书告文明世界书告文明世界书告文明世界书上签字上签字上签字上签字. .战争期间，他敢于公开战争期间，他敢于公开战争期间，他敢于公开战争期间，他敢于公开发表文章悼念发表文章悼念发表文章悼念发表文章悼念“ “敌人的数
65、学家敌人的数学家敌人的数学家敌人的数学家” ”达布达布达布达布. .希特勒上台希特勒上台希特勒上台希特勒上台后后后后, ,他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策学家的政策学家的政策学家的政策. .由于纳粹政府的反动政策日益加剧由于纳粹政府的反动政策日益加剧由于纳粹政府的反动政策日益加剧由于纳粹政府的反动政策日益加剧, ,许许许许多科学家被迫移居外国，其中多数流亡与美国多科学家被迫移居外国，其中多数流亡与美国多科学家被迫移居外国，其中多数流亡与美国多科学家被迫移居外
66、国，其中多数流亡与美国, ,曾曾曾曾经盛极一时的格廷根学派衰落了经盛极一时的格廷根学派衰落了经盛极一时的格廷根学派衰落了经盛极一时的格廷根学派衰落了, ,希尔伯特也于希尔伯特也于希尔伯特也于希尔伯特也于19431943年在孤独中逝世年在孤独中逝世年在孤独中逝世年在孤独中逝世. . 希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一一一一. .他领导了著名的格廷根学派他领导了著名的格廷根学派他领导了著名的格廷根学派他领导了著名的格廷根学派, ,使格廷根大学成使格廷根大学
67、成使格廷根大学成使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心为当时世界数学研究的重要中心为当时世界数学研究的重要中心为当时世界数学研究的重要中心, ,并培养了一批对并培养了一批对并培养了一批对并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家. .希尔伯特领导的数学学派是希尔伯特领导的数学学派是希尔伯特领导的数学学派是希尔伯特领导的数学学派是1919世纪末世纪末世纪末世纪末2020世纪初数世纪初数世纪初数世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为学界的一面旗帜，希尔伯特被称为学界的一面旗帜，希
68、尔伯特被称为学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“ “数学界的无冕数学界的无冕数学界的无冕数学界的无冕之王之王之王之王” ”. .希尔伯特的希尔伯特的23个数学问题个数学问题及解决简况如下及解决简况如下 希尔伯特的希尔伯特的23个问题分属四大块：个问题分属四大块：第第1到第到第6问题是数学基础问题；问题是数学基础问题；第第7到第到第12问题是数论问题；问题是数论问题；第第13到第到第18问题属于代数和几何问题；问题属于代数和几何问题；第第19到第到第23问题属于数学分析问题属于数学分析.具体内容简介如下具体内容简介如下1.康托尔康托尔(G.Cantor)连续统基数问题连续统基数问题 1874年年康托
69、尔康托尔(G.Cantor,18451918)猜测在可数集基数和实数集基数之间没有猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数别的基数,即著名的连续统假设即著名的连续统假设.1938年年奥地利数学家奥地利数学家哥德尔哥德尔(K.Godel,19061978)证明连续统假设和证明连续统假设和ZF集合公集合公理系统无矛盾性理系统无矛盾性.1963年美国数学家年美国数学家科恩科恩(P.J.Cohen,1934)证明连续统假设证明连续统假设和和ZF集合公理系统是彼此独立的集合公理系统是彼此独立的.因此连因此连续统假设不能用世所公认的续统假设不能用世所公认的ZF公理证明公理证明其对错其对错.此问题在这一
70、意义上已经解决此问题在这一意义上已经解决.2.算术公理的相容性算术公理的相容性(无矛盾性无矛盾性) 欧氏几何的的无矛盾性可归结为算术欧氏几何的的无矛盾性可归结为算术公理的无矛盾性公理的无矛盾性,希尔伯特希尔伯特曾提出用曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明形式主义计划的证明论方法加以证明.哥德尔哥德尔在在1931年发表不完备性定理加年发表不完备性定理加以否定以否定.1936年年根岑根岑(G.K.E.Gentzen,19091945)在使用超限归在使用超限归纳法的条件证明了算术公理的无矛盾纳法的条件证明了算术公理的无矛盾性性.3.两等底等高四面体体积相等问题两等底等高四面体体积相等问题 问题的
71、意义是问题的意义是:存在两个等高等底的存在两个等高等底的四面体四面体,它们不可能分解为有限个小四它们不可能分解为有限个小四面体面体,使这两组四面体彼此全等使这两组四面体彼此全等.1900年德国数学家年德国数学家德恩德恩(M.W.Dehn,18781952)证明确实存在这样两个四证明确实存在这样两个四面体面体.4.两点间以直线为距离最短线两点间以直线为距离最短线 问题提的过于一般问题提的过于一般.1973年年,苏联数苏联数学家学家波戈列洛夫波戈列洛夫(A.V.Pogolelov,1919)在对称距离情况下给出一种在对称距离情况下给出一种解决此限制条件解决此限制条件.于是波戈列洛夫宣布于是波戈列洛
72、夫宣布在对称距离情况下此问题得以解决在对称距离情况下此问题得以解决.5.一个连续变换群的李氏概念并不要一个连续变换群的李氏概念并不要定义这个群的函数的可微性假设定义这个群的函数的可微性假设 此问题简称连续群的解析性此问题简称连续群的解析性,即是否每一个即是否每一个局部欧氏群都一定是局部欧氏群都一定是Lie群群?解决情况解决情况解决情况解决情况: :紧群情形紧群情形紧群情形紧群情形:1933:1933年年年年冯冯冯冯 诺依曼诺依曼诺依曼诺依曼(J.vonNeumann,(J.vonNeumann,19031957)19031957)交换群情形交换群情形交换群情形交换群情形:1939:1939年年
73、年年庞特里亚金庞特里亚金庞特里亚金庞特里亚金(L.S.(L.S.PontryaginPontryagin, ,19081988)19081988)可解群情形可解群情形可解群情形可解群情形:1941:1941年年年年谢瓦莱谢瓦莱谢瓦莱谢瓦莱(C.(C.ChevalleyChevalley,19091984),19091984)最后解决最后解决最后解决最后解决:1952:1952年年年年格力森格力森格力森格力森(A.M.Gleason,1921)(A.M.Gleason,1921)、蒙蒙蒙蒙哥马利哥马利哥马利哥马利(D.Montgomery,19091992)(D.Montgomery,19091
74、992)和和和和齐平齐平齐平齐平(L.(L.ZippinZippin,1905),1905)共同解决共同解决共同解决共同解决, ,得到了完全肯定的结果得到了完全肯定的结果得到了完全肯定的结果得到了完全肯定的结果. .6.物理学的公理化物理学的公理化希尔伯特希尔伯特建议用数学的公理化方法推建议用数学的公理化方法推演出全部物理演出全部物理,即物理公理的数学处即物理公理的数学处理理.首先在概率论和力学上取的成功首先在概率论和力学上取的成功.1933年年,苏联数学家苏联数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫将将概率论公理化概率论公理化.后来在量子力学和量后来在量子力学和量子场论取得很大成功子场论取得很大成功.
