线性代数应用案例解析

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1、本文档相关内容参见本文档相关内容参见 视频视频 10-12 10-12 浅议线性代数中的浅议线性代数中的数学文化数学文化游 宏引引 言言 提起提起数学文化数学文化这四个字，我总是感到有些茫然，因这四个字，我总是感到有些茫然，因为为数学文化数学文化这个概念的内函及外延实在博大，而且很这个概念的内函及外延实在博大，而且很难说清这一概念的确切定义。难说清这一概念的确切定义。 首先，首先，文化文化的定义就不下二百种，比较流行的看法的定义就不下二百种，比较流行的看法是认为是认为文化是人类精神财富的总和（但也有的认为应文化是人类精神财富的总和（但也有的认为应包含物资财富），包含物资财富），但但数学是什么？

2、数学是什么？尽管在座的都是数尽管在座的都是数学工作者，对数学感受很深，但高度概括的给出数学学工作者，对数学感受很深，但高度概括的给出数学的定义实在难以做到，甚至一些著名学者对数学的定的定义实在难以做到，甚至一些著名学者对数学的定义是矛盾的。比如，义是矛盾的。比如， 英国的罗素认为：英国的罗素认为：数学是我们永远不知道我们在说数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。但法国的但法国的E.E.波莱尔认为：波莱尔认为：数学是我们确切知道我们在数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。说什么，并肯定我们说的是否

3、对的唯一的一门科学。 上诉两种观点显然针锋相对，但都有一定的道理，上诉两种观点显然针锋相对，但都有一定的道理，是从不同的角度看数学得出的结论。是从不同的角度看数学得出的结论。 在人类文明发展的几千年历史过程中，人们从哲学、在人类文明发展的几千年历史过程中，人们从哲学、科学、应用、逻辑学、美学、结构学等不同的角度对科学、应用、逻辑学、美学、结构学等不同的角度对数学给出多种定义与多种理解，有兴趣的同行可见文数学给出多种定义与多种理解，有兴趣的同行可见文献献11。 既然人们对既然人们对“ “文化文化” ”、“ “数学数学” ”的的 定义与认识不统定义与认识不统一，当然对一，当然对数学文化数学文化的理

4、解更是的理解更是 “ “仁者见仁、智者见仁者见仁、智者见智智” ”，但这并不影响我们今天将数学文化但这并不影响我们今天将数学文化 作为大学生作为大学生素质教育的一门课程走进大学的讲堂，也不影响我们素质教育的一门课程走进大学的讲堂，也不影响我们把数学文化作为一种文化进行鼓吹，更不影响我们探把数学文化作为一种文化进行鼓吹，更不影响我们探讨数学文化的内涵、外延、精神与意义（这是很有意讨数学文化的内涵、外延、精神与意义（这是很有意义的工作）。义的工作）。 事实上，事实上， 我们遇到的许多概念都没有十分精确的定我们遇到的许多概念都没有十分精确的定义，即使是数学概念。比如，义，即使是数学概念。比如，点点是

5、数学（几何学）中是数学（几何学）中最基本的概念，在欧几里得几何学中是这样定义点的：最基本的概念，在欧几里得几何学中是这样定义点的：点是没有部分的那种东西，点是没有部分的那种东西，这个定义显然不具数学的这个定义显然不具数学的严密性，它是哲学观念下的定义。但是，我们不仅可严密性，它是哲学观念下的定义。但是，我们不仅可以理解以理解点点是什么，而且在此基础上建立起整个几何学，是什么，而且在此基础上建立起整个几何学，乃至数学。乃至数学。 虽然我们对数学文化这一概念很难得到统一的认识，虽然我们对数学文化这一概念很难得到统一的认识，但对其内涵、外延、精神与意义还是有不少基本的共但对其内涵、外延、精神与意义还

6、是有不少基本的共识。一般讲，数学文化应包含：识。一般讲，数学文化应包含：数学自身数学自身 、数学教育、数学教育、数学史、数学的应用（工具性）、数学思维、数学艺数学史、数学的应用（工具性）、数学思维、数学艺艺术、数学美学及数学的社会效应等。艺术、数学美学及数学的社会效应等。 近年，国内关于数学文化的讨论日益深入，有关数学近年，国内关于数学文化的讨论日益深入，有关数学文化的书籍、论文纷纷文化的书籍、论文纷纷 问世。大多数数学文化的书籍问世。大多数数学文化的书籍都是从宏观的角度谈论数学文化，几乎涉及前面提到都是从宏观的角度谈论数学文化，几乎涉及前面提到的的 数学文化的各个方面。大多数著作共同的写作特

7、点数学文化的各个方面。大多数著作共同的写作特点是：通过数学的发展历史、已有的成果来论述数学文是：通过数学的发展历史、已有的成果来论述数学文化的某些特征（或方面）。比如，化的某些特征（或方面）。比如，谈数学的美，和谐谈数学的美，和谐美就举黄金分割，美就举黄金分割，0.6180.618的例子；对称美举二项式的例子；对称美举二项式定理或定理或“ “群群” ”，等等等等 。也有些文章和书籍以数学故事，。也有些文章和书籍以数学故事，名人轶事感染读者。无疑，这些名人轶事感染读者。无疑，这些 著作在普及与推广数著作在普及与推广数学文化，使更多的人认识数学学文化，使更多的人认识数学 ，启蒙中学生和大学生，启蒙

