第章正弦交流电路

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1、第第4章章 正弦交流电路正弦交流电路4.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 4.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法 4.3 电容元件和电感元件电容元件和电感元件 4.4 三种元件伏安特性的相量形式三种元件伏安特性的相量形式 4.5 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 4.6 RLC串联电路串联电路 4.7 RLC并联电路并联电路 4.8 用相量法分析正弦交流电路用相量法分析正弦交流电路 4.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率 4.10 正弦交流电路中的最大功率正弦交流电路中的最大功率 4.11 串联谐振串联谐振 4.13 三相正弦电路三相正弦电路 小结小结4.1 正

2、弦量的基本概念正弦量的基本概念 4.1.1正弦量的三要素正弦量的三要素以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的一般解析函数式为 i(t)=I msin(t+)(41)1. 瞬时值和振幅值瞬时值和振幅值交流量任一时刻的值称瞬时值。瞬时值中的最大值(指绝对值)称为正弦量的振幅值，又称峰值。 Im、Um分别表示正弦电流、电压的振幅值。图4.1正弦量的波形图 2.周期和频率周期和频率正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用“T”表示，单位为秒(s)。实用单位有毫秒(ms)、微秒(s)、纳秒(ns)。正弦量每秒钟变化的周数称为频率，用“f”表示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互成倒数，即3. 相位、

3、相位、 角频率和初相角频率和初相正弦量解析式中的t+称为相位角或电工角，简称相位或相角。正弦量在不同的瞬间，有着不同的相位，因而有着不同的状态(包括瞬时值和变化趋势)。相位的单位一般为弧度(rad)。相位角变化的速度称为角频率，其单位为rad/s或1/s。相位变化2rad，经历一个周期T，那么 t=0时，相位为，称其为正弦量的初相。此时的瞬时值i(0)=Imsin，称为初始值。如图4.2所示。由式(42)可见，角频率是一个与频率成正比的常数。图4.2计时起点的选择当=0时，正弦波的零点就是计时起点，如图4.2(a)所示；当0，正弦波零点在计时起点之左，其波形相对于=0的图4.4例4.1图波形左

4、移角，如图4.2(b)所示；当UC 图4.27RLC串联电路的相量图4.28RLC串联电路的相量图显然，组成一个直角三角形，称为电压三角形，由电压三角形可得 U也可以写成相量形式，即(436)2. 阻抗三角形阻抗三角形其中X=XLXC称为电抗，|Z|和分别称为复阻抗的模和阻抗角，其关系为显然|Z|、R、X也组成一个直角三角形，称为阻抗三角形，与电压三角形相似。设端口电压电流的相量分别为(437)(438)由上式可得4.6.2电路的三种性质电路的三种性质根据RLC串联电路的电抗RLC串联电路有以下三种不同性质：(1)当L1/C时，X0，0，ULUC。UX超前电流90，端口电压超前电流；电路呈感性

5、，相量图如图4.28(a)所示。(2)当L1/C时，X0，0，ULIL。显然，也组成一个直角三角形，称为电流三角形。由电流三角形可得2. 导纳三角形导纳三角形其中B=BCBL称为电纳，|Y|和分别称为导纳的模和导纳角。其关系为 I也可以写成相量形式，即(441)(442)设端口电流、电压相量分别为4.7.2电路的三种性质电路的三种性质根据RLC并联电路的电纳(442)RLC并联电路有以下三种不同性质。(1)当C1/L时，B0,0,ICIL,超前电压90，端口电流超前电压。电路呈容性，相量图如图4.34(a)所示。(2)当C1/L时，B0,0，I，滞后电压90，端口电流滞后电压。(3)当C=1/