75、但是物理学是但是物理学是否能全盘公理化否能全盘公理化,很多人表示怀疑很多人表示怀疑.7.某些数的超越性某些数的超越性 问题要求证明问题要求证明:如果如果是代数数是代数数,是无理数是无理数的代数数的代数数,那末那末一定是超越数或至少一定是超越数或至少是无理数是无理数.(如如或或)1934年年,苏联数学家数学家盖盖尔尔丰德丰德(A.O.Gelfond,19061968)证明了此明了此结果果.1935年年,德国数学家德国数学家施耐德施耐德(T.Schneider,1911)也独立解决此也独立解决此问题.8.素数问题素数问题(包括歌德巴赫猜想包括歌德巴赫猜想) 素数是一个古老的问题素数是一个古老的问题
76、素数是一个古老的问题素数是一个古老的问题, ,希尔伯希尔伯希尔伯希尔伯特在此提到特在此提到特在此提到特在此提到黎曼黎曼黎曼黎曼(Riemann)(Riemann)猜想、猜想、猜想、猜想、哥德巴赫哥德巴赫哥德巴赫哥德巴赫( (GoldbachGoldbach) )猜想以及孪猜想以及孪猜想以及孪猜想以及孪生素数问题生素数问题生素数问题生素数问题. .黎曼猜想至今未能解决黎曼猜想至今未能解决黎曼猜想至今未能解决黎曼猜想至今未能解决. .哥德巴赫猜想也未最终解决哥德巴赫猜想也未最终解决哥德巴赫猜想也未最终解决哥德巴赫猜想也未最终解决,中国数学家中国数学家中国数学家中国数学家陈景润陈景润陈景润陈景润(1
77、9331996)(19331996)取得领先地位取得领先地位取得领先地位取得领先地位, ,目前孪生素数的目前孪生素数的目前孪生素数的目前孪生素数的最佳结果也属于陈景润最佳结果也属于陈景润最佳结果也属于陈景润最佳结果也属于陈景润. .哥德巴赫哥德巴赫（GoldbachC.，1690.3.18-1764.11.20）德国数学家）德国数学家.出生于格奥出生于格奥尼格斯别尔格尼格斯别尔格(现名加里宁城现名加里宁城),曾在英国曾在英国牛津大学学习牛津大学学习,原学法学，由于在欧洲各原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族国访问期间结识了贝努利家族,所以对数所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师
78、学研究产生了兴趣；曾担任中学教师.1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；科学院院士；1725年年1740年担任彼得堡年担任彼得堡科学院会议秘书；科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职并在俄国外交部任职.1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想了他著名的猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想.哥德巴赫哥德巴赫猜想（猜想（GoldbachConjecture）大致可以分为两个猜想大致可以分为两个猜想(前者称前者称“强强”或或“二重哥德巴赫猜想二重哥德巴赫猜想,后者称后者称“弱弱”或或“
79、三三重哥德巴赫猜想重哥德巴赫猜想”)：1.每个不小于每个不小于6的偶数都可以表示为两个的偶数都可以表示为两个奇奇素数素数之和；之和；2.每个不小于每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇的奇数都可以表示为三个奇素数之和素数之和.目前最佳的结果是中国数学家目前最佳的结果是中国数学家目前最佳的结果是中国数学家目前最佳的结果是中国数学家陈景润于陈景润于陈景润于陈景润于19661966年证明年证明年证明年证明的，称为的，称为的，称为的，称为陈氏定理陈氏定理陈氏定理陈氏定理：“ “任何充分大的偶数都是一个任何充分大的偶数都是一个任何充分大的偶数都是一个任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者最多
80、仅仅是两个质质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质数的乘积数的乘积数的乘积数的乘积.”.”通常都简称这个结果为通常都简称这个结果为通常都简称这个结果为通常都简称这个结果为 （1+21+2）. . 在陈景润之前，关于偶数可表示为在陈景润之前，关于偶数可表示为在陈景润之前，关于偶数可表示为在陈景润之前，关于偶数可表示为 s s个质数的乘积个质数的乘积个质数的乘积个质数的乘积 与与与与t t个质数的乘积之和个质数的乘积之和个质数的乘积之和个质数的乘积之和( (简称简称简称简称“ “s+t”s+t”问题问题问
81、题问题) )之进展情之进展情之进展情之进展情况如下况如下况如下况如下: :19201920年，挪威的布爵证明了年，挪威的布爵证明了年，挪威的布爵证明了年，挪威的布爵证明了“ “9+9”.9+9”.19241924年，德国的拉特马赫证明了年，德国的拉特马赫证明了年，德国的拉特马赫证明了年，德国的拉特马赫证明了“ “7+7”.7+7”.19321932年，英国的埃斯特曼证明了年，英国的埃斯特曼证明了年，英国的埃斯特曼证明了年，英国的埃斯特曼证明了“ “6+6”.6+6”.19371937年，意大利的年，意大利的年，意大利的年，意大利的蕾西蕾西蕾西蕾西先后证明了先后证明了先后证明了先后证明了“ “5
82、+7”,“4+5+7”,“4+9”,“3+15”9”,“3+15”和和和和“ “2+366”.2+366”.19381938年，苏联的布赫夕太勃证明了年，苏联的布赫夕太勃证明了年，苏联的布赫夕太勃证明了年，苏联的布赫夕太勃证明了“ “5+5”.5+5”.19401940年，苏联的布赫夕太勃证明了年，苏联的布赫夕太勃证明了年，苏联的布赫夕太勃证明了年，苏联的布赫夕太勃证明了“ “4+4”.4+4”.19481948年，匈牙利的瑞尼证明了年，匈牙利的瑞尼证明了年，匈牙利的瑞尼证明了年，匈牙利的瑞尼证明了“ “1+c”1+c”，其中，其中，其中，其中c c是是是是一很大的自然数一很大的自然数一很大的
83、自然数一很大的自然数. .19561956年，中国的年，中国的年，中国的年，中国的王元王元王元王元证明了证明了证明了证明了“ “3+4”.3+4”.19571957年，中国的王元先后证明了年，中国的王元先后证明了年，中国的王元先后证明了年，中国的王元先后证明了“3+3”3+3”和和和和“ “2+2+3”.3”.19621962年，中国的年，中国的年，中国的年，中国的潘承洞潘承洞潘承洞潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了和苏联的巴尔巴恩证明了和苏联的巴尔巴恩证明了和苏联的巴尔巴恩证明了“ “1+5”1+5”， 中国的王元证明了中国的王元证明了中国的王元证明了中国的王元证明了“ “1+4”.1+4”.19
84、651965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了及意大利的朋比利证明了及意大利的朋比利证明了及意大利的朋比利证明了“ “1+3”.1+3”.19661966年，中国的年，中国的年，中国的年，中国的陈景润陈景润陈景润陈景润证明了证明了证明了证明了“1+2”.1+2”. 华罗庚华罗庚华罗庚华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家. .19361936193819
85、38年，他赴英国剑桥大学留学，在哈代的年，他赴英国剑桥大学留学，在哈代的年，他赴英国剑桥大学留学，在哈代的年，他赴英国剑桥大学留学，在哈代的指导下从事数论研究，并开始研究哥德巴赫猜想，指导下从事数论研究，并开始研究哥德巴赫猜想，指导下从事数论研究，并开始研究哥德巴赫猜想，指导下从事数论研究，并开始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，证明了对于取得了很好的成果，证明了对于取得了很好的成果，证明了对于取得了很好的成果，证明了对于“ “几乎所有几乎所有几乎所有几乎所有” ”的偶的偶的偶的偶数猜想（数猜想（数猜想（数猜想（1 1）都是正确的）都是正确的）都是正确的）都是正确的. .19501950年，
86、华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题，倡议并指导他的一些学生研究这一问题的主题，倡议并指导他的一些学生研究这一问题的主题，倡议并指导他的一些学生研究这一问题的主题，倡议并指导他的一些学生研究这一问题. .他他他他曾对学生们说：曾对学生们说：曾对学生们说：曾对学生们说：“ “我并不是要你们在这个问题
87、上作我并不是要你们在这个问题上作我并不是要你们在这个问题上作我并不是要你们在这个问题上作出成果来出成果来出成果来出成果来. .我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系，以哥德巴赫猜想为主题所有的重要方法都有联系，以哥德巴赫猜想为主题所有的重要方法都有联系，以哥德巴赫猜想为主题所有的重要方法都有联系，以哥德巴赫猜想为主题来学习，将可以学会解析数论中所有的重要方法来学习，将可以学会解析数论中所有的重要方法来学习，将可以学会解析数论中所有的重要方法来学习，将可以学会解析数论中
88、所有的重要方法哥德巴赫猜想真是美极了，现在还没有一个方哥德巴赫猜想真是美极了，现在还没有一个方哥德巴赫猜想真是美极了，现在还没有一个方哥德巴赫猜想真是美极了，现在还没有一个方法可以解决它法可以解决它法可以解决它法可以解决它.”.”参加这个数论讨论班的学生有参加这个数论讨论班的学生有参加这个数论讨论班的学生有参加这个数论讨论班的学生有王元王元王元王元、潘承洞潘承洞潘承洞潘承洞和和和和陈景润陈景润陈景润陈景润等等等等. .出乎华罗庚的意料，学生们在哥德巴赫猜想的证明出乎华罗庚的意料，学生们在哥德巴赫猜想的证明出乎华罗庚的意料，学生们在哥德巴赫猜想的证明出乎华罗庚的意料，学生们在哥德巴赫猜想的证明上
