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1、 22.2二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程九年级数学九年级数学二次函数的一般式：二次函数的一般式：（a0）_是自变量，是自变量，_是是_的函数。的函数。xyx 当当 y = 0 时，时，ax + bx + c = 0复习引入复习引入ax + bx + c = 0这是什么方程？这是什么方程？ 我们学习了的我们学习了的“一元二次方程一元二次方程” 一元二次方程与二一元二次方程与二次函数有什么关系？次函数有什么关系？ 以以 40 m /s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成 30角的方角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑
2、空气阻力，球的飞行高度虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位单位:m)与飞行时间与飞行时间 t (单位单位:s)之间具有关系：之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要若能，需要多少时间多少时间? （2）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要若能，需要多少时间多少时间? （3）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间）球从飞出到落地要用多少时间?探究思考探究思考1 1解：解：（1）当）当 h = 15
3、时，时， 20 t 5 t 2 = 15t 2 4 t 3 = 0t 1 = 1，t 2 = 3当球飞行当球飞行 1s 和和 3s 时，它的高度为时，它的高度为 15m .1s3s15 m （2）当）当 h = 20 时，时， 20 t 5 t 2 = 20t 2 4 t 4 = 0t 1 = t 2 = 2当球飞行当球飞行 2s 时，它的高度为时，它的高度为 20m .2s20 m （3）当）当 h = 20.5 时，时， 20 t 5 t 2 = 20.5t 2 4 t 4.1 = 0因为因为(4)244.1 0 ，所以方程无实根。，所以方程无实根。球的飞行高度达不到球的飞行高度达不到 2
4、0.5 m.20.5 m （4）当）当 h = 0 时，时， 20 t 5 t 2 = 0t 2 4 t = 0t 1 = 0，t 2 = 4当球飞行当球飞行 0s 和和 4s 时，它的高度为时，它的高度为 0m ，即，即 0s时，球从地面飞出，时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。时球落回地面。0s4s0 m从上面发现，二次函数从上面发现，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c何时为何时为一元二次方程一元二次方程?一般地，当一般地，当y取定值时，二次函数为一元取定值时，二次函数为一元二次方程。二次方程。如：如：y=5时，则时，则5=ax2+bx+c就就是一个一元二次方程。是一个一
5、元二次方程。为一个常数为一个常数（定值）（定值）已知二次函数，求自变量的值已知二次函数，求自变量的值解一元二次方程的根解一元二次方程的根探究思考探究思考2 21、二次函数、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 x+ 1的图象如图所示。的图象如图所示。(1).每个图象与每个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？(2).一元二次方程一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根有几个根? 验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x2 x+ 1 =0有根吗有根吗?(3).二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x轴交点的坐
6、标与轴交点的坐标与 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系?答：答：2个，个，1个，个，0个个(3)二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x轴交点的坐标轴交点的坐标与与 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系?二次函数二次函数与与x轴交点坐标轴交点坐标相应方程的根相应方程的根(-2,0),(1,0)x1=-2,x2=1(3,0)x1=x2=3无交点无交点无实根无实根 抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴交轴交点的横坐标是方程点的横坐标是方程ax2+bx+c =0的根。的根。 反之，方程反之，方程ax2+bx+
7、c =0的的根是抛物线根是抛物线y=ax2+bx+c与与x轴交轴交点的横坐标。点的横坐标。 下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗轴有交点吗? 若有，求出交点坐标若有，求出交点坐标. （1） y = 2x2x3 （2） y = 4x2 4x +1 （3） y = x2 x+ 1xyo令令 y= 0，解一元二次方程的根解一元二次方程的根探究思考探究思考3 3（1） y = 2x2x3解：解：当当 y = 0 时，时，2x2x3 = 0（2x3）（）（x1） = 0x 1 = ，x 2 = 132 所以与所以与 x 轴有交点，有两个交点。轴有交点，有两个交点。xyoy =a（xx
8、1）（）（x x 2）二次函数的两点式二次函数的两点式 （2） y = 4x2 4x +1解：解：当当 y = 0 时，时，4x2 4x +1 = 0（2x1）2 = 0x 1 = x 2 = 所以与所以与 x 轴有一个交点。轴有一个交点。12xyo（3） y = x2 x+ 1解：解：当当 y = 0 时，时， x2 x+ 1 = 0 所以与所以与 x 轴没有交点。轴没有交点。xyo因为（因为（-1）2411 = 3 0b2 4ac = 0b2 4ac 0b2 4ac = 0b2 4ac 0，c0时，图时，图象与象与x轴交点情况是（轴交点情况是（ ） A. 无交点无交点 B. 只有一个交点只
9、有一个交点 C. 有两个交点有两个交点 D. 不能确定不能确定DC 3. 如果关于如果关于x的一元二次方程的一元二次方程 x22x+m=0有两有两个相等的实数根，则个相等的实数根，则m=，此时抛物线，此时抛物线 y=x22x+m与与x轴有个交点轴有个交点. 4.已知抛物线已知抛物线 y=x2 8x + c的顶点在的顶点在 x轴上，轴上，则则 c =.1116 5.若抛物线若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限的顶点在第一象限,则方则方程程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是的根的情况是.b24ac 0b2-4ac0b2-4ac=0两个交点两个交点没有交点没有交点一个交点一个交点二二次次函函数数与与x轴轴的的交交点点当二次函数当二次函数y=ax2+bx+c中中y的值确的值确定，求定，求x的值时，二次函数就变为的值时，二次函数就变为一元二次方程。即当一元二次方程。即当y取定值时，取定值时，二次函数就为一元二次方程。二次函数就为一元二次方程。二次函数与一二次函数与一元二次方程的元二次方程的关系关系二次函数与二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解轴的交点的横坐标是一元二次方程的解结束寄语时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.下课!