6、L时，B=0，=0，IC=IL。IB=0，Y=G，I=IG，端口电流与电压同相，电路呈阻性，如图4.34(c)所示。这也是一种特殊情况，称为谐振。R、 L、 C元件，RL并联电路，RC并联电路，LC并联电路都可以看成RLC并联电路的特例。R、 L、 C三种元件的复导纳分别为G、jBL、jBC，分别为0、90、90。RL并联电路RC并联电路4.7.3 复阻抗和导纳的等效互换复阻抗和导纳的等效互换根据等效概念，在端口电压、电流相同的条件下，复阻抗与导纳相互等效，则串联电路与并联电路也相互等效，其等效互换的关系为Z=1/Y或Y=1/Z。 根据上式可以推导出两种等效电路参数间的关系。对于串联电路，有则

7、其中是把R和X串联电路等效变换为是把G和B并联电路等效变换为串联电路时电阻和电抗的计算公式。并联电路时电导和电纳的计算公式。对于并联电路，有其中从以上可以看出例例 4.16R、L串联电路图4.35(a)所示。0，.06mH，=10rad/s，把它等效为图(c)所示的R、 L并联电路，试求和L的大小。解解图4.35(a)所示电路的等效并联电路如图4.35(c)所示，对于图4.35(a)所示电路，有图4.35例4.16图故有对于图4.35(b)所示电路，有Y=G+jBL，等效时应有Y=Y的关系，故则作业：作业： P150页页 4.25 4.26 4.274.8 用相量法分析正弦交流电路用相量法分析

8、正弦交流电路相量法一般步骤为：相量法一般步骤为：(1)作出相量模型图(2)运用直流线性电路中所用的定律、定理、分析方法进行计算。直接计算的结果就是正弦量的相量值。(3)根据需要，写出正弦量的解析式或计算出其它量。 4.8.1 复阻抗混联电路的分析计算复阻抗混联电路的分析计算 例例 4.17电路如图4.40(a)所示,uS(t)=40sin3000tV,求i、iC、iL。图4.40例.17图 解解写出已知正弦电压的相量作相量模型,如图4.40(b)所示。其中，电感元件和电容元件的复阻抗分别为由各相量写出对应的正弦量例例 4.19图4.42(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络，端口正弦电压u的

9、频率可以调节变化。计算输出电压u2与端口电压u同相时u的频率0，并计算U2/U。图4.42例4.19图 解解RC串联部分和并联部分的复阻抗分别用和表示，且原电路的相量模型为1，2的串联，如图4.42(b)，由分压关系得由题意知，与同相时，Im，而4.8.2用网孔电流法分析正弦电路用网孔电流法分析正弦电路例例4.20图4.43所示电路中，求各支路的电流那么则且为最大值。图4.43例4.22图解解各支路电流İ，İ，İ和网孔电流a,b的参考方向如图中所示，网孔方程为 4.8.3用代文宁定理分析正弦电路用代文宁定理分析正弦电路例例 4.21用代文宁定理计算例4.20中R支路的电流İ3。解解先将图4.4

10、3所示的电路改画为图4.44(a)所示的电路，由R两端向左看进去，是一个有源二端网络。先求其开路电压图4.44例4.21图再求输入复阻抗计算电流İ3的等效电路如图4.44(b)所示，则4.8.4相量图法相量图法作相量图时，先确定参考相量。对并联的电路，可以电压为参考相量；对串联电路，可以电流为参考相量。例例 4.22图4.45(a)所示电路的相量模型中，IL=I=10A，U 1=U 2=200V，求XC。图4.45例4.22图 解解由相量图可知而例例 4.23图4.46(a)所示的并联复阻抗电路中，U=20V，Z1=3+j4。开关S合上前后I的有效值不变，开关合上后的与同相。试求Z2。图4.4

11、6例4.23图解解根据题中所给条件，以电压为参考相量，如图4.46(b)所示。由Z1=3+j4可知，负载Z1为感性，滞后，1=arctan（4/3）=53。由此确定出 İ1的位置。S合上前、后，|İ|=|İ1|,和同相，且İ=İ1+İ2，所以İ，İ及İ组成一个等腰三角形，两个底角为(18053)/2=63.5。那么，复阻抗Z2的阻抗角2=63.5由相量图可知则而作业：作业：P（150151）页页 4.23 4.30 4.31 4.32 4.9 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率4.9.1有功分量和无功分量有功分量和无功分量 1. 电压的有功分量和无功分量电压的有功分量和无功分量对于图4.