89、取得了相当好的成绩上取得了相当好的成绩上取得了相当好的成绩上取得了相当好的成绩.1956.1956年，王元证明了年，王元证明了年，王元证明了年，王元证明了“ “3 34”4”；同年，原苏联数学家阿；同年，原苏联数学家阿；同年，原苏联数学家阿；同年，原苏联数学家阿 维诺格拉朵夫证明维诺格拉朵夫证明维诺格拉朵夫证明维诺格拉朵夫证明了了了了“ “3 33”3”；19571957年，王元又证明了年，王元又证明了年，王元又证明了年，王元又证明了“ “2 23”3”；潘；潘；潘；潘承洞于承洞于承洞于承洞于19621962年证明了年证明了年证明了年证明了“ “1 15”5”；19631963年，潘承洞、年，
90、潘承洞、年，潘承洞、年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了巴尔巴恩与王元又都证明了巴尔巴恩与王元又都证明了巴尔巴恩与王元又都证明了“ “1 14”4”；19661966年，陈年，陈年，陈年，陈景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了“ “1 12”.2”.19741974年，由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李年，由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李年，由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李年，由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李希特合著的希特合著的希特合著的希特合著的筛法筛法筛法筛法一书出版，
91、书中以一书出版，书中以一书出版，书中以一书出版，书中以“ “陈氏定理陈氏定理陈氏定理陈氏定理” ”作为最后一章的标题作为最后一章的标题作为最后一章的标题作为最后一章的标题. .书中写道：书中写道：书中写道：书中写道：“ “我们本章的我们本章的我们本章的我们本章的目的是为了证明陈景润下面的惊人定理，我们在前目的是为了证明陈景润下面的惊人定理，我们在前目的是为了证明陈景润下面的惊人定理，我们在前目的是为了证明陈景润下面的惊人定理，我们在前1010章已经付印时才注意到这一结果章已经付印时才注意到这一结果章已经付印时才注意到这一结果章已经付印时才注意到这一结果. .从筛法的任何从筛法的任何从筛法的任何
92、从筛法的任何方面来说，它都是光辉的顶点方面来说，它都是光辉的顶点方面来说，它都是光辉的顶点方面来说，它都是光辉的顶点.”.”华罗庚曾对王元华罗庚曾对王元华罗庚曾对王元华罗庚曾对王元说：说：说：说：“ “在我的学生的工作中，最使我感动的是在我的学生的工作中，最使我感动的是在我的学生的工作中，最使我感动的是在我的学生的工作中，最使我感动的是 1 12.”2.” 华罗庚华罗庚华罗庚华罗庚（1910.11.12-1985.6.12.1910.11.12-1985.6.12.），世界著名数学家，中国），世界著名数学家，中国），世界著名数学家，中国），世界著名数学家，中国解析数论解析数论解析数论解析数论、
93、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者. .国国国国际上以华氏命名的数学科研成果就有际上以华氏命名的数学科研成果就有际上以华氏命名的数学科研成果就有际上以华氏命名的数学科研成果就有“ “华氏定理华氏定理华氏定理华氏定理” ”、“ “怀依怀依怀依怀依华不等华不等华不等华不等式式式式” ”、“ “华氏不等式华氏不等式华氏不等式华氏不等式” ”、“ “普劳威尔普劳威尔普劳威尔普劳威尔加当华定理加当华定理加当华
94、定理加当华定理” ”、“ “华氏算子华氏算子华氏算子华氏算子” ”、“ “华华华华王方法王方法王方法王方法” ”等等等等. .王元王元王元王元（1930-1930-），著名），著名），著名），著名数学家数学家数学家数学家，华罗庚数学奖华罗庚数学奖华罗庚数学奖华罗庚数学奖得主得主得主得主. .他是他是他是他是中国科学院数中国科学院数中国科学院数中国科学院数学研究所学研究所学研究所学研究所的研究员的研究员的研究员的研究员. .曾任研究室主任、所长、所学术委员会主任、曾任研究室主任、所长、所学术委员会主任、曾任研究室主任、所长、所学术委员会主任、曾任研究室主任、所长、所学术委员会主任、中国中国中国中
95、国数学会数学会数学会数学会理事长、理事长、理事长、理事长、数学学报数学学报数学学报数学学报主编，联邦德国主编，联邦德国主编，联邦德国主编，联邦德国分析分析分析分析杂志编辑，新杂志编辑，新杂志编辑，新杂志编辑，新加坡世界科学出版社顾问等加坡世界科学出版社顾问等加坡世界科学出版社顾问等加坡世界科学出版社顾问等.1980.1980年当选为中国科学院院士年当选为中国科学院院士年当选为中国科学院院士年当选为中国科学院院士( (当时称学当时称学当时称学当时称学部委员部委员部委员部委员). ).潘承洞潘承洞潘承洞潘承洞(1934-1997.12.27)(1934-1997.12.27)，数学家、数学教育家，
96、数学家、数学教育家，数学家、数学教育家，数学家、数学教育家. .在解析数论研究方面在解析数论研究方面在解析数论研究方面在解析数论研究方面有突出贡献有突出贡献有突出贡献有突出贡献. .主要成就涉及算术数列中的最小素数、哥德巴赫猜想研究，主要成就涉及算术数列中的最小素数、哥德巴赫猜想研究，主要成就涉及算术数列中的最小素数、哥德巴赫猜想研究，主要成就涉及算术数列中的最小素数、哥德巴赫猜想研究，以及小区间上的素变数三角和估计等领域以及小区间上的素变数三角和估计等领域以及小区间上的素变数三角和估计等领域以及小区间上的素变数三角和估计等领域.1984.1984年被评为中国首批有突年被评为中国首批有突年被评
97、为中国首批有突年被评为中国首批有突出贡献的中青年科学家，出贡献的中青年科学家，出贡献的中青年科学家，出贡献的中青年科学家，19911991年当选为中国科学院院士年当选为中国科学院院士年当选为中国科学院院士年当选为中国科学院院士. .陈景润陈景润陈景润陈景润（1933.5.22-1996.3.191933.5.22-1996.3.19），汉族，福建福州人），汉族，福建福州人），汉族，福建福州人），汉族，福建福州人. .中国著名数学家，中国著名数学家，中国著名数学家，中国著名数学家，厦门大学数学系毕业厦门大学数学系毕业厦门大学数学系毕业厦门大学数学系毕业.1966.1966年发表年发表年发表年发表
98、表达表达表达表达偶数偶数偶数偶数为一个为一个为一个为一个素数素数素数素数及一个不超过及一个不超过及一个不超过及一个不超过两个素数的乘积之和两个素数的乘积之和两个素数的乘积之和两个素数的乘积之和（简称（简称（简称（简称“ “1+2”1+2”），成为），成为），成为），成为哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想研究上的研究上的研究上的研究上的里程碑里程碑里程碑里程碑. .而他所发表的成果也被称之为而他所发表的成果也被称之为而他所发表的成果也被称之为而他所发表的成果也被称之为陈氏定理陈氏定理陈氏定理陈氏定理. .这项工作还使他与这项工作还使他与这项工作还使他与这项工作还使他与王王王王元元元
99、元、潘承洞潘承洞潘承洞潘承洞在在在在19781978年共同获得中国自然科学奖一等奖年共同获得中国自然科学奖一等奖年共同获得中国自然科学奖一等奖年共同获得中国自然科学奖一等奖.1999.1999年，中国发年，中国发年，中国发年，中国发表纪念陈景润的邮票表纪念陈景润的邮票表纪念陈景润的邮票表纪念陈景润的邮票. .紫金山天文台紫金山天文台紫金山天文台紫金山天文台将一颗行星命名为将一颗行星命名为将一颗行星命名为将一颗行星命名为“ “陈景润星陈景润星陈景润星陈景润星” ”，以此纪念以此纪念以此纪念以此纪念. .另有相关影视作品以陈景润为名另有相关影视作品以陈景润为名另有相关影视作品以陈景润为名另有相关影
100、视作品以陈景润为名.2009.2009年年年年9 9月月月月1414日，他被评为日，他被评为日，他被评为日，他被评为100100位新中国成立以来感动中国人物之一位新中国成立以来感动中国人物之一位新中国成立以来感动中国人物之一位新中国成立以来感动中国人物之一. . 9.在任意数域中证明最一般的互反律在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由德国数学家该问题已由德国数学家阿廷阿廷(E.Artin,18981962)在在1927年基本解年基本解决决,但至今仍在继续发展类域理论但至今仍在继续发展类域理论.10.丢番图方程的可解性判定丢番图方程的可解性判定 求出一个整数系数方程的整数根求出一个整数系数方
101、程的整数根,称为丢番图称为丢番图(Diophantus,古希腊数学家古希腊数学家)方程可解方程可解.1959年年,美国数学家美国数学家戴维斯戴维斯(M.D.Davis,1928)、普特南普特南(H.Putnam,1924)和和鲁鲁宾孙宾孙(J.B.Robinson,19191985)等取得关等取得关键性突破键性突破.1970年年,苏联数学家苏联数学家马蒂塞维奇马蒂塞维奇(J.V.Matijasevich,?)最终证明答案是否定的最终证明答案是否定的.尽管结果否定尽管结果否定,却产生一系列很有价值的副产却产生一系列很有价值的副产品品,其中不少其中不少与计算机科学有密切关系与计算机科学有密切关系.
102、11.任意代数数域的二次型任意代数数域的二次型 德国数学家德国数学家哈塞哈塞(H.Hasse,18981979)和和西格尔西格尔(C.L.Siegel,18961981)在上世纪在上世纪20年代获得重要结果年代获得重要结果.法国数学家韦伊法国数学家韦伊(A.Weil,19061998)在上在上世纪世纪60年代取得新进展年代取得新进展. 12.将将Abel域上克罗内克推广到任意代数域上克罗内克推广到任意代数有理域上去有理域上去这个问题影响很广这个问题影响很广,影响到类域论、群上的影响到类域论、群上的同调方法、同调方法、L级数以及将二次互反律推广到级数以及将二次互反律推广到非交换情形的非交换情形的