8、中学生和大学生的数学兴趣，及一定的数学思维方式方面起到很好的的数学兴趣，及一定的数学思维方式方面起到很好的作用。作用。 特别是，有些为文科大学生写的数学教材，特别是，有些为文科大学生写的数学教材，如如22，减少了具体的数学概念、定理与公式，增强了数学的减少了具体的数学概念、定理与公式，增强了数学的思想、方法与应用的介绍，为文科数学教学走出了一思想、方法与应用的介绍，为文科数学教学走出了一条新路。条新路。 随着数学文化开展的深入，我们对数学文化的认识随着数学文化开展的深入，我们对数学文化的认识及数学文化的教育应迈向更高的层次。例如，在大学及数学文化的教育应迈向更高的层次。例如，在大学数学教学中，

9、应将数学文化教育与数学专业教育结合数学教学中，应将数学文化教育与数学专业教育结合起来，具体讲，在数学专业课的教学中如何突出所学起来，具体讲，在数学专业课的教学中如何突出所学概念、定理、公式历史存在的因由、它们隐含的思想、概念、定理、公式历史存在的因由、它们隐含的思想、方法及应用，因为这对学生的创新意识的培养大有益方法及应用，因为这对学生的创新意识的培养大有益处。处。在数学专业课的教学中渗透数学思想、方法和应在数学专业课的教学中渗透数学思想、方法和应用的教育并非新鲜事物，是我们历来提倡的做法，今天用的教育并非新鲜事物，是我们历来提倡的做法，今天老调重弹只是强调它的重要性，希望在数学教学的过程老调

10、重弹只是强调它的重要性，希望在数学教学的过程中多下功夫，不仅传授数学知识，而且要力求讲出所授中多下功夫，不仅传授数学知识，而且要力求讲出所授内容的数学文化。真正做到这一点，并非易事，对教师内容的数学文化。真正做到这一点，并非易事，对教师的自身素质和教学热情都将有较高的要求。的自身素质和教学热情都将有较高的要求。 开设开设数学文化数学文化专门课程和在专门课程和在数学教学中加强数学文化数学教学中加强数学文化教育教育是数学文化教育的两个方面。前者，是数学文化教育的两个方面。前者，宏观宏观特性强一特性强一些，使学生了解数学的宏观历史，与其他人文科学、自些，使学生了解数学的宏观历史，与其他人文科学、自然

11、科学的关系，数学在人类社会中的意义等；后者，然科学的关系，数学在人类社会中的意义等；后者，微微观观特性强一些，使学生理解所学内容的精神实质、思想特性强一些，使学生理解所学内容的精神实质、思想方法，有助于提高思维与创新能力。这两个方面实际上方法，有助于提高思维与创新能力。这两个方面实际上相辅相成，都不可欠缺。相辅相成，都不可欠缺。为什么要谈线性代数中的数学文化为什么要谈线性代数中的数学文化 现有的关于数学文化的书籍在论述数学的精神、思现有的关于数学文化的书籍在论述数学的精神、思想、方法和它对其他文化的影响时较少以线性代数想、方法和它对其他文化的影响时较少以线性代数（行列式、矩阵）为例，这可能是受

12、到（行列式、矩阵）为例，这可能是受到MM。KlineKline的的“ “古今数学思想古今数学思想” ”的影响的影响33，在，在“ “古今数学思想古今数学思想” ”卷卷三中三中KlineKline有这样一段话：有这样一段话：行列式和矩阵却完全是语言行列式和矩阵却完全是语言上的改革，对于已经以较扩张的形式存在的概念，它上的改革，对于已经以较扩张的形式存在的概念，它们是速记的表达式，它们本身不能直接说出方程或变们是速记的表达式，它们本身不能直接说出方程或变换所没有说出的任何东西，当然，方程和变换的表达换所没有说出的任何东西，当然，方程和变换的表达方式是爻长的，尽管行列式和矩阵用作紧凑的表达式，方式是

13、爻长的，尽管行列式和矩阵用作紧凑的表达式，尽管矩阵在领悟群论的的定理方面具有作为具体的群尽管矩阵在领悟群论的的定理方面具有作为具体的群的启发作用，但它们都没有深刻地影响数学的进展。的启发作用，但它们都没有深刻地影响数学的进展。然而已经证明这两个概念是完全有用的工具，现在是然而已经证明这两个概念是完全有用的工具，现在是数学器具的一部分。数学器具的一部分。 这段话意思很明确，行列式、矩阵对数学自身的发展这段话意思很明确，行列式、矩阵对数学自身的发展影响不大，但是非常有用的工具。因而在谈论数学的影响不大，但是非常有用的工具。因而在谈论数学的思想时较少涉及线性代数，但在谈及数学文化的结构思想时较少涉及