12、49(a)所示的无源二端网络，定义出关联参考方向下的复阻抗为则相量图如图4.49(b)所示。与同相的a叫做电压的有功分量，其模Ua=Ucos就是二端网络等效电阻R上的电压，它与电流的乘积UaI=UIcos=P就是网络吸收的有功功率。另一个与相差90的叫做电压的无功分量；其模Ur=Usin就是网络的等效电抗X上的电压,它与电流的乘积UrI=UIsin就是网络吸收的无功功率。图4.49电压电流相量的分解 2. 电流的有功分量和无功分量电流的有功分量和无功分量图4.49(a)所示的无源网络，还可定义出关联参考方向下的导纳为则相量图如图4.49(d)所示。与同相的叫做电流的有功分量，它就是流经二端网络

13、等效电导的电流,其模为Ia=Icos，它与电压的乘积UIa=UIcos就是网络吸收的有功功率。另一个与相差90的叫做电流的无功分量，是流经网络等效电纳B的电流，其模与电压的乘积UIr=UIsin=Q就是网络吸收的无功功率。4.9.2有功功率有功功率 无功功率无功功率 视在功率视在功率由4.9.1节的分析可知,二端网络端口电压、电流有效值分别为U、I，关联参考方向下相位差为时，吸收的有功功率,即平均功率为吸收的无功功率,即交换能量的最大速率(444)(445)值有正有负，所以是可正可负的代数量。在电压、电流关联考方向下，按式(445)计算，感性的无源二端网络吸收的无功功率为正值。容性的无源二端网

14、络吸收的无功率为负值。正弦电路中的平均功率一般不等于电压、电流有效值之积。这个乘积UI表面上看起来虽然具有功率的形式，但它既不代表有功功率，也不代表无功功率。我们把它称为网络的视在功率，即(446)S表示在电压U和电流I作用下，电源可能提供的最大功率。为了与平均功率相区别，它的单位不用瓦，而用伏安(VA)，常用的单位还有千伏安(kVA)。式(446)中的P、Q、S可组成一个直角三角形，它与电压三角形相似称其为功率三角形，如图4.50所示。图4.50功率三角形4.9.3功率因数的提高功率因数的提高 1功率因数的定义功率因数的定义式(444)中决定有功功率大小的参数cos称功率因数,用表示,其定义

15、为(447)功率因数的大小取决于电压与电流的相位差，故把角也称为功率因数角。2功率因数的意义功率因数的意义功率因数是电力系统很重要的经济指标。它关系到电源设备能否充分利用。为提高电源设备的利用率，减小线路压降及功率损耗，应设法提高功率因数。3提高功率因数的方法提高功率因数的方法 提高感性负载功率因数的常用方法之一是在其两端并联电容器。感性负载并联电容器后，它们之间相互补偿，进行一部分能量交换，减少了电源和负载间的能量交换.感性负载提高功率因数的原理可用图4.51来说明。图4.51提高功率因数的原理作业：作业：P（152153） 4.41 4.42 4.434.10 正弦交流电路中的最大功率正弦

16、交流电路中的最大功率以如图4.54所示的电路相量模型为例，分析在US、ZS给定的条件下，负载ZL获得最大功率的条件。其中由图可知，电路中电流相量为电流的有效值为负载吸收的功率图4.54有内阻抗的交流电源负载获得最大功率的条件与其调节参数的方式有关,下面分两种情况进行讨论。1. 负载的电阻和电抗均可调节负载的电阻和电抗均可调节从式(448)可见， 若RL保持不变， 只改变XL， 当XS+XL=0时，即XL=XS，PL可以获得最大值，这时(448)再改变RL，使PL获得最大值的条件是即得RL=RS，因此，负载获得最大功率的条件为故即负载的阻抗与电源的内阻抗为共轭复数的这种关系称为共轭匹配。此时最大