103、“郎兰兹（郎兰兹（Langlands)计划计划”.很多数学家正为此奋斗很多数学家正为此奋斗.13.用两变量函数解一般七次方程的用两变量函数解一般七次方程的不可能性不可能性 七次方程七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于的根依赖于3个参数个参数a, b, c,x=x(a, b, c).这一函数能否用这一函数能否用两变量函数表示出来两变量函数表示出来?这一问题已接近解决这一问题已接近解决.1957年苏联数学家年苏联数学家阿阿洛尔德洛尔德(V.I.Arnold,1937)解决了连续函解决了连续函数的情形数的情形.1964年年维图什金维图什金(A.G.Vituskin,1931)又推广到
104、连续可微的情形又推广到连续可微的情形.如果要求是如果要求是解析函数解析函数,则问题尚未解决则问题尚未解决. 14.某些完备函数系的有限性的证明某些完备函数系的有限性的证明这个和代数不变量问题有关这个和代数不变量问题有关.日本数学家日本数学家永永田雅宜田雅宜(MasayosiNagata,1927)1959年年给出了漂亮的反例给出了漂亮的反例.15.Schubert计数演算的严格基础计数演算的严格基础一个典型问题是一个典型问题是:在三维空间中有四条直线在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特舒伯特(H.Schubert,18481911)给
105、出了一给出了一个直观的解法个直观的解法.希尔伯特要求将问题一般化希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础并给以严格基础.现在已有一些可以计算的方现在已有一些可以计算的方法法,它与代数几何学有密切关系它与代数几何学有密切关系.16.代数曲线和代数曲面的拓扑问题代数曲线和代数曲面的拓扑问题 这个问题分成两部分这个问题分成两部分:前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目线的最大数目.后半部分要求讨论后半部分要求讨论dy/dx=Y/X 的极限环的极限环的最大个数和相对位置的最大个数和相对位置,其中其中X, Y是是x, y的的n次多项式次多项式.苏联数学家苏联数学
106、家彼得罗夫斯基院士彼得罗夫斯基院士(I.G.Petrovsky,19011973)证明证明n=2时极限环时极限环的个数不超过的个数不超过3.1979年中国的史松龄和王明淑分别举出年中国的史松龄和王明淑分别举出了有了有4个极限环的反例个极限环的反例.17.正定形式的平方表示正定形式的平方表示一个实系数一个实系数n元多项式对一切数组元多项式对一切数组(x1, x2,xn)都是非负的都是非负的,则这个多项式是否能写则这个多项式是否能写成平方和的形式成平方和的形式?1927年年,E.阿廷阿廷证明这是对的证明这是对的.18.由全等多面体构造空间由全等多面体构造空间德国数学家德国数学家比伯巴赫比伯巴赫(L
107、.Bieberbach,18861982)和和莱因哈特莱因哈特(Reinhardt)分别于分别于1910年年,和和1928年作出了部分解决年作出了部分解决.19.正则变分问题的解是否一定解析正则变分问题的解是否一定解析伯恩斯坦伯恩斯坦(S.N.Bernstein,18801968)和和彼得罗夫斯基彼得罗夫斯基院士等得出了一些结果院士等得出了一些结果,接近接近解决解决.20.一般边值问题一般边值问题这一问题的进展十分迅速这一问题的进展十分迅速,已成为一个很已成为一个很大的数学分支大的数学分支,成果丰富成果丰富.目前还在继续研究目前还在继续研究.21.具有给定单值群的微分方程的存在性具有给定单值群
108、的微分方程的存在性已由已由希尔伯特希尔伯特本人本人(1905年年)和和勒尔勒尔(H.Rohrl,1927)、德利涅德利涅(P.R.Delgne,1944)(1970年年)等人所解决等人所解决.22.解析关系的单值化解析关系的单值化它涉及艰难深奥的黎曼它涉及艰难深奥的黎曼(Riemann)曲面论曲面论,1907年年克贝克贝(P.Koebe,18821945)在单在单变量情形获得重要突破变量情形获得重要突破,复变量情形至今复变量情形至今尚未解决尚未解决.23.变分法的进一步发展变分法的进一步发展这不是一个明确的数学问题这不是一个明确的数学问题,希尔伯特当希尔伯特当时只谈了对变分法的一般看法时只谈了
109、对变分法的一般看法.而二十世而二十世纪变分法是数学的一个重要分支纪变分法是数学的一个重要分支,并且有并且有了长足发展了长足发展.希尔伯特问题的解决与研究大大推动了数希尔伯特问题的解决与研究大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、微分概率论、数论、函数论、代数几何、微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列数学方程、黎曼曲面论、变分法等一系列数学分支的发展，同时也促进了现代计算机理分支的发展，同时也促进了现代计算机理论的成长论的成长.希尔伯特问题未能包括拓扑学、微分几何希尔伯特问题未能包括拓扑学、微分几何等在等在20世纪成为前
110、沿学科的领域中的数学世纪成为前沿学科的领域中的数学问题问题,除数学物理外很少涉及应用数学等除数学物理外很少涉及应用数学等等等.当然当然20世纪数学的发展也远远超出了世纪数学的发展也远远超出了希尔伯特所预示的范围希尔伯特所预示的范围.重要的问题历来是推动科学重要的问题历来是推动科学前进的杠杆前进的杠杆,但一位科学家如但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一此自觉、如此集中地提出一整批问题整批问题,并如此持久地影响并如此持久地影响一门科学的发展一门科学的发展,这在科学史这在科学史上也是不多见的上也是不多见的.四四. . 世纪初数学哲学大论战世纪初数学哲学大论战-逻辑主义逻辑主义,直觉主义直觉主义,形
111、式主义形式主义1.数学与哲学数学与哲学 自古以来，数学与哲学的联系是非常密切的自古以来，数学与哲学的联系是非常密切的自古以来，数学与哲学的联系是非常密切的自古以来，数学与哲学的联系是非常密切的. .人人人人们在不断发展、运用数学的同时，提出了许多问们在不断发展、运用数学的同时，提出了许多问们在不断发展、运用数学的同时，提出了许多问们在不断发展、运用数学的同时，提出了许多问题题题题. .数学大厦的基础是否巩固？它的结构是否有数学大厦的基础是否巩固？它的结构是否有数学大厦的基础是否巩固？它的结构是否有数学大厦的基础是否巩固？它的结构是否有内在的缺陷？数学是否可以无条件的信赖？这些内在的缺陷？数学是
112、否可以无条件的信赖？这些内在的缺陷？数学是否可以无条件的信赖？这些内在的缺陷？数学是否可以无条件的信赖？这些都是和数学有关的哲学问题都是和数学有关的哲学问题都是和数学有关的哲学问题都是和数学有关的哲学问题. .另一方面，许多哲另一方面，许多哲另一方面，许多哲另一方面，许多哲学观点的形成或展开，和数学又有不解之缘学观点的形成或展开，和数学又有不解之缘学观点的形成或展开，和数学又有不解之缘学观点的形成或展开，和数学又有不解之缘. .数数数数学作为一门抽象的科学，对于一般的世界观和方学作为一门抽象的科学，对于一般的世界观和方学作为一门抽象的科学，对于一般的世界观和方学作为一门抽象的科学，对于一般的世
113、界观和方法论有重大的影响法论有重大的影响法论有重大的影响法论有重大的影响. .因而，和数学有关的一系列因而，和数学有关的一系列因而，和数学有关的一系列因而，和数学有关的一系列的哲学问题，值得关心数学的人们深思的哲学问题，值得关心数学的人们深思的哲学问题，值得关心数学的人们深思的哲学问题，值得关心数学的人们深思. .2.现代数学基础的哲学挑战现代数学基础的哲学挑战 1919世纪末到世纪末到世纪末到世纪末到2020世纪初，数学发展进入了一个激烈世纪初，数学发展进入了一个激烈世纪初，数学发展进入了一个激烈世纪初，数学发展进入了一个激烈的变革时期的变革时期的变革时期的变革时期. .在历史上，人们多次统
114、一数学的企图在历史上，人们多次统一数学的企图在历史上，人们多次统一数学的企图在历史上，人们多次统一数学的企图均未成功均未成功均未成功均未成功. .牛顿牛顿牛顿牛顿(I.Newton,1642-1727)(I.Newton,1642-1727)和莱布尼和莱布尼和莱布尼和莱布尼兹兹兹兹(G.W.Leibniz,1646-1716)(G.W.Leibniz,1646-1716)创立了微积分创立了微积分创立了微积分创立了微积分, ,把无把无把无把无限小带进了数学限小带进了数学限小带进了数学限小带进了数学. .牛顿在微分学中把增量牛顿在微分学中把增量牛顿在微分学中把增量牛顿在微分学中把增量dxdx看作无
115、看作无看作无看作无穷小穷小穷小穷小, ,时而引进来时而引进来时而引进来时而引进来, ,时而忽略不计时而忽略不计时而忽略不计时而忽略不计, ,真可谓真可谓真可谓真可谓“ “挥之即挥之即挥之即挥之即去，去，去，去， 呼之即来！呼之即来！呼之即来！呼之即来！” ”于是贝克莱大主教称于是贝克莱大主教称于是贝克莱大主教称于是贝克莱大主教称dxdx是是是是“ “逝去量的鬼魂逝去量的鬼魂逝去量的鬼魂逝去量的鬼魂” ”； 马克思评论略去高阶无穷小马克思评论略去高阶无穷小马克思评论略去高阶无穷小马克思评论略去高阶无穷小dxdx2 2是是是是“ “暴力镇压！暴力镇压！暴力镇压！暴力镇压！” ”唯心主义者的攻击和革