14、线性代数，但在谈及数学文化的结构说、符号说时则以行列式、矩阵为例（见说、符号说时则以行列式、矩阵为例（见1 1）。的）。的确，就代数学而言，行列式、矩阵对数学进展的影响确，就代数学而言，行列式、矩阵对数学进展的影响不如一元多项式求根（不如一元多项式求根（GaloisGalois理论）和群。但这理论）和群。但这并不意并不意味围绕行列式、矩阵这两个概念，提炼不出数学的思味围绕行列式、矩阵这两个概念，提炼不出数学的思想、方法及外延的文化。想、方法及外延的文化。事实上，即使按上面所说，事实上，即使按上面所说， 这两个概念只是语言、工具，但速记，即符号，工具这两个概念只是语言、工具，但速记，即符号，工具

15、都是很重要的数学文化（数学的符号说，结构说，工都是很重要的数学文化（数学的符号说，结构说，工具说）。特别是近代信息与计算机技术技术的发展，具说）。特别是近代信息与计算机技术技术的发展，使得线性代数成为现代科技世界的复杂的多变量控制使得线性代数成为现代科技世界的复杂的多变量控制系统和计算的数学系统和计算的数学4 4 。今天，。今天，计算数学中的一切方法计算数学中的一切方法无例外地都以线性代数为基础无例外地都以线性代数为基础（ .N.Ma.N.Map pK K），这必），这必将影响其他科学的发展，难道不是文化吗？不仅如此，将影响其他科学的发展，难道不是文化吗？不仅如此，简化的记法常常是深奥理论的源

16、泉简化的记法常常是深奥理论的源泉（LaplaceLaplace对行列式、对行列式、矩阵的评述）。随着矩阵的评述）。随着线性代数线性代数的进一步发展，行列式的进一步发展，行列式已不仅是一个符号，它有着更深刻的内容，在此基础已不仅是一个符号，它有着更深刻的内容，在此基础上发展起来的上发展起来的K K1 1理论是处理非交换对象的一系统方法。理论是处理非交换对象的一系统方法。 行列式从十七世纪后期行列式从十七世纪后期(16831693)(16831693)隐现于隐现于LeibnizLeibniz和和关孝和的含关孝和的含3 3或或4 4个未知量的线性方程组的求解中到个未知量的线性方程组的求解中到Vand

17、ermonde, LaplaceVandermonde, Laplace(17711773)(17711773)对行列式理论作对行列式理论作出连出连贯的逻辑的阐述经历了近一个世纪的过程。线性代数贯的逻辑的阐述经历了近一个世纪的过程。线性代数发展史上一个奇怪的现象，即线性方程组的求解直接发展史上一个奇怪的现象，即线性方程组的求解直接导致的是行列式的诞生，而非矩阵概念；求解一般线导致的是行列式的诞生，而非矩阵概念；求解一般线线性方程组最有效的线性方程组最有效的GaussGauss消元法出现的比行列式方法消元法出现的比行列式方法晚得多，与晚得多，与GaussGauss消元变换对应的初等矩阵（初等变换

18、）消元变换对应的初等矩阵（初等变换）在近代代数学中作用与意义，对齐次线性方程组的解在近代代数学中作用与意义，对齐次线性方程组的解的结构的描述则要借助向量空间的理论，矩阵、对称的结构的描述则要借助向量空间的理论，矩阵、对称矩阵、二次型的标准型研究的意义等矩阵、二次型的标准型研究的意义等都与人类的认知，都与人类的认知，数学思想的发展，数学内部各分支的关联及与其他科数学思想的发展，数学内部各分支的关联及与其他科学发展（关系说）有着密切的内在联系，这些都是数学发展（关系说）有着密切的内在联系，这些都是数学文化中原始而生动的内容，了解与分析这些历史资学文化中原始而生动的内容，了解与分析这些历史资料与历史

19、过程对我们今天理解数学的思想、发展和启料与历史过程对我们今天理解数学的思想、发展和启迪学生的创新意识、思维能力都是大有帮助的。迪学生的创新意识、思维能力都是大有帮助的。 线性代数线性代数作为一门独立的课程（特别是对非数学专作为一门独立的课程（特别是对非数学专业的大学生）比较晚，大约在二次世界大战之后，在业的大学生）比较晚，大约在二次世界大战之后，在我国，非数学专业的大学生开设线性代数是在上世纪我国，非数学专业的大学生开设线性代数是在上世纪八十年代，因而线性代数的课程教学远不如八十年代，因而线性代数的课程教学远不如微积分微积分成成熟，教学内容、教材建设、一些基本概念的定义方式熟，教学内容、教材建

20、设、一些基本概念的定义方式也存在争议。数学教育是数学文化的组成部分，结合也存在争议。数学教育是数学文化的组成部分，结合线性代数线性代数教学谈线性代数中的数学文化是今天我谈这教学谈线性代数中的数学文化是今天我谈这个问题的始因。个问题的始因。主要对象的历史与文化主要对象的历史与文化 一. 行 列 式 行列式的雏形出现于行列式的雏形出现于莱布尼茨莱布尼茨用指标数的系统集用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式（现在称为结式）。这个行列式不等于

21、零，个行列式（现在称为结式）。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：数对来表示：ij ij代表第代表第i i 行第行第j j 列。下面就是他写下的列。下面就是他写下的方程组方程组55 10 + 11 10 + 11x x + 12 + 12y y = 0 = 0 20 + 2120 + 21x x + 22 + 22y y = 0 = 0 30 + 3130 + 31x x + 32 + 32y y = 0 = 0当当 10.