17、功率为(449)(450)2负载为纯电阻负载为纯电阻此时，ZL=RL，RL可变化。这时式(448)中的XL=0，即(451) PL为最大值的条件是例例 4.24在图4.55所示的正弦电路中，R和L为损耗电阻和电感。实为电源内阻参数。已知,R=5， L=50H。 RL=5，试求其获得的功率。当RL为多大时，能获得最大功率?最大功率等于多少?即(452)(453)图4.55例4.24图解解电源内阻抗为设电压源的相量为电路中的电流为负载获得的功率为当时，模匹配，能获得最大功率，即作业：作业： P152页页 4.40 P131页页 （2）4.11 串联谐振串联谐振4.11.1 串联谐振的条件串联谐振的

18、条件图4.59所述电路中的阻抗为由谐振的一般条件可得出串联谐振条件是图4.59RLC串联电路即当电路L、 C一定时，有(454)或0和f0称为固有角频率4.11.2 串联谐振的特点串联谐振的特点 1. 电路的阻抗最小电路的阻抗最小由于谐振时，X=0，所以网络的复阻抗为一实数，即2. 电感电压和电容电压远大于端口电压电感电压和电容电压远大于端口电压串联谐振时，网络的感抗和容抗相等，为只与网络的L、C有关，叫做特性阻抗，单位为()。串联谐振时电感电压和电容电压的有效值相等，为与反相而相互“抵消”，所以网络的端口电压就等于电阻电压，即Q叫做网络的品质因数(与无功功率Q不要混淆)，只和网络R、L、 C

19、的参数有关。在电子工程中Q值一般在10500之间。由于Q1时，UL0=UC0=QUU。所以把串联谐振又叫电压谐振。例例 4.25串联谐振电路中，U=25mV，R=5，L=4mH，C=160pF。(1)求电路的f 0、I0、Q和UC0。(2)当端口电压不变，频率变化10%时，求电路中的电流和电压。解解(1)谐振频率(2)当端口电压频率增大10%时，端口电流特性阻抗品质因数感抗容抗阻抗的模可见，激励电压频率偏离谐振频率少许，端口电流、电容电压会迅速衰减。4.11.3 串联谐振的谐振曲线串联谐振的谐振曲线 1频率特性曲线频率特性曲线RLC串联电路，它的阻抗电流电容电压它的幅频特性和相频特性分别为相应

20、的幅频特性曲线和相频特性曲线如图4.60所示。图4.60串联谐振的频率特性曲线 2电流谐振曲线电流谐振曲线 电流的频率特性曲线又称电流谐振曲线,如图4.61所示图4.61电流的谐振曲线两个截止角频率的差值定义为电路的通频带,即(455)当时，可得或由上式解出由于必须为正值，因此(456)Q还能量度电路的选择性，Q越大幅频特性曲线越尖锐，选择性越好，但通频带过窄,所以Q值不是越大越好,要取得合适,二者要兼顾。 3通用谐振曲线通用谐振曲线将式(455)可写成品质因数为(457)(458)以为自变量，以为因变量、以Q为参变量做的谐振曲线叫通用谐振曲线，见图4.62。由图可见，较大的Q值对应较尖锐的谐

21、振曲线，因此Q越大，选择性越好。图4.62通用谐振曲线作业：作业：P153页页 4.444.12 并联谐振并联谐振本节仅讨论实用中最常见的电感线圈与电容器并联的谐振电路。其相量模型如图4.63(a)所示。线圈的品质因数0/。图4.63并联谐振电路 4.12.1 并联谐振条件并联谐振条件由图4.63(a)可知，电路的导纳为如果，即，0为实根。所以只有在的情况下，网络才可通过调节激励的频率达到谐振。 4.12.2并联谐振的特点并联谐振的特点1网络的阻抗最大或接近最大并联谐振时，网络的导纳为实数，即(459)(460)由于在电子工程实际中总能满足Q1，0很高，且在0附近变化，故有LR，所以Y0的实际