116、命导师的批评都说明微积分唯心主义者的攻击和革命导师的批评都说明微积分唯心主义者的攻击和革命导师的批评都说明微积分唯心主义者的攻击和革命导师的批评都说明微积分确实确实确实确实“ “不严格不严格不严格不严格” ”. .1919世纪世纪世纪世纪7070年代，德国数学家康托尔创立无穷集合年代，德国数学家康托尔创立无穷集合年代，德国数学家康托尔创立无穷集合年代，德国数学家康托尔创立无穷集合论，为统一数学的尝试提供了新的基础论，为统一数学的尝试提供了新的基础论，为统一数学的尝试提供了新的基础论，为统一数学的尝试提供了新的基础. .1919世纪即将结束之际，数学分析基础注入严密世纪即将结束之际，数学分析基础
117、注入严密世纪即将结束之际，数学分析基础注入严密世纪即将结束之际，数学分析基础注入严密性和精确性因集合论的应用而得以成功性和精确性因集合论的应用而得以成功性和精确性因集合论的应用而得以成功性和精确性因集合论的应用而得以成功. .柯西柯西柯西柯西建立了建立了建立了建立了 严格的极限理论严格的极限理论严格的极限理论严格的极限理论, ,引进了引进了引进了引进了“ “ - - ” ”定义定义定义定义.戴德金、康托尔等又将实数理论严格化戴德金、康托尔等又将实数理论严格化戴德金、康托尔等又将实数理论严格化戴德金、康托尔等又将实数理论严格化,分析分析分析分析学有了可靠的基础和完整的体系学有了可靠的基础和完整的
118、体系学有了可靠的基础和完整的体系学有了可靠的基础和完整的体系. .数学概念的数学概念的数学概念的数学概念的建立也因集合论的应用终于统一起来建立也因集合论的应用终于统一起来建立也因集合论的应用终于统一起来建立也因集合论的应用终于统一起来. .整个数整个数整个数整个数学呈现出空前的繁荣景象学呈现出空前的繁荣景象学呈现出空前的繁荣景象学呈现出空前的繁荣景象. .19001900年庞加莱第二届国际数学家大会上宣布年庞加莱第二届国际数学家大会上宣布年庞加莱第二届国际数学家大会上宣布年庞加莱第二届国际数学家大会上宣布: :“ “现在我们可以说现在我们可以说现在我们可以说现在我们可以说, ,完全的严格性已经
119、达到了完全的严格性已经达到了完全的严格性已经达到了完全的严格性已经达到了.”.”但是，这位数学权威的话音刚落，就爆发但是，这位数学权威的话音刚落，就爆发但是，这位数学权威的话音刚落，就爆发但是，这位数学权威的话音刚落，就爆发了极为深刻的、震撼整个数学大厦的第三次数了极为深刻的、震撼整个数学大厦的第三次数了极为深刻的、震撼整个数学大厦的第三次数了极为深刻的、震撼整个数学大厦的第三次数学危机，从而导致了一场由许多数学家卷入的学危机，从而导致了一场由许多数学家卷入的学危机，从而导致了一场由许多数学家卷入的学危机，从而导致了一场由许多数学家卷入的关于数学基础的哲学论战关于数学基础的哲学论战关于数学基础
120、的哲学论战关于数学基础的哲学论战. .然而然而然而然而,1902,1902年年年年( (英英英英) )罗素罗素罗素罗素(Russel,1872-1970)(Russel,1872-1970)却却却却以简单明了的集合论以简单明了的集合论以简单明了的集合论以简单明了的集合论“ “悖论悖论悖论悖论” ”打破了人们希望打破了人们希望打破了人们希望打破了人们希望. .罗素罗素(B.A.W.Russell,1872-1970) 英国哲学家、数英国哲学家、数学家、逻辑学家、学家、逻辑学家、1950年诺贝尔年诺贝尔文学奖获得者罗文学奖获得者罗素素1970年逝世，年逝世，享年享年98岁岁.1902年，罗素年，罗
121、素(B.A.W.Russell,1872-1970)发现的一个悖论真正强烈地引起了数发现的一个悖论真正强烈地引起了数学家的恐慌学家的恐慌.罗素悖论可以表达为：所有不以自身为元罗素悖论可以表达为：所有不以自身为元素的集合所组成的集合素的集合所组成的集合.罗素悖论之所以不能等闲视之是因为，只罗素悖论之所以不能等闲视之是因为，只要将它的陈述形式稍作修改，就可以用最要将它的陈述形式稍作修改，就可以用最基础的逻辑形式表达出来基础的逻辑形式表达出来.因此，罗素悖论因此，罗素悖论不仅触及集合论这一数学基础，而且也触不仅触及集合论这一数学基础，而且也触动了逻辑学，因而使数学家和逻辑学家同动了逻辑学，因而使数学
122、家和逻辑学家同时发出惊呼时发出惊呼:数学基础发生危机了！数学基础发生危机了！几个悖论几个悖论:罗素罗素悖论悖论:设设M表示自已为自己的元素的表示自已为自己的元素的集合集合,N表示自已不为自己的元素的集合表示自已不为自己的元素的集合,问问N属于哪类集合属于哪类集合?理发师悖论理发师悖论:某村理发师宣布某村理发师宣布:他给村里他给村里所有不给自所有不给自已刮脸的人刮脸已刮脸的人刮脸.问他是否给问他是否给自已刮脸自已刮脸?古希腊古希腊一个克利特岛上人说话的悖论一个克利特岛上人说话的悖论“我说的这句话是谎话我说的这句话是谎话”不真不真!中国中国古代民间故事古代民间故事:讼师的悖论讼师的悖论3.三大主要
123、学派的诞生三大主要学派的诞生 数学基础的危机向数学家们提出了一个问题：如何解决数数学基础的危机向数学家们提出了一个问题：如何解决数数学基础的危机向数学家们提出了一个问题：如何解决数数学基础的危机向数学家们提出了一个问题：如何解决数学基础的可靠性和基础性的问题？可是要解决这个问题，学基础的可靠性和基础性的问题？可是要解决这个问题，学基础的可靠性和基础性的问题？可是要解决这个问题，学基础的可靠性和基础性的问题？可是要解决这个问题，既有技术问题，又有哲学问题既有技术问题，又有哲学问题既有技术问题，又有哲学问题既有技术问题，又有哲学问题. .从技术上说，首先必须找到从技术上说，首先必须找到从技术上说，
124、首先必须找到从技术上说，首先必须找到产生悖论的原因产生悖论的原因产生悖论的原因产生悖论的原因. .根据罗素对悖论成因的分析，他认为：集根据罗素对悖论成因的分析，他认为：集根据罗素对悖论成因的分析，他认为：集根据罗素对悖论成因的分析，他认为：集合论产生悖论的根源在于集合的定义出现循环定义，或者合论产生悖论的根源在于集合的定义出现循环定义，或者合论产生悖论的根源在于集合的定义出现循环定义，或者合论产生悖论的根源在于集合的定义出现循环定义，或者叫做非直谓定义，即一个对象集合包含着只能用该集合才叫做非直谓定义，即一个对象集合包含着只能用该集合才叫做非直谓定义，即一个对象集合包含着只能用该集合才叫做非直
125、谓定义，即一个对象集合包含着只能用该集合才能定义的元素；从哲学上说，就已经出现的悖论来看，都能定义的元素；从哲学上说，就已经出现的悖论来看，都能定义的元素；从哲学上说，就已经出现的悖论来看，都能定义的元素；从哲学上说，就已经出现的悖论来看，都出现出现出现出现“ “所有所有所有所有.集合的集合集合的集合集合的集合集合的集合” ”的情况，这是一个涉及无穷总的情况，这是一个涉及无穷总的情况，这是一个涉及无穷总的情况，这是一个涉及无穷总体的问题，也就是说，它涉及对哲学理论中的无穷的认识体的问题，也就是说，它涉及对哲学理论中的无穷的认识体的问题，也就是说，它涉及对哲学理论中的无穷的认识体的问题，也就是说
126、，它涉及对哲学理论中的无穷的认识问题问题问题问题. .但是，要解决这两个问题，但是，要解决这两个问题，但是，要解决这两个问题，但是，要解决这两个问题， 首先遇到的不是技术性的问题，首先遇到的不是技术性的问题，首先遇到的不是技术性的问题，首先遇到的不是技术性的问题，而是如何看待数学的真理性和无穷的问题，然后才能从具而是如何看待数学的真理性和无穷的问题，然后才能从具而是如何看待数学的真理性和无穷的问题，然后才能从具而是如何看待数学的真理性和无穷的问题，然后才能从具体技术入手去解决它体技术入手去解决它体技术入手去解决它体技术入手去解决它. .对这两个问题的不同认识就产生了不对这两个问题的不同认识就产
127、生了不对这两个问题的不同认识就产生了不对这两个问题的不同认识就产生了不同的哲学观点，而在不同哲学观点支配下就产生不同的逻同的哲学观点，而在不同哲学观点支配下就产生不同的逻同的哲学观点，而在不同哲学观点支配下就产生不同的逻同的哲学观点，而在不同哲学观点支配下就产生不同的逻辑解决方法辑解决方法辑解决方法辑解决方法. .这两方面结合在一起就在数学史上构成了三个这两方面结合在一起就在数学史上构成了三个这两方面结合在一起就在数学史上构成了三个这两方面结合在一起就在数学史上构成了三个不同的数学基础研究学派：不同的数学基础研究学派：不同的数学基础研究学派：不同的数学基础研究学派：逻辑主义逻辑主义逻辑主义逻辑
128、主义、直觉主义直觉主义直觉主义直觉主义和和和和形式主形式主形式主形式主义义义义. .4.三大主要学派的哲学思想三大主要学派的哲学思想 数学基础从产生的初期便分成相互对立的三大学派：最早数学基础从产生的初期便分成相互对立的三大学派：最早数学基础从产生的初期便分成相互对立的三大学派：最早数学基础从产生的初期便分成相互对立的三大学派：最早出现的是以罗素为代表的逻辑主义，它强调逻辑而排斥直出现的是以罗素为代表的逻辑主义，它强调逻辑而排斥直出现的是以罗素为代表的逻辑主义，它强调逻辑而排斥直出现的是以罗素为代表的逻辑主义，它强调逻辑而排斥直觉，主张逻辑是整个数学的唯一基础觉，主张逻辑是整个数学的唯一基础觉
129、，主张逻辑是整个数学的唯一基础觉，主张逻辑是整个数学的唯一基础; ;继之而起的是以布劳威尔为代表的直觉主义，它强调直觉继之而起的是以布劳威尔为代表的直觉主义，它强调直觉继之而起的是以布劳威尔为代表的直觉主义，它强调直觉继之而起的是以布劳威尔为代表的直觉主义，它强调直觉而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础; ;最后兴起的是以希尔伯特为代表的形式主义，认为逻辑具最后兴起的是以希尔伯特为代表的形式主义，认为逻辑具最后兴起的是以希尔伯特为代表的形式主义，认为逻辑具最后兴起的是以希尔伯特为
