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1、定义定义向量内积的定义及运算规律向量内积的定义及运算规律定义定义向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：向量的长度向量的长度定义定义向量的夹角向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理定义定义正交向量组的性质正交向量组的性质施密特正交化方法施密特正交化方法第一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化定义定义正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（
2、列）向量都是单位向量，且两两正交定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变定义定义方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量有关特征值的一些结论有关特征值的一些结论定理定理定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论有关特征向量的一些结论定义定义矩阵之间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；( (2)2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性
3、相似矩阵相似矩阵有关相似矩阵的性质有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量( (5)5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵定义定义二次型二次型二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的定义定义二次型的标准形二次型的标准形化二次型为标准形化二次型为标准形定义定义正定二次型正定二次型惯性定理惯性定理注意注意正定二次型的判定正定二
4、次型的判定一、证明所给矩阵为正交矩阵一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题典型例题二、将线性无关向量组化为正二、将线性无关向量组化为正交单位向量组交单位向量组三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值相关矩阵的特征值五、求方阵的特征多项式五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题六、关于特征值的其它问题七、判断方阵可否对角化七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形九、化二次型为标准形一、证明所给矩阵为正交矩阵一、证明所给矩阵为正交矩阵证明证明将线性
5、无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化二、将线性无关向量组化为正交单位二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组向量组解解一一先正交化，再单位化先正交化，再单位化解二解二同时进行正交化与单位化同时进行正交化与单位化第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法第一步第一步计算的特征多项式；计算的特征多项式；第二
6、步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特征值；解解第一步计算的特征多项式第一步计算的特征多项式第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量解解四、已知的特征值，求与相关四、已知的特征值，求与相关 矩阵的特征值矩阵的特征值解解五、求方阵的特征多项式五、求方阵的特征多项式解解六、关于特征值的其它问题六、关于特征值的其它问题方法一方法一方法二方法二方法三方法三解解七、判断方阵可否对角化七、判断方阵可否对角化解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由八、利用正交变换将实对称矩阵化为八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵对角阵九、化二次型为标准形九、化二次型为标准形解解第一步将表成矩阵形式第一步将表成矩阵形式解解第五章测试题第五章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共3232分分) )二、计算题（共二、计算题（共40分）分）三、证明题（共三、证明题（共2020分）分）四、（四、（8 8分）设二次型分）设二次型经经正交变换正交变换 化成化成测试题答案测试题答案