22、数值可认为很小，而且Q的值越大，Y0越小。因此，并联谐振时，网络的阻抗最大或接近最小。(461)(462)Z0为谐振时网络的阻抗。2支路的电流可能远远大于端口电流支路的电流可能远远大于端口电流由式(462)可计算出端口电压为U时，端口谐振电流(463)(464)而两支路的电流例例 4.26R=10、L=100mH的线圈和C=100pF的电容器并联组成谐振电路。信号源为正弦电流源iS，有效值为1A。试求谐振时的角频率及阻抗、端口电压、线圈电流、电容器电流，谐振时回路吸收的功率。解解谐振角频率谐振时的阻抗谐振时端口电压线圈的品质因数谐振时，线圈和电容器的电流作业：作业：P153页页 4.45谐振时

23、回路吸收的功率或4.13 三相正弦电路三相正弦电路4.13.1对称三相正弦电压对称三相正弦电压三相正弦电压源是三相电路中最基本的组成部分，电力系统中，就是三相交流发电机的三相绕组，如图4.67所示。它的解析式为(465)式中Up为相电压的有效值。它们的波形如图4.68(a)所示。对应的相量为相量图如图4.68(b)所示。式中是工程上为方便而引入的单位相量算子。图4.67三相正弦电压源相量图如图4.68(b)所示。式中是工程上为方便而引入的单位相量算子。(465)图4.68对称三相电压的波形及相量图在波形图上，同一时刻三相电压的瞬时值代数和为零，由式(467)还可得出相量的关系(467)(468

24、)对称三相电压的相量图可画成图4.68(c)所示的等边三角形。4.13.2 三相电源的连接三相电源的连接 三相电源的三相电源的Y形连接方式形连接方式 图4.69(a)是三相电源的Y形连接方式。 (69)把式(66)所表示的相电压代入式(469)得同理可得相量图如图4.69(b)所示。三相电源的形连接供电时，有三相四线制和三相三线制。图4.69三相电源的Y形连接. 三相电源的三相电源的形联接形联接将三个电压源的首、末端顺次序相连，再从三个连接点引出三根端线、。这样就构成形连接，如图.70(a)所示。图.70三相电源的形连接 4.13.3 三相负载的连接三相负载的连接. 负载的形连接负载的形连接对

25、于不对称的三相负载，供电系统为三相四线制。对称三相负载为三相三线制。图4.71三相负载的形连接每相负载的电流称为相电流，有效值用P表示，三相电流分别为每个端线的电流称为线电流，有效值用It表示。相量图如图4.71(b)所示。线电流与相应的相电流相等。所以，负载为形连接时，线电流和相电流表示为不对称三相负载，线电流不对称，则(70)不对称三相负载的相电压对称，是因为中线的作用。否则，相电压就不对称。 2 三相负载的三相负载的形连接形连接三相负载形连接时，各相首尾端依次相联，三个连接点分别与电源的端线相连接。要求供电系统为三相三线制，如图4.72所示。三相负载无论对称与否，相电压一般总是对称的。每

26、相负载的电流，即相电流，用iab、ibc、ica表示，它们的相量各线电流的相量为根据KCL，有对于对称三相负载负载的相电流它们是对称的，其线电流也是对称的，其向量图如图4.73所示。图4.73形连接时电流的相量图例例 4.27Y形连接的三相负载接到线电压为380V的三相四线制供电线路上。试求：(1)每相负载的阻抗ZA=ZB=ZC=(17.32+j10)时的各相电流和中线电流；(2)ZA=ZB=(17.32+j10)不变、C改为ZC=20时的各相电流和中线电流。 解解(1)每相负载的电压设，则各相电流中线电流(2)三相负载不对称，但由于有中线，各相电压仍对称，保持不变，A、B不变，相电流及中线电