130、代表的形式主义，认为逻辑具有先验的真理性以及数学整个地具有逻辑的特征，它主张有先验的真理性以及数学整个地具有逻辑的特征，它主张有先验的真理性以及数学整个地具有逻辑的特征，它主张有先验的真理性以及数学整个地具有逻辑的特征，它主张通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性和合法性和合法性和合法性和合法性. .三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础大三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础大三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著
131、名的数学基础大三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础大论战论战论战论战. .他们从各自的哲学观点出发，对悖论引起的数学危他们从各自的哲学观点出发，对悖论引起的数学危他们从各自的哲学观点出发，对悖论引起的数学危他们从各自的哲学观点出发，对悖论引起的数学危机，从概念的准确性、提法的严密性、推理的合理性等方机，从概念的准确性、提法的严密性、推理的合理性等方机，从概念的准确性、提法的严密性、推理的合理性等方机，从概念的准确性、提法的严密性、推理的合理性等方面一一加以审查，对数学的本质、数学对象的存在性、数面一一加以审查，对数学的本质、数学对象的存在性、数面一一加以审查，对数学的本质、数学对象
132、的存在性、数面一一加以审查，对数学的本质、数学对象的存在性、数学的真理性以及与数学有关的逻辑问题等进行哲学思考学的真理性以及与数学有关的逻辑问题等进行哲学思考学的真理性以及与数学有关的逻辑问题等进行哲学思考学的真理性以及与数学有关的逻辑问题等进行哲学思考. .逻辑主义:代表人物代表人物代表人物代表人物: :(英英英英) )罗素罗素罗素罗素(B.A.W.Russell,1872-1970)(B.A.W.Russell,1872-1970)(英英英英) )怀特黑德怀特黑德怀特黑德怀特黑德(A.N.Whitehead,1861-1947)(A.N.Whitehead,1861-1947)基本观点基本
133、观点基本观点基本观点:逻辑主义学派的论题是，数学可以还原为逻辑学，逻辑主义学派的论题是，数学可以还原为逻辑学，逻辑主义学派的论题是，数学可以还原为逻辑学，逻辑主义学派的论题是，数学可以还原为逻辑学，因此，数学只不过是逻辑学的一部分因此，数学只不过是逻辑学的一部分因此，数学只不过是逻辑学的一部分因此，数学只不过是逻辑学的一部分. .他们认为，他们认为，他们认为，他们认为，数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来，数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来，数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来，数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来，数学定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理数学定理
134、可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理数学定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理数学定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来推导出来推导出来推导出来. .按照罗素的主张，数学只不过是由命题按照罗素的主张，数学只不过是由命题按照罗素的主张，数学只不过是由命题按照罗素的主张，数学只不过是由命题P P推出命题推出命题推出命题推出命题QQ的这种演绎的总和的这种演绎的总和的这种演绎的总和的这种演绎的总和. .他认为数学研究的对他认为数学研究的对他认为数学研究的对他认为数学研究的对象是形式结构，数学只有形式而无内容象是形式结构，数学只有形式而无内容象是形式结构，数学只有形式而无内容象是形式结构，数
135、学只有形式而无内容. .即逻辑主即逻辑主即逻辑主即逻辑主义哲学观点的基本内容包括：一是先有逻辑而后有义哲学观点的基本内容包括：一是先有逻辑而后有义哲学观点的基本内容包括：一是先有逻辑而后有义哲学观点的基本内容包括：一是先有逻辑而后有数学，二是整个数学大厦可以完全建立在逻辑的基数学，二是整个数学大厦可以完全建立在逻辑的基数学，二是整个数学大厦可以完全建立在逻辑的基数学，二是整个数学大厦可以完全建立在逻辑的基础上础上础上础上. .认为数学没有内容认为数学没有内容认为数学没有内容认为数学没有内容, ,只有形式只有形式只有形式只有形式. .只要不允许用只要不允许用只要不允许用只要不允许用“ “集合的集
136、合集合的集合集合的集合集合的集合”这种逻辑语言，悖论就不会发生这种逻辑语言，悖论就不会发生这种逻辑语言，悖论就不会发生这种逻辑语言，悖论就不会发生. .评注评注评注评注: :以罗素为代表的逻辑主义学派认为，数学是由逻辑以罗素为代表的逻辑主义学派认为，数学是由逻辑以罗素为代表的逻辑主义学派认为，数学是由逻辑以罗素为代表的逻辑主义学派认为，数学是由逻辑派生出来的，即数学与经验事实无关，而是先验地派生出来的，即数学与经验事实无关，而是先验地派生出来的，即数学与经验事实无关，而是先验地派生出来的，即数学与经验事实无关，而是先验地从逻辑公理系统演绎出来的从逻辑公理系统演绎出来的从逻辑公理系统演绎出来的从
137、逻辑公理系统演绎出来的. .依次，数学变成纯逻依次，数学变成纯逻依次，数学变成纯逻依次，数学变成纯逻辑的产物辑的产物辑的产物辑的产物. .显然显然显然显然, ,这种观点与数学渊源于客观实际这种观点与数学渊源于客观实际这种观点与数学渊源于客观实际这种观点与数学渊源于客观实际是背道而驰的，所以说逻辑主义从哲学和认识论的是背道而驰的，所以说逻辑主义从哲学和认识论的是背道而驰的，所以说逻辑主义从哲学和认识论的是背道而驰的，所以说逻辑主义从哲学和认识论的观点来看，其出发点带有唯心主义的色彩观点来看，其出发点带有唯心主义的色彩观点来看，其出发点带有唯心主义的色彩观点来看，其出发点带有唯心主义的色彩. .方
138、法的不可行性方法的不可行性方法的不可行性方法的不可行性: :逻辑主义者企图从一个逻辑公理逻辑主义者企图从一个逻辑公理逻辑主义者企图从一个逻辑公理逻辑主义者企图从一个逻辑公理系统中演绎出整个数学是不可能的系统中演绎出整个数学是不可能的系统中演绎出整个数学是不可能的系统中演绎出整个数学是不可能的. .尽管他们作了尽管他们作了尽管他们作了尽管他们作了大量的工作，然而他们从自己设计的所谓出来的纯大量的工作，然而他们从自己设计的所谓出来的纯大量的工作，然而他们从自己设计的所谓出来的纯大量的工作，然而他们从自己设计的所谓出来的纯逻辑公理系统的基础上进行逻辑演绎推理时，却逻辑公理系统的基础上进行逻辑演绎推理
139、时，却逻辑公理系统的基础上进行逻辑演绎推理时，却逻辑公理系统的基础上进行逻辑演绎推理时，却“ “暗地里暗地里暗地里暗地里” ”利用了集合论中的无穷公理和选择公理，利用了集合论中的无穷公理和选择公理，利用了集合论中的无穷公理和选择公理，利用了集合论中的无穷公理和选择公理，而这两个公理并非逻辑公理而这两个公理并非逻辑公理而这两个公理并非逻辑公理而这两个公理并非逻辑公理. .给逻辑主义以致命打给逻辑主义以致命打给逻辑主义以致命打给逻辑主义以致命打击的是哥德尔的不完备性定理，它证明了从逻辑并击的是哥德尔的不完备性定理，它证明了从逻辑并击的是哥德尔的不完备性定理，它证明了从逻辑并击的是哥德尔的不完备性定
140、理，它证明了从逻辑并不能推出算术的正确性来，因而宣告了把数学全部不能推出算术的正确性来，因而宣告了把数学全部不能推出算术的正确性来，因而宣告了把数学全部不能推出算术的正确性来，因而宣告了把数学全部归结为逻辑的企图是不可能的归结为逻辑的企图是不可能的归结为逻辑的企图是不可能的归结为逻辑的企图是不可能的. .逻辑主义对数学发展的主要贡献以罗素为逻辑主义对数学发展的主要贡献以罗素为代表的逻辑主义学派的历史功绩是不可磨代表的逻辑主义学派的历史功绩是不可磨灭的灭的.他们为现代数理逻辑奠定了基础他们为现代数理逻辑奠定了基础.而符号逻辑的公理化，揭示了数学与逻辑而符号逻辑的公理化，揭示了数学与逻辑之间的关系
141、，对于当今计算机的研制和人之间的关系，对于当今计算机的研制和人工智能的研究具有巨大现实意义工智能的研究具有巨大现实意义.直觉主义:代表人物代表人物代表人物代表人物: :克罗内克克罗内克克罗内克克罗内克(L.(L.KroneckerKronecker,1823-1891),1823-1891)基本观点基本观点基本观点基本观点: :直觉主义学派的基本哲学立直觉主义学派的基本哲学立直觉主义学派的基本哲学立直觉主义学派的基本哲学立场是把数学看成人类心智固有的一种场是把数学看成人类心智固有的一种场是把数学看成人类心智固有的一种场是把数学看成人类心智固有的一种制造活动，是人脑一种自由的、生气勃勃的思维（精
142、制造活动，是人脑一种自由的、生气勃勃的思维（精制造活动，是人脑一种自由的、生气勃勃的思维（精制造活动，是人脑一种自由的、生气勃勃的思维（精神）活动所带来的产物神）活动所带来的产物神）活动所带来的产物神）活动所带来的产物. .它主张数学的对象及真理不它主张数学的对象及真理不它主张数学的对象及真理不它主张数学的对象及真理不能脱离数学的理性或直觉而独立存在，数学理论的真能脱离数学的理性或直觉而独立存在，数学理论的真能脱离数学的理性或直觉而独立存在，数学理论的真能脱离数学的理性或直觉而独立存在，数学理论的真伪只能通过人的直觉来判断；其次，直觉主义者认为伪只能通过人的直觉来判断；其次，直觉主义者认为伪只