22、21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 11.20.32 + 12.21.30 12.21.30 时，方程组有解，这里，时，方程组有解，这里，数字数字1010、1212等代表等代表的的是是a a1010、a a1212等等。 差不多同一时代，日本数学家差不多同一时代，日本数学家关孝和关孝和在其著作在其著作解解伏题之法伏题之法中首次引进了行列式的概念。书中出现了中首次引进了行列式的概念。书中出现了33 33 、 4444乃至乃至 5555的行列式

23、，用来求解高次方程组。的行列式，用来求解高次方程组。 用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法是用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法是MaclaurinMaclaurin（17301730年）开创的，发表年）开创的，发表年）开创的，发表年）开创的，发表在他的遗作在他的遗作论代论代数数中，中，17501750年年CramerCramer首先在他的首先在他的代数曲线分析引论代数曲线分析引论给出了给出了n n 元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。他的点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。他的行列式和现在的定

24、义差不多，是一些乘积的和，乘积行列式和现在的定义差不多，是一些乘积的和，乘积是在每一行和每一列中取一个且仅取一个元素组成，是在每一行和每一列中取一个且仅取一个元素组成，乘积符号的确定也是依据排列的奇偶性，只不过他的乘积符号的确定也是依据排列的奇偶性，只不过他的叙述比较复杂。稍后，数学家叙述比较复杂。稍后，数学家BezoutBezout（1730-1783) 1730-1783) 将将确确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。零解。 范德蒙范德蒙

25、 ( (A-T.VandermondeA-T.Vandermonde）第一个对行列式理论做）第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，并把行列式理论与线性方程组出连贯的逻辑的阐述，并把行列式理论与线性方程组求解分离。他给出了用二阶子式和它们的余子式来展求解分离。他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。他也使行列式从线性方程组理论这门理论的奠基人。他也使行列式从线性方程组理论 中独立出来，单独形成一门理论。中独立出来，单独形成一门理论。 1772 1772 年，年，LaplaceLaplace

26、在在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法的展开行列式的方法 。 之后（之后（1815 1815 年），年）， CauchyCauchy在一篇论文中给出了行列在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；改进了式的元素排成方阵，采用双足标记法；改进了LaplaceLaplace的行列式展开定理并给出一个证明。的行列式展开定理并给出一

27、个证明。至此，经典行列至此，经典行列式的概念及理论基本形成。式的概念及理论基本形成。 复杂的行列式的定义是怎样想到的？是一个有意思复杂的行列式的定义是怎样想到的？是一个有意思的问题，也为我们今天采用何种行列式定义留下了的问题，也为我们今天采用何种行列式定义留下了空间。空间。 由于由于CramerCramer并没有给出其法则的证明，也没有见到他并没有给出其法则的证明，也没有见到他的原文，只好从的原文，只好从莱布尼茨、莱布尼茨、CramerCramer、 BezoutBezout及他们那及他们那个时代的某些数学家关于求两个高次的一元多项式的个时代的某些数学家关于求两个高次的一元多项式的 公共点和求

28、解含公共点和求解含2 2到到5 5个未知量的线性方程组的方法中个未知量的线性方程组的方法中分析领悟。分析领悟。 含三个未知量三个独立方程的线性方程组含三个未知量三个独立方程的线性方程组 将第一个方程两边乘以将第一个方程两边乘以 a a2222a a3333aa2323a a3232，第二个方程两，第二个方程两边边乘以乘以-( -(a a1212a a3333aa1313a a3232) )，第三个方程两边乘第三个方程两边乘a a1212a a2323a a1313a a2222，然后三式相加，消去然后三式相加，消去 x x2 2，x x3 3，求得，求得x x1 1。这种方法称为。这种方法称为

29、“ “析配析配” ”，也用于判定两个一元多项式是否有公根（结，也用于判定两个一元多项式是否有公根（结式）。式）。 显然，显然， “ “析配析配” ”的计算十分复杂（特别对于未知量的计算十分复杂（特别对于未知量多的方程组），式子也十分爻长，用一个符号简记爻多的方程组），式子也十分爻长，用一个符号简记爻长的式子无疑是最佳的选择。但这一符号含义的确定长的式子无疑是最佳的选择。但这一符号含义的确定却经历了一百多年的时间。却经历了一百多年的时间。 首先，将系数与方程组分离与写出能表达系数信首先，将系数与方程组分离与写出能表达系数信息（位置）的符号就需要一长期的认识与思考过程息（位置）的符号就需要一长期的