27、流变为相量图如图4.74(a)所示。图4.74例4.27图相量图如图4.74(b)所示。例例.28将上例中的负载改为形连接，接到同样的电源线上，三相三线制。试求：(1)负载对称时各相电流和线电流；(2)相负载断开后的各相电流和各线电流。解解 (1)仍以为参考相量，则各线电压即各负载的相电压为各相电流为根据负载对称时线电流与相电流的关系，各线电流为相量图如图4.75(a)所示(2)CA相断，各相负载电压不变(因为未计端线阻抗)，所以İAB、İBC不变，从而İB不变。因为所以另两个线电流变为相量图如图4.75(b)所示。从这两个例子可以看出，线电压不变时，对称负载由形连接改为形连接后负载的相电压和

28、相电流增加到Y形连接时的倍，而线电流增加到Y形连接的倍。图4.75例4.28图 4.13.4 三相电路的功率三相电路的功率三相电路中，三相负载的有功功率等于各相负载有功功率之和。即每相负载的功率当三相负载对称时，每相功率相同，则(471)对于Y形连接，代人式(473)，得(472)对于形连接，代入式(471)也得出式(472)所表示的结果。三相电路总的无功功率为各相无功功率之和每相无功功率为对称三相负载三相电路的视在功率对称三相电路例例4.29一台三相异步电动机，输出功率为7.5kW。接在线电压为380V的线路中，功率因数为0.86，效率为86%。试求正常运行时的线电流。解解 三相异步电动机是

29、对称三相负载，输出功率为则作业：作业：P153页页 4.48 4.49 4.50小小 结结 1. 正弦量的三要素及其表示正弦量的三要素及其表示以正弦电流为例，在确定的参考方向下，它的解析式为其中振幅值Im值(有效值I)、角频率(或频率f及周期)、初相 是决定正弦量的三要素。它们分别表示正弦量变化的范围，变化的快慢及其初始状态。根据正弦量的三要素，它也可以用波形图来表示。正弦量的有效值相量相量只体现了三要素的两个要素。.元件约束元件约束(伏安特性伏安特性)和互联约束和互联约束(和和)的相量的相量式式(1)在关联参考方向下：3复阻抗与复导纳复阻抗与复导纳无源二端网络或元件，在电压电流关联参考方向下

30、，二者关系的相量形式为(2)KCL：KVL：或或或4相量法相量法将正弦电路的激励和响应用相量表示，每一个无源的二端网络(包含无源的二端元件)用阻抗或导纳表示，那么直流电路的分析计算方法可以类推到正弦交流电路。首先要把原来的正弦电路参数的模型用相量模型表示。然后选用合适的方法分析计算。. 功率功率功率因数，感性负载并联电容器可提高功率因数。负载获得最大功率的条件是阻抗的共轭匹配和阻抗值的模匹配。谐振谐振电感线圈与电容器串联和并联组成的谐振电路，固有角频率。串联谐振时，阻抗最小，当品质因数时也称为电压谐振。并联谐振时，网络阻抗最大或接近最大，也称为电流谐振。三相正弦电路三相正弦电路(1)对称三相电

31、源电压(2)对称三相电源的连接Y形连接，三相四线制，有中线，提供两组电压，线电压和相电压。线电压比相应的相电压超前30，其值是相电压的倍；三相三线制，无中线，提供一组电压。形连接，只能是三相三线制，提供一组电压。线电压为电源的相电压。(3)三相负载的连接Y形连接，对称三相负载接成Y形，供电电路只需三相三线制；不对称三相负载接成Y形，供电电路必须为三相四线制。每相负载的相电压对称且为线电压的。中线电流，三相负载对称时中线可以省去。形连接，三相负载接成形，供电电路只需三相三线制，每相负载的相电压等于电源的线电压。无论负载是否对称，只要线电压对称，每相负载相电压也对称。对于对称三相负载，线电流为相电流的3倍，线电流比相应的相电流滞后30(4)三相电路的功率对于对称三相负载