143、能通过人的直觉来判断；其次，直觉主义者认为伪只能通过人的直觉来判断；其次，直觉主义者认为无穷是产生悖论的根源，因此必须在数学中彻底地排无穷是产生悖论的根源，因此必须在数学中彻底地排无穷是产生悖论的根源，因此必须在数学中彻底地排无穷是产生悖论的根源，因此必须在数学中彻底地排斥产生悖论的根源，即康托尔等人提出的实无限斥产生悖论的根源，即康托尔等人提出的实无限斥产生悖论的根源，即康托尔等人提出的实无限斥产生悖论的根源，即康托尔等人提出的实无限. .因因因因为人们认为时间不是有限的为人们认为时间不是有限的为人们认为时间不是有限的为人们认为时间不是有限的, ,可以一直持续下去可以一直持续下去可以一直持续
144、下去可以一直持续下去, ,但但但但永远达不到无限永远达不到无限永远达不到无限永远达不到无限( (即实无限即实无限即实无限即实无限). ).所谓所谓所谓所谓“ “全体实数全体实数全体实数全体实数” ”是不是不是不是不可接受的概念，而可接受的概念，而可接受的概念，而可接受的概念，而“ “一切集合的集合一切集合的集合一切集合的集合一切集合的集合” ”之类更不能用之类更不能用之类更不能用之类更不能用直观理解的直观理解的直观理解的直观理解的, ,因而不承认它的合理性因而不承认它的合理性因而不承认它的合理性因而不承认它的合理性, ,悖论自然也不悖论自然也不悖论自然也不悖论自然也不会产生了会产生了会产生了会
145、产生了. . 现代直觉主义系统理论的创立者是现代直觉主义系统理论的创立者是现代直觉主义系统理论的创立者是现代直觉主义系统理论的创立者是荷兰数学家布劳威尔荷兰数学家布劳威尔荷兰数学家布劳威尔荷兰数学家布劳威尔(L.E.J.(L.E.J.BrouwerBrouwer, ,18811966)18811966)，他把数学思维理解为一，他把数学思维理解为一，他把数学思维理解为一，他把数学思维理解为一种创造性程序种创造性程序种创造性程序种创造性程序, ,数学必须受到基本的数学必须受到基本的数学必须受到基本的数学必须受到基本的数学直觉的限制数学直觉的限制数学直觉的限制数学直觉的限制. .在他的在他的在他的在
146、他的19071907年的博士论文年的博士论文年的博士论文年的博士论文关关关关于数学基础于数学基础于数学基础于数学基础和一系列论文中加以论述和一系列论文中加以论述和一系列论文中加以论述和一系列论文中加以论述. .他最惊人他最惊人他最惊人他最惊人的主张是不承认排中律的主张是不承认排中律的主张是不承认排中律的主张是不承认排中律, ,不准使用反证法证明一不准使用反证法证明一不准使用反证法证明一不准使用反证法证明一命题为真命题为真命题为真命题为真. .布劳威尔比起早期先驱者，无论是哲学布劳威尔比起早期先驱者，无论是哲学布劳威尔比起早期先驱者，无论是哲学布劳威尔比起早期先驱者，无论是哲学上，还是在数学上，
147、都更加彻底、完整地发展了上，还是在数学上，都更加彻底、完整地发展了上，还是在数学上，都更加彻底、完整地发展了上，还是在数学上，都更加彻底、完整地发展了直觉主义观点直觉主义观点直觉主义观点直觉主义观点. .他坚持认为概念性思维不是数学本他坚持认为概念性思维不是数学本他坚持认为概念性思维不是数学本他坚持认为概念性思维不是数学本身的一个部分，概念只不过是理性对创造的性质身的一个部分，概念只不过是理性对创造的性质身的一个部分，概念只不过是理性对创造的性质身的一个部分，概念只不过是理性对创造的性质加以隔离而产生的纯消极产物，概念性思维不能加以隔离而产生的纯消极产物，概念性思维不能加以隔离而产生的纯消极产
148、物，概念性思维不能加以隔离而产生的纯消极产物，概念性思维不能给数学带来任何有益的贡献，在直觉中是找不到给数学带来任何有益的贡献，在直觉中是找不到给数学带来任何有益的贡献，在直觉中是找不到给数学带来任何有益的贡献，在直觉中是找不到概念思维的概念思维的概念思维的概念思维的. .直觉主义学派最惊人的主张是反对把排直觉主义学派最惊人的主张是反对把排中律运用于无穷集合，这其中包含着精中律运用于无穷集合，这其中包含着精彩的辨证思想，而哥德尔彩的辨证思想，而哥德尔1931年证明的年证明的不完备性，确确实实使人们认识到排中不完备性，确确实实使人们认识到排中律绝对性的亏损：排中律没有先验的绝律绝对性的亏损：排中
149、律没有先验的绝对的正确性对的正确性.庞加莱在某种程度上也支持直觉主义庞加莱在某种程度上也支持直觉主义.希希尔伯特也曾经发对尔伯特也曾经发对,后来他也吸收了布劳后来他也吸收了布劳威尔的长处威尔的长处,坚持有穷性观点最可靠坚持有穷性观点最可靠.由由此可见各学派之间还有相互促进的一面此可见各学派之间还有相互促进的一面!评注评注评注评注: :对整个数学发展的不利因素对整个数学发展的不利因素对整个数学发展的不利因素对整个数学发展的不利因素其一，直觉主义着认为先数学而后逻辑，逻辑其一，直觉主义着认为先数学而后逻辑，逻辑其一，直觉主义着认为先数学而后逻辑，逻辑其一，直觉主义着认为先数学而后逻辑，逻辑只不过是
150、数学的一个分支和论证手段之一只不过是数学的一个分支和论证手段之一只不过是数学的一个分支和论证手段之一只不过是数学的一个分支和论证手段之一. .他们和他们和他们和他们和逻辑主义者都不承认数学研究的对象渊源于客观实逻辑主义者都不承认数学研究的对象渊源于客观实逻辑主义者都不承认数学研究的对象渊源于客观实逻辑主义者都不承认数学研究的对象渊源于客观实际，因此他们的观点也是属于唯心主义流派际，因此他们的观点也是属于唯心主义流派际，因此他们的观点也是属于唯心主义流派际，因此他们的观点也是属于唯心主义流派. .其二，整个直觉主义运动，是从对经典数学的其二，整个直觉主义运动，是从对经典数学的其二，整个直觉主义运
151、动，是从对经典数学的其二，整个直觉主义运动，是从对经典数学的顽强的哲学开始的顽强的哲学开始的顽强的哲学开始的顽强的哲学开始的. .他们认为经典数学是形而上学他们认为经典数学是形而上学他们认为经典数学是形而上学他们认为经典数学是形而上学. .正因为如此，直觉注意付出了巨大的代价正因为如此，直觉注意付出了巨大的代价正因为如此，直觉注意付出了巨大的代价正因为如此，直觉注意付出了巨大的代价. .在数学在数学在数学在数学方面丢失了许多的经典成果方面丢失了许多的经典成果方面丢失了许多的经典成果方面丢失了许多的经典成果. .积极意义积极意义积极意义积极意义直觉主义者强调可构造性或可行性对现代递归直觉主义者强
152、调可构造性或可行性对现代递归直觉主义者强调可构造性或可行性对现代递归直觉主义者强调可构造性或可行性对现代递归函数论的建立和发展起了很大的推动作用，特别是函数论的建立和发展起了很大的推动作用，特别是函数论的建立和发展起了很大的推动作用，特别是函数论的建立和发展起了很大的推动作用，特别是对计算机数学的发展意义更大对计算机数学的发展意义更大对计算机数学的发展意义更大对计算机数学的发展意义更大. .直觉主义逻辑仍将直觉主义逻辑仍将直觉主义逻辑仍将直觉主义逻辑仍将是数理逻辑研究中的一个重要课题，只是它已经输是数理逻辑研究中的一个重要课题，只是它已经输是数理逻辑研究中的一个重要课题，只是它已经输是数理逻辑
153、研究中的一个重要课题，只是它已经输入了辨证的新时代精神而继续对数学进行哲学思考入了辨证的新时代精神而继续对数学进行哲学思考入了辨证的新时代精神而继续对数学进行哲学思考入了辨证的新时代精神而继续对数学进行哲学思考. .形式主义代表人物代表人物:希尔伯特希尔伯特在集合论悖论出现之后在集合论悖论出现之后,希尔希尔伯特没有气馁伯特没有气馁.他奋起保卫他奋起保卫“无穷无穷”，支持康托尔发对克罗内克支持康托尔发对克罗内克,给纯粹性证明打给纯粹性证明打气气.基本观点基本观点:无论是数学的公理系统或逻辑的无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统公理系统,其中基本概念都是无意义的其中基本概念都是无意义的,其公其公理
154、也只是一行行的符号理也只是一行行的符号,无所谓真假无所谓真假,只要能只要能证明该公理系统的相容性便得到承认证明该公理系统的相容性便得到承认,即代表即代表一种真理一种真理.悖论是不相容的一种表现悖论是不相容的一种表现.希尔伯特是反对直觉主义最有力的形式主义学派的希尔伯特是反对直觉主义最有力的形式主义学派的希尔伯特是反对直觉主义最有力的形式主义学派的希尔伯特是反对直觉主义最有力的形式主义学派的领导人，而且是当之无愧的最伟大的现代数学家领导人，而且是当之无愧的最伟大的现代数学家领导人，而且是当之无愧的最伟大的现代数学家领导人，而且是当之无愧的最伟大的现代数学家. .在在在在18991899年至年至年
155、至年至19311931年发表的十几部著作中，他提出了年发表的十几部著作中，他提出了年发表的十几部著作中，他提出了年发表的十几部著作中，他提出了大部分形式主义观点大部分形式主义观点大部分形式主义观点大部分形式主义观点. .形式主义逻辑和书必须同时加形式主义逻辑和书必须同时加形式主义逻辑和书必须同时加形式主义逻辑和书必须同时加以研究，两者的公理系统的基本概念都是没有意义以研究，两者的公理系统的基本概念都是没有意义以研究，两者的公理系统的基本概念都是没有意义以研究，两者的公理系统的基本概念都是没有意义的的的的. .数学思维数学思维数学思维数学思维的对象是符号本身，符号就是本质的对象是符号本身，符号就
156、是本质的对象是符号本身，符号就是本质的对象是符号本身，符号就是本质. .公公公公理也只是一行行符号，无所谓真假，只要证明该公理也只是一行行符号，无所谓真假，只要证明该公理也只是一行行符号，无所谓真假，只要证明该公理也只是一行行符号，无所谓真假，只要证明该公理系统是相容的，那么该公理系统便获得承认理系统是相容的，那么该公理系统便获得承认理系统是相容的，那么该公理系统便获得承认理系统是相容的，那么该公理系统便获得承认. .因此，因此，因此，因此，数学本身是一堆形式演绎系统的集合，每个形式系数学本身是一堆形式演绎系统的集合，每个形式系数学本身是一堆形式演绎系统的集合，每个形式系数学本身是一堆形式演绎
157、系统的集合，每个形式系统都包含自己的逻辑、概念、公理、定理及其推导统都包含自己的逻辑、概念、公理、定理及其推导统都包含自己的逻辑、概念、公理、定理及其推导统都包含自己的逻辑、概念、公理、定理及其推导法则法则法则法则. .数学的任务数学的任务数学的任务数学的任务就是发展出每一个由公理系统所就是发展出每一个由公理系统所就是发展出每一个由公理系统所就是发展出每一个由公理系统所规定的形式演绎系统，在每一个系统中，通过一系规定的形式演绎系统，在每一个系统中，通过一系规定的形式演绎系统，在每一个系统中，通过一系规定的形式演绎系统，在每一个系统中，通过一系列程序来证明定理，只要这种推演过程不产生矛盾，列程序
