光波场的时域频率谱

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1、上节课的内容：几种特殊形式的光波上节课的内容：几种特殊形式的光波3. 柱面光波柱面光波 (Cylindrical light wave)1. 平面光波平面光波 (Plane light wave)2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)1. 复色波复色波1.3 光波场的时域频率谱光波场的时域频率谱 (Time-domain frequency spectrum of light wave field)2. 频率谱频率谱3. 准单色光准单色光1. 复色波复色波实际上，严格的实际上，严格的单色光波是不存在单色光波是

2、不存在的，所能得到的的，所能得到的各种光波均为复色波。各种光波均为复色波。前面，我们讨论了频率为前面，我们讨论了频率为 的单色平面光波的单色平面光波所谓复色波，是指某光波由所谓复色波，是指某光波由若干单色光波若干单色光波组合而成，组合而成，或者说它包含有多种频率成分，它在时间上是有限或者说它包含有多种频率成分，它在时间上是有限的。的。1. 复色波复色波复色波的电场可表示为各个单色光波电场的叠加，即复色波的电场可表示为各个单色光波电场的叠加，即在一般情况下，若只考虑光波场在时间域内的变化，在一般情况下，若只考虑光波场在时间域内的变化，可以表示为时间的函数可以表示为时间的函数 E(t)。根据博里叶

3、变换，它可以展成如下形式：根据博里叶变换，它可以展成如下形式：exp(-i2vt) 为傅氏空间为傅氏空间（或频率域）（或频率域）中频率为中频率为v 的一的一个基元成分，取实部后得个基元成分，取实部后得cos(2vt )。因此，可将。因此，可将 exp(-i2vt) 视为频率为视为频率为 v 的的单位振幅简谐振荡单位振幅简谐振荡。2. 频率谱频率谱E(v) 随随 v 的变化称为的变化称为 E(t) 的频谱分布，的频谱分布，或简称频谱。或简称频谱。上式可理解为上式可理解为:一个随时间变化的光波场振一个随时间变化的光波场振 动动 E(t)，可以视为许多单频成分简谐振荡的叠加，各成分相应可以视为许多单

4、频成分简谐振荡的叠加，各成分相应的振幅为的振幅为 E(v)，并且并且 E(v) 按下式计算：按下式计算：2. 频率谱频率谱一般情况下，由上式计算出来的一般情况下，由上式计算出来的 E(v) 为复数，它为复数，它就是就是 v 频率分量的复振幅，可表示为频率分量的复振幅，可表示为E(v) 模，模，(v)为辐角。因而，为辐角。因而， E (v) 2 就表征了就表征了 v 频率分量的功率，称频率分量的功率，称E (v) 2为光波场的为光波场的功率谱功率谱。2. 频率谱频率谱一个时域光波场一个时域光波场 E(t) 可以在频率域内通过它的频谱描可以在频率域内通过它的频谱描述。下面，对于几种经常运用的光波场

5、述。下面，对于几种经常运用的光波场E(t)，给出其给出其频谱分布。频谱分布。（1）无限长时间的等幅振荡）无限长时间的等幅振荡 其表达式为其表达式为式中，式中，E0、v0为常数，且为常数，且 E0 可以取复数值。可以取复数值。2. 频率谱频率谱由（由（51）式，它的频谱为）式，它的频谱为（1）无限长时间的等幅振荡）无限长时间的等幅振荡等幅振荡光场对应的等幅振荡光场对应的频谐只含有一个频率频谐只含有一个频率成分成分 v0，我们称其为，我们称其为理想单色振动。其功理想单色振动。其功率谱为率谱为E (v) 2 ，如图所示。如图所示。（1）无限长时间的等幅振荡）无限长时间的等幅振荡tE(t)E0vv0E

6、02E(v)2（2）持续有限时间的等幅振荡）持续有限时间的等幅振荡 这时这时其表达式为（设振幅等于其表达式为（设振幅等于1）（2）持续有限时间的等幅振荡）持续有限时间的等幅振荡 或表示成或表示成相应的功率谱为相应的功率谱为可见，这种光场频谱的主要部分集中在从可见，这种光场频谱的主要部分集中在从 v1 、到、到 v2 的频率范围之内，主峰中心位于的频率范围之内，主峰中心位于 v0 处，处，v0 是振荡的是振荡的表观频率，或称为表观频率，或称为中心频率中心频率。（2）持续有限时间的等幅振荡）持续有限时间的等幅振荡TtE(t)1T2E(v)2vvv1v0v2为表征频谱分布特性，定义最靠近为表征频谱分

7、布特性，定义最靠近 v0 的两个强度为的两个强度为零的点所对应的频率零的点所对应的频率 v2 和和 v1 之差的一半为这个有限之差的一半为这个有限正弦波的正弦波的频谱宽度频谱宽度 v。（2）持续有限时间的等幅振荡）持续有限时间的等幅振荡T2E(v)2vvv1v0v2由（由（58）式，当）式，当 vv0 时，时，E (v0) 2 T2；当；当 v v0 1 / T 时，时，E (v) 0，所以有，所以有因此，振荡持续的时间越长，频谱宽度愈窄。因此，振荡持续的时间越长，频谱宽度愈窄。（2）持续有限时间的等幅振荡）持续有限时间的等幅振荡（3）衰减振荡）衰减振荡相应的相应的 E(v) 为为其表达式可写

