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1、高阶线性微分方程 第六节第六节二、齐次线性微分方程解的结构二、齐次线性微分方程解的结构 三、非齐次线性微分方程解的结构三、非齐次线性微分方程解的结构 *四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 一、概念的引入一、概念的引入解解受力分析受力分析物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程强迫振动的方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程问：问：上述解是通解吗？上述解是通解吗？ 定理定理1 如果
2、函数如果函数y1(x)与与y2(x) 是方程是方程y P(x) y Q(x) y 0 的两个解，那么的两个解，那么y C1 y1(x) C2 y2(x) 也是方程的解，也是方程的解， 其中其中C1、C2是任意常数是任意常数 齐次线性齐次线性方程解的叠加原理：方程解的叠加原理：证明提示：证明提示： C1y1 C2y2 P(x)C1y1 C2y2 Q(x)C1y1 C2y2 C1y1 P(x)y1 Q(x)y1 C2y2 P(x)y2 Q(x)y2 0 0 0二、二阶齐次线性微分方程的解的结构二、二阶齐次线性微分方程的解的结构说明说明:不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如
3、,是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是通解并不是通解但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. 问：问：上述解是通解吗？上述解是通解吗？ 函数的线性相关与线性无关：函数的线性相关与线性无关： 设设y1(x)，y2(x)， ，yn(x)为为 定定义义在在区区间间I上上的的n个个函函数数如如果果 存存在在n个个不不全全为为零零的的数数k1，k2， ，kn，使当，使当x I 时有时有 k1y1(x) k2y2(x) knyn(x) 0 成成立立，则则称称这这n个个函
4、函数数在在区区间间I上上 线性相关；否则称为线性无关线性相关；否则称为线性无关 定理定理1 如果函数如果函数y1(x)与与y2(x)是方程是方程y P(x)y Q(x)y 0 的两个解，那么的两个解，那么y C1y1(x) C2y2(x) 也是方程的解，也是方程的解， 其中其中C1、C2是任意常数是任意常数 齐次线性齐次线性方程解的叠加原理方程解的叠加原理 例如，例如，1，cos2x ，sin2x 在整个数轴上是线性相关的函数在整个数轴上是线性相关的函数1，x，x2在任何区间在任何区间(a, b)内是线性无关的内是线性无关的两个函数在区间两个函数在区间 I I 上线性相关与线性无关的充要条件上
5、线性相关与线性无关的充要条件: :线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 0 的的使使( ( 无妨设无妨设线性无关线性无关常数常数思考思考: :中有一个恒为中有一个恒为 0, 0, 则则必线性必线性相关相关 例例3 验证验证y1 cos x 与与y2 sin x 是方程是方程y y 0 的线性无关的线性无关解，解， 并写出其通解并写出其通解 解解 因为因为y1 y1cos x cos x 0，y2 y2sin x sin x 0， 所以所以y1 cos x与与y2 sin x都是方程的解都是方程的解 因为比因为比sin xcos x不恒等于常数，所以不恒等于常数，所以cos x与与sin x
6、在在 (, )内是线性无关的内是线性无关的 因此因此y1 cos x 与与y2 sin x 是方程是方程y y 0 的线性无的线性无关解关解 方程的通解为方程的通解为 y=C1cos x C2sin x 总之，对于两个函数，如果它们的比为常数，总之，对于两个函数，如果它们的比为常数， 那么它们就线性相关，否则就线性无关那么它们就线性相关，否则就线性无关 例例4 验证验证y1 x 与与y2 ex 是方程是方程(x 1)y xy y 0 的线性无关解，的线性无关解， 并写出其通解并写出其通解 解解 因为因为 (x 1)y1 xy1 y100x x 0(x 1)y2 xy2 y2 (x 1)ex x
7、ex ex 0 所以所以y1 x与与y2 ex都是方程的解都是方程的解 因为比值因为比值e xx 不恒为常数，所以不恒为常数，所以y1 x 与与y2 ex在在 (, )内是线性无关的内是线性无关的 因此因此y1 x与与y2 ex 是方程是方程(x 1)y xy y 0 的线性无关解的线性无关解 方程的通解为方程的通解为 y=C1x C2e x 如果如果y1(x) y2(x) yn(x)是方程是方程 y(n) a1(x)y(n 1) an 1(x)y an(x)y 0 的的n个线性无关的解个线性无关的解 那么那么 此方程的通解为此方程的通解为 y C1y1(x) C2y2(x) Cnyn(x)
8、其中其中C1 C2 Cn为任意常数为任意常数 推论推论3.3.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: : 我们把方程我们把方程 y P(x)y Q(x)y 0叫做与非齐次方程叫做与非齐次方程 y P(x)y Q(x)y f(x)对应的齐次方程对应的齐次方程 定理定理3 设设y*(x)是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一个特解，的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程的通解，那么是对应的齐次方程的通解，那么y Y(x) y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解是二阶非齐次线性微分方程的通解 证明提示：证明提示：Y(x) y*(x) P(
9、x)Y(x) y*(x) Q(x)Y(x) y*(x) Y P(x)Y Q(x)Y y* P(x)y* Q(x)y* 0 f(x) f(x) 例如例如， Y C1cos x C2sin x 是方程是方程y y 0的的通解，通解，y* x2 2 是是y y x2的一个特解，的一个特解， 因此因此 y C1cos x C2sin x x2 2 是方程是方程y y x2的通解的通解 定理定理4 (叠加原理叠加原理) 设非齐次线性微分方程设非齐次线性微分方程 y P(x)y Q(x)y f(x) 的右端的右端 f(x)是两个函数之和是两个函数之和y P(x)y Q(x)y f1(x) f2(x)， 而
10、而y1*(x)与与y2*(x)分别是方程分别是方程 y P(x)y Q(x)y f1(x) 与与 y P(x)y Q(x)y f2(x) 的特解，那么的特解，那么y1*(x) y2*(x)的是的是 原方程的特解原方程的特解定理定理5（补充定理）（补充定理）常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程的解的解, 是任意是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关 . (反证法可证反证法可证)例例4. 已知微分方程已知微分方程个解个解求此方程满足初始条件求此方程满足初始条
11、件的特解的特解 .解解:是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且常数常数因而线性无关因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为故所求特解为有三有三 三、降阶法与常数变易法三、降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法代入代入(1)式式, 得得则有则有解得解得刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为降阶法降阶法的一阶方程的一阶方程 2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为设设(4)(5)(4),(5)联立方程联立方程组组积分可得积分可得非齐次方程通解为非齐次方程通解为解解对应齐方一特解为对应齐方一特解为由刘维尔公式由刘维尔公式对应齐方通解为对应齐方通解为例例设原方程的通解为设原方程的通解为解得解得原方程的通解为原方程的通解为四、小结四、小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法；补充内容补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解练练 习习 题题 练习题答案练习题答案