158、来证明定理，只要这种推演过程不产生矛盾，列程序来证明定理，只要这种推演过程不产生矛盾，列程序来证明定理，只要这种推演过程不产生矛盾，便获得一种真理便获得一种真理便获得一种真理便获得一种真理. .希尔伯特打算把整个数学都公理化希尔伯特打算把整个数学都公理化,并验证它的无矛盾性并验证它的无矛盾性.他设想最后只他设想最后只须验证算术公理的无矛盾性须验证算术公理的无矛盾性,这一奢这一奢望后来被哥德尔打破了望后来被哥德尔打破了.希尔伯特的希尔伯特的形式主义计划没有可能完全实现形式主义计划没有可能完全实现,但但他所创造的他所创造的“元数学元数学”(Metamethematics)已经成为人类重已经成为人类
159、重要的数学宝藏要的数学宝藏.评注评注评注评注: :首先，希尔伯特一方面要尽量地保留经典数学中的首先，希尔伯特一方面要尽量地保留经典数学中的首先，希尔伯特一方面要尽量地保留经典数学中的首先，希尔伯特一方面要尽量地保留经典数学中的基本概念基本概念基本概念基本概念. .方法和逻辑推演规则，特别是涉及到有方法和逻辑推演规则，特别是涉及到有方法和逻辑推演规则，特别是涉及到有方法和逻辑推演规则，特别是涉及到有关无限概念的逻辑演绎规则关无限概念的逻辑演绎规则关无限概念的逻辑演绎规则关无限概念的逻辑演绎规则. .但另一方面，又为了但另一方面，又为了但另一方面，又为了但另一方面，又为了保证所有数学证明的可靠性及
160、整个数学大厦的纯洁保证所有数学证明的可靠性及整个数学大厦的纯洁保证所有数学证明的可靠性及整个数学大厦的纯洁保证所有数学证明的可靠性及整个数学大厦的纯洁性性性性. .他们把数学分为他们把数学分为他们把数学分为他们把数学分为“ “真实数学真实数学真实数学真实数学” ”和和和和“ “理想数学理想数学理想数学理想数学” ”两大类两大类两大类两大类. .凡是涉及到有限概念和有限集合的数学称凡是涉及到有限概念和有限集合的数学称凡是涉及到有限概念和有限集合的数学称凡是涉及到有限概念和有限集合的数学称为真实数学为真实数学为真实数学为真实数学, ,而涉及到实无限概念和超穷方法的数而涉及到实无限概念和超穷方法的数
161、而涉及到实无限概念和超穷方法的数而涉及到实无限概念和超穷方法的数学系统称为理想数学学系统称为理想数学学系统称为理想数学学系统称为理想数学. .同时同时同时同时, ,希尔伯特试图通过有希尔伯特试图通过有希尔伯特试图通过有希尔伯特试图通过有限步骤的构造性方法，在元数学中实现理想数学的限步骤的构造性方法，在元数学中实现理想数学的限步骤的构造性方法，在元数学中实现理想数学的限步骤的构造性方法，在元数学中实现理想数学的协调性和完全性，以达到实无限的理想化在应用上协调性和完全性，以达到实无限的理想化在应用上协调性和完全性，以达到实无限的理想化在应用上协调性和完全性，以达到实无限的理想化在应用上的有效性的有
162、效性的有效性的有效性. .然而，哥德尔的然而，哥德尔的然而，哥德尔的然而，哥德尔的“ “不完备性定理不完备性定理不完备性定理不完备性定理” ”表明表明表明表明形式系统在数学中决非可能，根本不可能穷尽全部形式系统在数学中决非可能，根本不可能穷尽全部形式系统在数学中决非可能，根本不可能穷尽全部形式系统在数学中决非可能，根本不可能穷尽全部数学真理，而只具有相对的真理性，有力地论证了数学真理，而只具有相对的真理性，有力地论证了数学真理，而只具有相对的真理性，有力地论证了数学真理，而只具有相对的真理性，有力地论证了马克思主义关于相对真理与绝对真理相互关系的理马克思主义关于相对真理与绝对真理相互关系的理马
163、克思主义关于相对真理与绝对真理相互关系的理马克思主义关于相对真理与绝对真理相互关系的理论论论论. .其次，形式主义者数学的真理性归结为逻辑的无其次，形式主义者数学的真理性归结为逻辑的无其次，形式主义者数学的真理性归结为逻辑的无其次，形式主义者数学的真理性归结为逻辑的无矛盾性是有其片面性的矛盾性是有其片面性的矛盾性是有其片面性的矛盾性是有其片面性的. .因为满足逻辑无矛盾的公因为满足逻辑无矛盾的公因为满足逻辑无矛盾的公因为满足逻辑无矛盾的公理系统不一定都是真理，它仅是发展数学和验证理系统不一定都是真理，它仅是发展数学和验证理系统不一定都是真理，它仅是发展数学和验证理系统不一定都是真理，它仅是发展
164、数学和验证数学真假性的必要条件，而非充分条件数学真假性的必要条件，而非充分条件数学真假性的必要条件，而非充分条件数学真假性的必要条件，而非充分条件. .最后，尽管形式主义者忽视了数学渊源于实际，最后，尽管形式主义者忽视了数学渊源于实际，最后，尽管形式主义者忽视了数学渊源于实际，最后，尽管形式主义者忽视了数学渊源于实际，而且片面地夸大了逻辑对数学的作用，然而形式而且片面地夸大了逻辑对数学的作用，然而形式而且片面地夸大了逻辑对数学的作用，然而形式而且片面地夸大了逻辑对数学的作用，然而形式主义学派对二十世纪的数学进展却起了很大的推主义学派对二十世纪的数学进展却起了很大的推主义学派对二十世纪的数学进展
165、却起了很大的推主义学派对二十世纪的数学进展却起了很大的推动作用，特别是对数学基础理论的研究动作用，特别是对数学基础理论的研究动作用，特别是对数学基础理论的研究动作用，特别是对数学基础理论的研究. .在在在在“ “元数元数元数元数学学学学” ”这个领域内的工作大大改进了数学家们对数这个领域内的工作大大改进了数学家们对数这个领域内的工作大大改进了数学家们对数这个领域内的工作大大改进了数学家们对数学推理本质的理解，把形式公理学向前推进了一学推理本质的理解，把形式公理学向前推进了一学推理本质的理解，把形式公理学向前推进了一学推理本质的理解，把形式公理学向前推进了一大步，从而成为公理学发展史上最重要的转
166、折点，大步，从而成为公理学发展史上最重要的转折点，大步，从而成为公理学发展史上最重要的转折点，大步，从而成为公理学发展史上最重要的转折点，标志着数学的发展进入了研究形式系统的新阶段标志着数学的发展进入了研究形式系统的新阶段标志着数学的发展进入了研究形式系统的新阶段标志着数学的发展进入了研究形式系统的新阶段. .现在，元数学已发展成为数理逻辑四大分支之一，现在，元数学已发展成为数理逻辑四大分支之一，现在，元数学已发展成为数理逻辑四大分支之一，现在，元数学已发展成为数理逻辑四大分支之一，它提出的可判定性问题导致可计算性和一种算法它提出的可判定性问题导致可计算性和一种算法它提出的可判定性问题导致可计
167、算性和一种算法它提出的可判定性问题导致可计算性和一种算法概念的确定概念的确定概念的确定概念的确定. .由希尔伯特及其使之精确化的形式数由希尔伯特及其使之精确化的形式数由希尔伯特及其使之精确化的形式数由希尔伯特及其使之精确化的形式数学语言，奠定了构造算法语言的基础学语言，奠定了构造算法语言的基础学语言，奠定了构造算法语言的基础学语言，奠定了构造算法语言的基础. .5. 5. 综述综述: : 在逻辑主义、直觉主义、形式主义三大学在逻辑主义、直觉主义、形式主义三大学派为了数学基础问题展开的这场激烈的大派为了数学基础问题展开的这场激烈的大论战中，一方面各有其局限，另一方面也论战中，一方面各有其局限，另
168、一方面也各有其创见，而且通过激烈的辩论，在一各有其创见，而且通过激烈的辩论，在一定程度上起到了互相借鉴与互相促进的作定程度上起到了互相借鉴与互相促进的作用用.所以，通过这场论战，尽管数学基础问所以，通过这场论战，尽管数学基础问题还尚未完全得到彻底解决，但各个学派题还尚未完全得到彻底解决，但各个学派得到了不同程度的发展，而且对整个数学得到了不同程度的发展，而且对整个数学的发展也起到了推动作用的发展也起到了推动作用.由此可见，允许由此可见，允许不同的数学观点和学派的存在和争论，对不同的数学观点和学派的存在和争论，对数学的发展是有益的数学的发展是有益的.迄今为止这场争论尚未停止迄今为止这场争论尚未停
169、止.当当今的数学家已不再划分为三派今的数学家已不再划分为三派.数学家们各取所长数学家们各取所长,且发展各派且发展各派所长所长,形成统一的数学分支形成统一的数学分支-“数学基础数学基础”,向着人类思维的向着人类思维的深处探求规律深处探求规律.可以公告的是可以公告的是:数学大厦的基础数学大厦的基础上至今仍然存在着裂缝上至今仍然存在着裂缝!谢 谢 !“计算机之父计算机之父” 冯冯诺诺伊曼伊曼(英)罗素(B.A.W. Russell, 18721970)英国哲学家、数学家、逻辑学家、1950年诺贝尔文学奖获得者罗素逝世，享年98岁. 傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，
170、17681830） 高斯高斯(C.F.Gauss,17771855)黎曼黎曼(G.F.B.Riemann,18261866)吴文俊，中国现代数学家.1919年 5月12日生于上海. 伯恩斯坦(Bernstain, 1880-1968)柯西（Cauchy,Augustin Louis， Baron）法国数学家伽罗华伽罗华（Évariste Galois，公元1811年公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家 诺特，1882年3月23日生于埃尔朗根犹太籍数学教授 勒贝格勒贝格（18751941）外尔（Hermann Klaus Hugo Weyl，公元1885年11月9日公元1955年12月8日）是近代的德国数学家. Cantor: 1845年3月3日生于圣彼得堡 克罗内克（克罗内克（Kronecker，Leopold；18231891） 希尔伯特，D.(Hilbert,David，18621943) 罗巴切夫斯基 ，1792年12月1日1856年2月24日 鲍耶 ，匈牙利数学家、诗人、剧作家