8、为其表达式可写为功率谱为功率谱为（3）衰减振荡）衰减振荡v1v2v0vE(v)2v1/2t01E(t)可见，这个衰减振荡也可视为无限多个振幅不同、频可见，这个衰减振荡也可视为无限多个振幅不同、频率连续变化的简谐振荡的叠加，率连续变化的简谐振荡的叠加，v0 为其中心频率。为其中心频率。这时，把最大强度一半所对应的两个频率这时，把最大强度一半所对应的两个频率 v2 和和 v1 之之差差 v，定义为这个衰减振荡的，定义为这个衰减振荡的频谱宽度频谱宽度。（3）衰减振荡）衰减振荡v1v2v0vE(v)2v1/2由于由于 vv2（或（或v1）时）时,E (v2) 2 = E (v0) 2/2 ，即，即化简

9、后得化简后得所以所以（3）衰减振荡）衰减振荡E (v2) 2 = E (v0) 2/22. 频率谱频率谱再次强调指出，在上面的再次强调指出，在上面的有限正弦振荡和衰减振荡中有限正弦振荡和衰减振荡中，尽管表达式中含有尽管表达式中含有exp(i2v0t) 的因子，但的因子，但 E(t) 已不已不再是单频振荡了。换言之，我们只能说这种振荡的再是单频振荡了。换言之，我们只能说这种振荡的表表观频率为观频率为v0，而不能简单地说振荡频率为，而不能简单地说振荡频率为v0。只有以。只有以某一频率作无限长时间的等幅振荡，才可以说是严格某一频率作无限长时间的等幅振荡，才可以说是严格的单色光。的单色光。v1v2v0

10、vE(v)2v1/2前面已经指出，理想的单色光是不存在的，实际上能前面已经指出，理想的单色光是不存在的，实际上能够得到的只是接近于单色光。例如，上面讨论的持续够得到的只是接近于单色光。例如，上面讨论的持续有限时间的等幅振荡，如果其振荡持续时间很长，以有限时间的等幅振荡，如果其振荡持续时间很长，以致于致于1T v0，则，则 E(v) 的主值区间的主值区间 很窄，可认为很窄，可认为接近于单色光接近于单色光。3. 准单色光准单色光T2E(v)2vvv1v0v2对于衰减振荡，若对于衰减振荡，若 很小很小（相当于振荡持续时间很（相当于振荡持续时间很长），则频谱宽度很窄，也接近于单色光。长），则频谱宽度很

11、窄，也接近于单色光。3. 准单色光准单色光v1v2v0vE(v)2v1/2对于一个实际的表观频率为对于一个实际的表观频率为 v0 的振荡，若其的振荡，若其振幅随振幅随时间的变化比振荡本身缓慢得多时间的变化比振荡本身缓慢得多，则这种振荡的频则这种振荡的频谱就集中于谱就集中于 v0 附近的一个很窄的频段内，可认为是附近的一个很窄的频段内，可认为是中心频率为中心频率为 v0 的的准单色光准单色光，其场振动表达式，其场振动表达式3. 准单色光准单色光3. 准单色光准单色光现在考察一个在空间某点以表观频率现在考察一个在空间某点以表观频率 v0 振动、振幅振动、振幅为高斯函数的准单色光波为高斯函数的准单色

12、光波其振动曲线如图所示。其振动曲线如图所示。ttAE(t)在在 tt0 时，振幅最大，且为时，振幅最大，且为 A；当；当tt0 =t / 2 时，振幅降为时，振幅降为 A / e。由此可见，参数。由此可见，参数 t 表征着振荡表征着振荡持续的有效时间。持续的有效时间。3. 准单色光准单色光ttAE(t)对于这种高斯函数准单色光波的频谱分布，可由傅对于这种高斯函数准单色光波的频谱分布，可由傅氏变换确定：氏变换确定：对该积分作自变量代换，将被积函数分为对该积分作自变量代换，将被积函数分为实部和实部和虚部分别进行积分虚部分别进行积分，得到，得到3. 准单色光准单色光相应的功率谱为相应的功率谱为其频谱图如图所示。其频谱图如图所示。3. 准单色光准单色光v1v2v0vE(v)2v由上式可见，高斯型准单色光的频谱也是由上式可见，高斯型准单色光的频谱也是高斯型高斯型，其，其中心频率为中心频率为 v0。这时，定义最大强度。这时，定义最大强度 1/e 处所对应的处所对应的两个频率两个频率 v2 和和 v1 之差之差 v 为这个波列的为这个波列的频谱宽度频谱宽度。3. 准单色光准单色光v1v2v0vE(v)2v3. 准单色光准单色光根据上述定义，有根据上述定义，有 ，计算可得，计算可得 。因此。因此该频谱宽度该频谱宽度v表征了高斯型准单色光波的单色性表征了高斯型准单色光波的单色性程度。程度。