30、认识与思考过程（到（到CauchyCauchy时代，才采用与现在相同的符号时代，才采用与现在相同的符号a aij ij），要），要从具体事物中从具体事物中“ “抽象抽象” ”出与该问题相关的最本质的属出与该问题相关的最本质的属性。所以，符号的提出与发展对数学进展起到极大的性。所以，符号的提出与发展对数学进展起到极大的推动作用，否则就不会有数学的推动作用，否则就不会有数学的符号说符号说。 再者，经典行列式定义中各项符号（正、负号）如再者，经典行列式定义中各项符号（正、负号）如何描述也非易事，何描述也非易事，CramerCramer的描述虽然和近代差不多，的描述虽然和近代差不多，但一般认为并不很清

31、楚，直至但一般认为并不很清楚，直至BezoutBezout、VandermondeVandermonde、CauchyCauchy才给出它的近代的处理，这与置换（群）的研才给出它的近代的处理，这与置换（群）的研究密切相关。究密切相关。今天我们知道，今天我们知道，CramerCramer法则的证明依赖于行列式的依法则的证明依赖于行列式的依行展开的结论行展开的结论（LaplaceLaplace定理），实际上，从符号的角定理），实际上，从符号的角度来看，度来看， LaplaceLaplace展开彻底地刻画了行列式，它表明在展开彻底地刻画了行列式，它表明在规定了二阶行列式的计算之后就可以递归定义规定了

32、二阶行列式的计算之后就可以递归定义n n阶行列阶行列式；式；同时也使同时也使CramerCramer法则的证明非常自然。法则的证明非常自然。 当然，还可以从其它角度来理解行列式，从几何的角当然，还可以从其它角度来理解行列式，从几何的角度，行列式可理解为多面体的有向体积；从代数的角度，行列式可理解为多面体的有向体积；从代数的角度，行列式是外积（外代数）的特殊形式。因在线性度，行列式是外积（外代数）的特殊形式。因在线性代数教学中，行列式都是定义在矩阵上，我们只探究代数教学中，行列式都是定义在矩阵上，我们只探究与矩阵相关的行列式定义。后面我们还会再议行列式。与矩阵相关的行列式定义。后面我们还会再议行

33、列式。二、矩阵及运算二、矩阵及运算 从逻辑上讲，求解线性方程组应导致矩阵概念的诞从逻辑上讲，求解线性方程组应导致矩阵概念的诞生，但历史似乎开了个玩笑，求解线性方程组首先导生，但历史似乎开了个玩笑，求解线性方程组首先导致行列式诞生。矩阵概念为何诞生如此之晚，致行列式诞生。矩阵概念为何诞生如此之晚，难点在难点在矩阵乘法。矩阵乘法。矩阵概念是矩阵概念是1847(1851)1847(1851)年由年由SylevesterSylevester提提出的，出的，事实上，在定义行列式的过程中已有了事实上，在定义行列式的过程中已有了阵阵的理念，只的理念，只不过没有成为一个数学概念。不过没有成为一个数学概念。18

34、581858年年CayleyCayley发表了重发表了重要文章要文章矩阵的研究报告矩阵的研究报告，其中定义了矩阵的相等、，其中定义了矩阵的相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵运算、性质、逆矩阵、转置零矩阵、单位矩阵、矩阵运算、性质、逆矩阵、转置矩阵，以及特征矩阵和特征根等；给出矩阵运算的一矩阵，以及特征矩阵和特征根等；给出矩阵运算的一些性质。些性质。 矩阵乘法矩阵乘法是由是由CayleyCayley给出的，乘法规则的确定是依给出的，乘法规则的确定是依据两个线性变换的合成。给定变换（见据两个线性变换的合成。给定变换（见44）：）： T1 : x = ax + by T2 : x= x+ y y = cx

35、 + dy y= x+ y 他认为执行T1，再执行T2，得到变换 T2T1 : x= (a+c)x + (b + d)y y= ( a+c)x+ ( b + d)y复合变换T2T1的系数就是是矩阵T2乘以矩阵T1的积。 从矩阵代数和行列式的关联很快就得出det(AB) = det(A) det(B)（ Cauchy 之前已得到这一等式）。 这表明任何新的数学对象的运算规则的确定必须与已有事物的运算（或规律）相容，在许多情形下它的运算规则产生于已有事物的运算规则之中。 今天，在线性代数的教学中，矩阵乘法运算仍然是教学的一个难点，我们是否做到让学生明了为何矩阵乘法要这样规定？ 矩阵的重要性随着计算

36、技术的发展已无需多言，事实上，在矩阵概念发展的同一时期，集的代数运(Boole代数)也同时产生与发展，符号被用作命题和抽象要素是这一时期数学发展的特点，为今后计算机与计算技术的发展奠定了基础。Cayley似乎已经意识到矩阵代数发展将压倒行列式理论。他写道,“关于这一矩阵代数的理论，会有许多 问题要讨论，在我看来，它们应先于行列式理论 ”。 矩阵诞生的历史为我们今天的教学能留下什么？矩阵诞生的历史为我们今天的教学能留下什么？ 三、三、Gausss消元法与初等矩阵消元法与初等矩阵 消元法解线性方程组是消元法解线性方程组是18001800年左右年左右GausssGausss用于解决用于解决天天体计算

37、和后来大地测量计算中的最小平方问题时提出体计算和后来大地测量计算中的最小平方问题时提出的（中国九章算术中有消元解的（中国九章算术中有消元解3 33 3的线性方程组），的线性方程组），消去法的重要意消去法的重要意义义在在于，于，它不僅可以作為它不僅可以作為线性方程线性方程组组的普通求解方法的普通求解方法，还可以简，还可以简短的迭代來短的迭代來表达整个表达整个求求解過程解過程, , 是是现代计算现代计算方法中一方法中一个个基本的演算法基本的演算法, , 完全可完全可用用于计算机自动处理于计算机自动处理。可以认为消元法是计算机科学可以认为消元法是计算机科学与数学的结合点与数学的结合点66。高斯消去法

38、用高斯消去法用矩阵矩阵表示表示相当于初相当于初等矩阵等矩阵作作用给定矩阵用给定矩阵將它化將它化为阶为阶梯形梯形矩阵矩阵或行最或行最简简形形, , 這是這是应用矩阵语言对线性应用矩阵语言对线性方程組解法的方程組解法的进进一步一步简化。简化。 不过，早期求解线性方程组用的是行列式而非消元法不过，早期求解线性方程组用的是行列式而非消元法不过，早期求解线性方程组用的是行列式而非消元法不过，早期求解线性方程组用的是行列式而非消元法，也是值得思考的问题。，也是值得思考的问题。，也是值得思考的问题。，也是值得思考的问题。 （1 1）消法变换是否保持线性方程组的解不变？消法变换是否保持线性方程组的解不变？ （

39、2 2） 对解不唯一的线性方程组的疑惑。对解不唯一的线性方程组的疑惑。消法变换对应的初等矩阵做成的群称为初等群，在近消法变换对应的初等矩阵做成的群称为初等群，在近代数学中占有重要代数学中占有重要 地位。地位。 现在，我们再议一下行列式，即行列式的现代定义。现在，我们再议一下行列式，即行列式的现代定义。在非交换的代数体系（如除环）上定义方阵的行列式在非交换的代数体系（如除环）上定义方阵的行列式早在十九世纪中后期就开始考虑，早在十九世纪中后期就开始考虑，CayleyCayley（18451845），），HeytingHeyting （19261926），），OreOre（19311931）都对不少

40、非交换环上）都对不少非交换环上方阵考虑定义行列式，但最成功的定义当属方阵考虑定义行列式，但最成功的定义当属DiedonneDiedonne（19441944）。）。他将除环他将除环D D上可逆方阵（不可逆方阵的行上可逆方阵（不可逆方阵的行列式为列式为0 0）的行列式定义在商群）的行列式定义在商群D*/D*,D*D*/D*,D*上，而不是上，而不是在在D*D*（D D中非零元做成的群）中。由群同构的理论，中非零元做成的群）中。由群同构的理论， D D上上n n阶可逆方阵做成的群阶可逆方阵做成的群GLGLn(D)(D)模去初等群模去初等群E En(D)D)所所得商群得商群GLGLn n(D(D)

41、)/ E/ En n(D)(D)同构于同构于D*/D*,D*D*/D*,D*。这表明初等。这表明初等群群E En n(D)(D)恰是恰是GLGLn n(D)(D)到商群到商群D*/D*,D*D*/D*,D*上自然同态的核。上自然同态的核。 Diedonne Diedonne 行列式孕育着对运算不满足交换律的数学行列式孕育着对运算不满足交换律的数学对象（矩阵）如何研究它的可换或是线性的不变量，对象（矩阵）如何研究它的可换或是线性的不变量，二十世纪中叶兴起的代数二十世纪中叶兴起的代数K-K-理论理论 就是试图处理它们的就是试图处理它们的一种系统的方法，而一种系统的方法，而DiedonneDiedo

42、nne 行列式就是它的雏形。行列式就是它的雏形。 考虑将考虑将n n阶方阵阶方阵A A对角嵌入到对角嵌入到n+1n+1阶方阵阶方阵diag(A,1)diag(A,1)中，中，对链：对链： GLGLn n（R R） GLGLn+1n+1（R R） GLGLn+2n+2（R R）取正向极限，得到一稳定线性群取正向极限，得到一稳定线性群GL(R)GL(R)，同样做出，同样做出一稳定初等群一稳定初等群E(E(R R) )， K_1K_1函子就定义为函子就定义为 GLGL（R R）/E/E（R R），这是一交换群。），这是一交换群。它的意义在于把两个不可换的它的意义在于把两个不可换的n n阶可逆矩阵阶可

43、逆矩阵A A和和B B放在放在不同块的正交位置上，在模去不同块的正交位置上，在模去E(E(R R) )后它们就可换了，后它们就可换了，因为在一个大的空间里，我们可以随意移动体于因为在一个大的空间里，我们可以随意移动体于是在某些近似情况下，这样做是很有好处（见是在某些近似情况下，这样做是很有好处（见77）。）。 K K1 1函子可以认为是行列式的推广。函子可以认为是行列式的推广。 从上面的叙述从上面的叙述中可以看出初等矩阵及初等群在近代理论数学中的重中可以看出初等矩阵及初等群在近代理论数学中的重要地位。要地位。 当代数学的发展使得认为行列式、矩阵当代数学的发展使得认为行列式、矩阵在在语言语言上上

44、、技、技术术上上为数学为数学提供的提供的贡献贡献大大于于它們在思想上它們在思想上为数学为数学作出作出的的启启示示的看法值得商榷。的看法值得商榷。 DiedonneDiedonne 行列式事实上也给出域上行列式的另一定行列式事实上也给出域上行列式的另一定义方式：义方式：用消法变换将方阵化成上（下）三角矩阵，用消法变换将方阵化成上（下）三角矩阵，其主对角线上元素的积即为该矩阵的行列式。其主对角线上元素的积即为该矩阵的行列式。这一定这一定义把行列式定义与计算统一起来，在不探究理论上合义把行列式定义与计算统一起来，在不探究理论上合理性的前提下是最简易的定义方式。理性的前提下是最简易的定义方式。从计算速

45、度的角度来看，用经典的行列式定义算行列从计算速度的角度来看，用经典的行列式定义算行列行列式（行列式（n!n!项代数和）几乎是不可行的，今天的数学项代数和）几乎是不可行的，今天的数学软软件计算行列式全是用消法变换。件计算行列式全是用消法变换。 四、线性方程组解的结构四、线性方程组解的结构 EulerEuler曾注意到未知量个数与方程个数相同的线性方曾注意到未知量个数与方程个数相同的线性方程程组的解不惟一的现象，但解释不了。组的解不惟一的现象，但解释不了。FrobeniusFrobenius试图试图研研究究方程组方程组解集的解集的特征特征, , 但未能如但未能如愿愿。 H.SmithH.Smith

46、和和L. Do dg L. Do dg sonson（18701870左右）继续研究线性方程组理论，前者引进左右）继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，后者证明了了方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，后者证明了方程组相容的充要条件是方程组相容的充要条件是系数矩阵系数矩阵和和增广矩阵增广矩阵的秩相的秩相同。这正是现代线性方程组理论中的重要结果之一。同。这正是现代线性方程组理论中的重要结果之一。SmithSmith指出指出非非齐次线性齐次线性方程方程组：组：AX = b, b0, AX = b, b0, 的全部的全部解解为为y+Xy+X，这里，这里y y为为非非齐次线性

47、齐次线性方程方程组组的一的一个个特解特解, X , X 为为 。 对应对应的的导出导出組的全部解。組的全部解。 Frobenius Frobenius 18791879年在他们的基础上彻底年在他们的基础上彻底理解了理解了独立独立方方程程和和相容性相容性 概念概念, , 将将独立独立概念概念定义定义為為n n 元元阵阵列的列的线性无线性无关，关，並給出了並給出了秩秩的概念的概念, , 相容性相容性 即即为为有解有解 的的, , 並用行列並用行列式的式的语言对语言对它們作了描它們作了描述。至此，线性方程组解的存述。至此，线性方程组解的存在理论得以完善，在理论得以完善，但齐次线性但齐次线性方程方程组

48、解的结构的完美组解的结构的完美描述要借助线性空间。齐次线性描述要借助线性空间。齐次线性方程方程组组的解的解，不不过过是是一組已知向量一組已知向量间间的的线性线性組合組合, , 或更或更近近一步一步，它們表它們表达达了了线性空间线性空间子空子空间间间间的某的某种关系种关系, , 從而也從而也认认清了清了齐次线性齐次线性方程方程组组的本的本质特征。直到质特征。直到19 19 世紀末世紀末 PeanoPeano建立了公理建立了公理化的化的空间空间定定义，线性代数义，线性代数的公理化結的公理化結构的构建才构的构建才基本基本完成。完成。 线性方程组解的结构理论是线性代数中最精彩的内容线性方程组解的结构理

49、论是线性代数中最精彩的内容 之一，它实际上之一，它实际上深刻刻画了线性变换，也把线性关系深刻刻画了线性变换，也把线性关系（相关、无关）的本质充分展现出来。同时，这一理（相关、无关）的本质充分展现出来。同时，这一理论综合了代数、论综合了代数、n n维几何、向量数学等学科中的基本内维几何、向量数学等学科中的基本内容，将它们融为一体成为一有力的工具。容，将它们融为一体成为一有力的工具。 五、二次型 二次型的二次型的系统研究系统研究是从是从 18 18 世纪开始的，它起源于对世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方

50、程变形，选有主轴方向的轴作为坐标和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在轴以简化方程的形状，这个问题是在 18 18 世纪引进的。世纪引进的。CauchyCauchy在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。当时并不清楚在次曲面用二次项的符号来进行分类。当时并不清楚在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。项。 Sylevester Sylevester回答了这个问题，他给出了回答了这个问题，他给出了 n n个变数的个变数的二次型的

51、惯性定律，但没有证明。这个定律后被二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被JacobiJacobi重新发现和证明。重新发现和证明。 1801 1801 年，年，GaussGauss在在算术研究算术研究中中引进了二次型的引进了二次型的正定正定、负定负定、半正定半正定等术语。等术语。 二次型在很多方面，特别是极值、鞍点、最小原理二次型在很多方面，特别是极值、鞍点、最小原理等都有应用。等都有应用。 二次型的研究历史说明二次型的研究历史说明线性代数线性代数与与解析几何解析几何融汇的融汇的自然性。自然性。 。 六、线性代数结构理论的认识1. 1.首先首先是將方程組的是將方程組的系数系数、未知量、解等概

52、念、未知量、解等概念从线性从线性方方程組中程組中分离分离出來出來, , 用矩用矩阵阵或向量的或向量的观点来认识观点来认识, , 並並进进一一步用集合及步用集合及代数结构的观点来处理代数结构的观点来处理。GrassmanGrassman的工作的工作从几从几何角度出何角度出发，发， 将空间将空间概念概念扩扩充為充為n n 維空間維空間，空间，空间解解与其系数与其系数列之列之间间在在运算运算下建立起下建立起联系，从而将联系，从而将解解与与系数系数列向量看成是列向量看成是同同一空一空间间中向量之中向量之间间的一種的一種关系。关系。這這 些思想具有些思想具有永恒永恒的的价价值值。 2. 2. 将系数阵将

53、系数阵列列从从方程組中剝方程組中剝离离出來發展了行列式、出來發展了行列式、矩矩阵理论。特别是，矩阵理论成为一独立的庞大分支，阵理论。特别是，矩阵理论成为一独立的庞大分支，这其中包括对矩阵运算、性质、各类关系，特征值及这其中包括对矩阵运算、性质、各类关系，特征值及特征向量的研究，矩阵与线性变换、二次型的关系的特征向量的研究，矩阵与线性变换、二次型的关系的建立，矩阵的化简与分解等。同时，将矩阵的概念与建立，矩阵的化简与分解等。同时，将矩阵的概念与结论应用于行列式与线性方程组求解。结论应用于行列式与线性方程组求解。 行列式、矩阵等这些线性代数中的基本概念产生于行列式、矩阵等这些线性代数中的基本概念产

54、生于同一母体，之后形成各自独立的系统，但又相互依存同一母体，之后形成各自独立的系统，但又相互依存，相互借助，共同发展。它们自身内容的发展对之后，相互借助，共同发展。它们自身内容的发展对之后的抽象代数，当代代数的发展起到重大影响。的抽象代数，当代代数的发展起到重大影响。3. 3. 用线性关系（相关、无关）、秩等概念描述用线性关系（相关、无关）、秩等概念描述n n维向量维向量和矩阵的某些本质属性，刻画线性空间中子空间的关和矩阵的某些本质属性，刻画线性空间中子空间的关系，揭示线性方程组的解的结构，并将线性方程组、系，揭示线性方程组的解的结构，并将线性方程组、矩阵与线性空间、线性变换紧密联系起来，矩阵

55、与线性空间、线性变换紧密联系起来，完成完成线性线性代数代数的公理化結的公理化結构的构建构的构建。4. 4. 线性代数综合了代数、线性代数综合了代数、n n维空间、向量等数学的基本维空间、向量等数学的基本内容（综合性），除矩阵、行列式、线性方程组等自内容（综合性），除矩阵、行列式、线性方程组等自身内容外，还体现了用代数方法描述与解决几何问题身内容外，还体现了用代数方法描述与解决几何问题的思想，它既是最基础的数学学科，也是数学计算的的思想，它既是最基础的数学学科，也是数学计算的基础，同时又连接当代数学的众多分支。基础，同时又连接当代数学的众多分支。参考文献：参考文献：1 1 方延明，数学文化导论，

56、南京大学出版社，方延明，数学文化导论，南京大学出版社，19991999。2 2 张顺燕，数学的思想、方法和应用，北京大学出版社，张顺燕，数学的思想、方法和应用，北京大学出版社，19971997。33 M.Kline, M.Kline, 古今数学思想（古今数学思想（1-41-4），上海科技出版社，），上海科技出版社，1981198144 A.Tucker, A.Tucker, 线性代数在大学数学课程中日益提高的重要性线性代数在大学数学课程中日益提高的重要性线性代数在大学数学课程中日益提高的重要性线性代数在大学数学课程中日益提高的重要性, , College Mathematics Journal

57、 24 (1993) 3-9College Mathematics Journal 24 (1993) 3-9。55 J .OConnor , E . Robertson,J .OConnor , E . Robertson, Matrices and determinants, Matrices and determinants, Algebra index History topics index,1996Algebra index History topics index,1996。6 6 冯进，冯进，冯进，冯进，線性代數理論的形成與發展線性代數理論的形成與發展，数学传播，数学传播，3434（20102010），），81888188。7 M.Atiyah7 M.Atiyah，二十世纪的数学，二十世纪的数学8 G.Strang, Introduction to Linear Algebra, Fourth Edition, 8 G.Strang, Introduction to Linear Algebra, Fourth Edition, Wilsley-Cambridge Press, 2009Wilsley-Cambridge Press, 2009，